А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 41
Текст из файла (страница 41)
5.30. Ввести случайяую величину л+1, если шах(р, ..., Рл) < 6, ш1п() >1: р)> 5) в противном случае. Ис са»»дьзуя задачу 5,29, оценить снизу и»-з мУ„= ~к~~», Р (т„= )») М(У„! т„= 5). ь=» 5.31. Использовать вадочу 5.30. Для доказательства нера М()$о+...+ З„ео( )5„..., 4.» ~ )йз+...+ $.( попользовать вадачу 3.152. 5.32. Воспользоваться задачей 5.30, равенством Р~ шах )$ +...+$а)~б)=Р»шах (5 +„.+$)з зиьх» ' ~ 1 (!хоки н указаниями к задаче 5.31. 5,33.
Исповьзоватг, равенство 2!+о = $г+ (3!+о — ьо) и п симость случайных велвчип йо и $ое — бо (з ) О). I !+о о 5.3о. Воспользоваться равенством (то ( Т) = (Зг ) й)о . чей ЗЛ32 и свойствамн пуассоновского процесса. 5 35. Случайные величины Л! — — то йз = тз — ть Ьз = тз— независимы я одппзково распределены: Р(боо х)=1 — о" (х оО, й=-1,2,, .). Воспользоваться формулой для плотности гамма-ззаспреде * 5.36. См. указания к задаче 5.35. В случае н) в пользо том, что ( з, ( Т ( тз) = (йт = 1), где $! — пуассоновский: цесс с кптеосивпостыо М 5Л7.
См. Указания к задаче 5.35 и задачу 3.63. 5,38. . Используя обозначения из задачи 5.34, ввести индии' Ча = 1,если тоТп! — т)Ь, з о+! а 0 в остальных случаях. Прп вычислении М хз; Чг, = ~~ Р (з]„= 1) заметить, что А=! з=! пые величины тз и то+! — то пезависпмы. 5.39. См. Указания к задаче 5.38. 5.43. Величина йо равна числу требований, которые пос в систему па ( — оо, !» н ве покинули ее к моменту !. Испол копструкшпо, описанную в задаче 5.42, и свойства пуассоно потока. 5.44. См.
указания к задаче 5ЛЗ. 5А5. 6) Величина Р(р, ) х) равна вероятности того, что ге радиуса х имеется не более в — 1 точек пуассоновского' 5.46. См. Указания к задаче 5А5. 5А . а) Случайная величина 6 есть сумма двух незван' ча7 случайных величин, имеющих равномерное распределение резке (О, 1). б) В случае й 1 воспольаоватьсн равенством ! (хз,х)= ) р (х,х )го)о]оо, о где р,(хь *,)и) — плотность условного совместного распрей б и 6„+,при условии, что т,е, л + и. если и~(х ~(и+1, 1 — и(х ~$'. ! !' з ( 0 в остальных случаях.
в) Найти вероятиость дополнительного событяя. 230 Событпв (т! (ь!) в (тз) чз) позаввсизп!. г 11ри вычислении Мк и Мк зоспользоватьсл равенством з =х( =--5)( — 2)+х( < 3)( — »П а прв в нахождении плотности Ч(х) — равенством д(х) = МЧ(х)2]. где д (з)и) — плотность Условного РаспРеделеипЯ к иРн Условии, что(=и 1, если 0(х(1 — и, д(х] и)= и, есви 1 — и ч" х~2 — и, 0 в остальных случаях. 548, Воспользоваться определением пуассоновского потока и указаниями к задаче 5.47.
5,53. а) Найти Р! = Р(Чз = 1)Чз = — 1), Рз Р(Чз = 1)Ч! = 1, Ч =-') 5.54. Вычпелить Р(до(и+ 1) = 1)до(и) = й), й, 1 = О, .,„Зг, н Р(ро(и+ 1) = 1)ро(в) = й, По(и — 1) = йз, ..., ро(0) = 1г ) прв любых допустимых значениях й, йь ..., й, 1. 5.55, См указания к задаче 5.54. 5.56. 6) Убедиться в тоы, что цепь Маркова 5 удовлетворяет услозяяч теоремы, сформулированной во введении к гл, 5.
