А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 44
Текст из файла (страница 44)
По формуле полвой вероятности находим 1 1 ! " ""1 ! ~ 2 ! АзЛ<з ! 1 ) Р ( ! А<М ! ~ х/2) 'д ( ! '11 4з ! < о ) (1 — е */14) е — х/4Ах 1 ) * з-х/ЗАх е о (3 =1 — — е ойи= )4 4' з Сле;восательпо, Р(АА1АзАз — тупоугольпый» = 3/4.
Глава 4 4.14, Из определения множества С,, следует, что ! <и)! ) ( )(<х)! пЪ'з/и,е/ я "<г 2/я По Условиво слУчаипые величины < С <, ..., ! зи ) пезависимы, од1шаково распределевы и О м!'„<")<= —,)*. ""и = — ) "А = $' —, = ):Б,) ) г,) е а <1 !.<">) = М (.<,"))З вЂ” (М ) 3<и') )' =1 — —.С ° . 2 Из этих соотвошеввй и закона болыпих чисел следует, что пРавая чзсю (1) стремится к 0 при и — ез для любого фиксированного 4~0, 251 Сравнение результатов задач 4.:3 и 4.14 (с учетом ской симметричности распределения вектора $(х! и мно'  — ) показывает, что при достаточно больших и гине В «В з+„,+ з « и поверхность и-мерного еоктаэдраз С„г — «х ев В"! «х « -(Ь ... + [ х„« = л У' 2/и« близка друг к другу, а именно: для любого в > О етн (а — 1)-мерного объема множества тех точен х ш ВУ-, дат г Ужо' рых отрезок [(1 — е)х, (1+с)х) не пересекается с С ' (и — 1)-мерному объему  — /т.
в. к еплощади поверхйоо ' Ух,е ( ' иерсферы В, ) стремится к О, 4.24. Для любого и 1, 2, ... справедливы следующие етва (а которых и„— величина, введенная в задаче 4.23)« ф +" +:. "' '+"'+«'[ =)' '[[1У-.[' п — а я "+:: [У [' [)««и[ + и Иа реаультатов задач 4.22 и 4.23 следует, что (зг а) + "' + (э[Ух) ') [')/и)' ! Р 1(га О) =1,' х-««« [у«в[~ ~[УК[ [[/а[ Р !!ш —.— =О 1, .-.[ .[з значит, Р [)пш ( а) О~ что и требовалось дока ать. 4,31. Согласно задаче 3.228 при х > а (х а)з/таз «з [ е (х а!з/еаз )«2п [х — а (х — а)з[ ( х) т. е.
1!ш Р(у > х).)«'2ях(х-а)'/зс ' 1 х « о 252 Поэтому для любого у >О Р(й> +ух ') )ив Р(($ — х) х> у[4> х) 1(ш р(з >х) 2 ,— !!ш ехр«[ — — зцх+ — — а[ — (х — а) )« = ~.и 11ш ехр « у [2+ (у — 2ах) х з) ) 2 =е 2о 4.41.
Первое утверждение легко следует нз неравенства Псб««з«ева: Р(8 .х, А) о Р(2 хх)А) р(А) (» Р(2>х)(» Р р(х — а)' ' /(ля доказательства второго утверждения введем индикатор собыюя А: «1, если А происходит, хА А ( О в протнвьрм случае. Тогда Майл М Я [ А) = р( !) — — — М8Х ( — — а+ Р М(8 — а) ХА. ( ) 1 аз =О$=М($ — а) = )Р Г (и) с«и. з (3) Применяя к (2) неравенство Коши — Буняковского и пользуясь (3), получаем [р 1 а — сх ~х .««) ~~,«х~х.