Прове- рать, что биномиальпое раслределеяие с параметрами (Лг, д) является стационарным, 5.57. з] Для вычисления рп восяользоваться тем, что при условии $„= 1 все Сиз ваРиантов окРаски шаРов с помеРами л-1-1, ..., и+ ]У равновероятны. Сравнить Р(4! = 1, $з = 0)$о О) Л до!у!о.
б) Рзгпроделспяе $„ пе зависит от в. 5.59. Показать, что матрица )) р,")]з)З вЂ” дважды стохастичоская (см, задачу З.бзВ]. э60. Показать, что при фиксированном вначонпи $о распределение (го! пе зависит от йо, Зо, ..., 4! 5.61. Построить кусочно постоянные функции у(у) н ((х, у) так, чтобы прн любых 1, 1 оп (1, ..., гу) мера множества тех апаченнй у, при которых у(у) =1 (((1, у) = 1), была равна р!о! (РП). 562. За состояние прйнять число очков на той грани, иа которой лежит кость. (Сумма очков иа противоположных гранлх равна 7.) Выписать матрицу вероятностей перехода, применить теоРему о финальных вероятностнх. 5.64. Заметить, что рг, о ы = а/и для любого 1 = 1, ..., и и что поэтом тому распределение т„ совпадает с распределением Ф ш]п(г)1: ь =1), где (, (, . — последопательность Бернулли, ' ' !' з' '" а а Р((,=1) —, Р(( =О!=-1 —, 1=1.
2, ) Вос пользоваться задачей 4.37. 231 5.65. а) Использовать соотношения Р(те(0) < ОО) р,, <е> с)~р(5>е> 21.> 2 51»> 1(еСе> б) Заметить, что прн е ) О Мт (е> е Р [4~~> = 3 ~ 41е> = 1) М (шш (л > 01 $~~> чь 3) ~ $~~> в) Пользуясь формулой полной вероятности по апач ' >е> сначала составнть п решить уравнение для произво О ' 'пецпи Ре (е) = М(е е ~5(е> 2] 5.66. Последовательность е>, = $ +е — $ состоит из не мых одинаково распределенных случайных величин. 5.67. 6) Воспольаоваться тем, что Р(т»СΠ— т» п)т» С) ввсвт кя от А, ни от С, 5.68. а) Составить уравнение для 9»(е), пользуясь фо полного математического ожидания (по значениям В = ш1п и $» = О)).
5.69. 6) Использовать формулу полного математического: дания по значениям 5О 5.70. Заметить, что Р(т~ 1) = 1. Для вычислення те( М(т»(ье = 0), Р) = 1, 2,..., составить и решить системы ных уравнений для т»(У) М(т»(>л А), А = О, ш1,:ш польауясь формулой полного математнческого ожидания ( жением по значениям (О). Сократить число неизвестных, з что т»(д>) = т-»(су). 5.71. Так же, как в задаче 5.70, составить систему лине уравнений для т»(Ю), А О, 1, ..., >>> — 1. Рассмотреть зна ' лее(Де) — т»(>У), А = 1, 2, ..., Ж вЂ” 1 при Д> = 2, 3.
5.72. Используя формулу полного математического о (разложения по значеннлм $(1)), составить систему л уравнений, которым должны удовлетворять те, то ..., т» ' »е диться в том, что указанные значения т» являются единстве' решением этой системы. 5.73. Так же, как в задаче 5.70, составить систему лн уравнений, связывающих р», »(с+1), р»-с»(Ц, р»+е,»(с) н, ' зуясь монотоняостью по с величин р»ч(с), перейти от атой си ' к системе линейных уравнений относительно н>~>, А = О, 1... й Оч> (г>> Пй > Лй Вывеств вв этой системы, что отношение ел> не А й-1 от А, и воспачьвоваться равенствами пмх> = О п<йе> = 1, Д о ' йе гссчво получить формулы длн л>»О>, А =1, ..., >У. 5.74. Рассмотреть цепь Маркова с тремя состояниями: Ее делив исправно), Ее (прн проверке в ОТК обнаружен Е, (изделне бракованное, во п>юшло череа ОТК).
5.76. Найти матрицу р вероятностей перехода цепи Мэр и проверить, что яр и, где и (я„ ль ..., и»), и чтоз + яе + ... + и» = 1. Использовать равенство СА = С™ А й и год производящих функций. 5.77. б) с помоецью формулы полного математического э ния (разложения по значениям 41 з классе несущественных с ний) составить систему лннейнык уравнений длл величин 232 )ее = с), с = 1, 2. Решить эту систему и ааметитгь что в веем С,т> ~аз Нзв ' ' Мт Р(2» 1)те+ РЯ» 2)те.
в) Аналогично п. 6) составить системы лнаейных УРавпеннй (О> р""> н для р'6>, р>5>. ) Ззчстить, что если 91 Пш Р($1 — — 1($1), 1 3, 4, 5, о ееДЕтЫСЫЕ ЗЕРоятяости для цепи, начальное состояние кото' в ОРееесолло>ппт сУЩестзенномУ классУ, то .= Р($1) рес>д +Р($ =2)р<~>71, ( 3,4, и. =- Р ($„- 1) р',~>ду+ Р (4, = 2) р<6>71, ( 5, 6. О,",9. Пусть еь ..., ее — собственные векторы (векторы-столб. Н )»ОЕ~Ропье А, соотвотствующне собственным числам Хь ..., >Он вектор-стозосц ОЕ Ииост Коердвнатм О °, ..., О( ' И ЭСЕ Коердее наты вектора-столбца ее равны О, кроме 1-й координатьь равной 1, Зип~ е -.= 5»>е + ... + 01»с„, то О О о)'е> = А»ее = Аее ~' 01»у = ~~ 60>>е'" А 1 й-1 5.80.
Испольвовать указанил к задаче 5.79 и приведение матри цы А к жордановой нормальной форме. 5.81, По собственным числам матрицы Р и по зпачениям Р, ре,, р"-' можно составить систему д> линейных уэавнений относительно коэффициентов,еы в формулах задач 5.79 и 5.80. 5.82. Использовать реаультат задачи 5.81. 583. представить че(с) в виде суммы индикаторов.
ч~(с) О,+...+Ое, где (О» = 11 = ($» 1™), (О» = 0) = Д» 2) А Р 1, 2, ... Используя резулыат задачи 5.821 Р (А) + В и+(1 + ей, где ) е А )() 1 — и — 3(й, и равенства МО»= рп(А), МО»01 рв(>е) рп(С вЂ” А), 1 ( А (>, установить приведенную в условна задача аспмптотическУю фоРмУлУ длл М(ч~(С) )2» = 1) н Дона- зать, что Ори с-» ое М! '1(С))$О=>) =(1+ (1))(М(чх(С)(4О=>))'. Поль С льзуясь представлением ч (с) — мч,(с) = ~~ (Π— мО ), мож- 1 й-1 НО ООКаеатга ЧтО О(ч,(С))4е=)) — СС(1+О(1)), С 584. Попользовать результат задачи 5.24 и неравенство Че- 5.86.
Использовать равенство ,, У= г,п»Р»1 У=,'~,п»~,Р»,-л) »=1 А-1 (1 — е е ) 5.87. Рассмотреть матрицы прн е 4 0 ~1 — г е е 1 — з( 5.88. Показать, что последовательность $ = ь ес — ь» цепь Маркова с 4 состояниями. Найти явное выражение степени матрицы вероятностей перехода этой пепи, пред ее в виде разности коммутирующих матриц ! и С (т. в." что !С = С!). Далев вычислить М$» и воспольаоваться ра 1» 40+31+...+$. !. 5.89. а) Состояние атома описывается разложимой цеп коза с двумя состояниями. 5.90. Решить в данном частном случае систему уравнен влв (5.6). 5.91. Испольэуп результат аадачи 5.90, рассмотреть уравнелпй РШ'6~ «0 = о, рси М (с) = с, относптельн рзцательных невзвестиых й, 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