[ ~~,««~«~)х е г-р /р ,Г 1 х .*))«[х,«««.х[« . )( [ «',«« ° [ «)х Гт. о с з-а (!«с«ода о из (!) следует, что [М[й[А) — а[ ~ о9р. (4) 283 Пусть у (у) =зпр(г: РЯ вЂ” а(!)(у) — функция, обратная н фувкцни распределения случайной величины з — а. Согласно задаче 3,186 и 1 ) 1> (и) «)и~(М(4 — а) )( г(» ) г' т (и) «/и, (2) о 1-р а согласно задаче 3.138 М вЂ” " ах е-х /во « [» (2) — со ( х ( со в й (3) 258 Согласно утверждению задачи 4.52 « (~ ) — « (1/2) «' (~Д/(2')/ ) !1[а р в я; в~ = Пш р («($и)+ )п 2) л < х) уя = йв~.)=2Ф(7)-= "'-"' о у 2[1,) о б) Приыеивм утверждение задачи 4.51 с рэ У'р(1 — р) По теореме Муавра — Лапласа при любом х, — сс ( х ( со С вЂ” л ) 1 ~' в !пп Р ~,— ~ х~ = Ф (х) = — ~ в и /в«и ( )гр(1-р)/л ~ ('Тп,) р Далее, «'(р) !п1 — ,—ьО прп р~1/2, и согласно утве дению задачи 4.51 «(5 ) — «(,) ПЩР~, <х =Ф(х), о ы ( «(р) р'р(1 — р)/л Следовательно, В„(р) = ~ )и — ~ »1/— — ~/ р(1 — р) ° 14 4.83, Ив условвй эпр ме »~со, М($ ((оо и свойств е»1<Е изводяших фУнкций следует, что функция [р(~) — Мв 1 овт ьй лева и дифферекцируема в полуивтервале (О, 6) и что вр' (0).
Согласно задачам 4.81 и 4.80 Р($ + „. +$ ~ л(МЗ + е)) «~ гл1 е в )[ри(7[) Ь с»1~С =( 1.1 р(Х).-'(м41+ ~ э»1(О Из формулы Тейлора [Р (Х) ф (0) + (1 + е (1)) Ь[([' (0) = 1 + (1 + о (1)) ЬМ$Ы получаем, что вр(Ь)<в ' при достаточно малых Ь>0» 1(М4»+в) этому а = (п( вр(Х) е ( в )» 1. е»ь»е Второе утверждение задачи следует из первого: достаточно нить 51 иа — 'Зг. л.88, Спач ,.8, Сначала дока[кем то[кдество. указанное в условии валачи Коли 2Ьов(1, то — илотвость нормального распределения с параметрами с Π— -у, поэтому [ / » ~. 2[ [, [[[ 'г 1 — 2Ьсв Исаи 5 имеет нормальное распределение о параметрами (О о ), а а' [) =$е 4, то » МЧ и евах х /во [7 в 1 Г в в в Ф В (2) под интегралом стою зачетная функция; значит, МЧ О, еслв только интеграл (2) абсолютно сходится.
Это заведомо имеет место при 2Ьов С1, так как тогда (з/ 1 М ехр х Ь вЂ” — в/[[=0~» ох /, а)0[ пря )х)-»ос. (4) Что тобы вычислить ивтеграл (3), продвффереицвруем по Ь обе часта говндества (Ц; в силу (4) дифференцирование под знаком шпегрвла в етом случае законно! ~Г~ О ( — М )/ = ( хе""е "/во[/х . 2Ьов 1. [ Сопоставляя (3) в (5), получаемв о ОЧ МЧ =( з) / пРи 4Ьо (1.
Г слв 4Ьов в!, то интеграл (3 расходится и Оц оо. 4.95. . Если М(3( < ео, то см. введение к гл. 4) по свойствам хэраитеристических фуикций у'(О) 1М3. Покажем, что если рас- пределение 4 имеет плотиость р(х), указанную в условии задачи, 1У(0) ( ( оо, а М(3! сов Последиее соотиошеиив легко а м. Зтсиоз и лр, 17 257 проверяется: ВФ э М ) С ) 2 ~ хр (х) >Сх ~ 2 ~ х р (х) с(х + 2 ( — * х П> х с е 2 где 0<а(х) < сс а а(х) -е1 прв х. со.
Длл докааательстэ» отвошевня )('(0) ) < сс покажем, что )1 — /(с)( о(с) при с- 0 тогда /'(0) =Пш (1 — /(с))/с 0). действительно, ва оценки:; — сову< у /2 слслуот> чзо если то 2'-е оз, Т(с(-еО, >е 1 — /(С)= 2~(1 — сое Сх) р(х)ссх е т -о(ее) ~>,>хе('-"'",) х !пх о т О (ст)э- ( ( 1 соек и !и (и/Р Л щт е> -о (ст) + — ~ з ( ' ( >" 1 — соэ и Ь !и т') е Если у ((с(!и (с() ы' прв с-еО, то последняя оценка да )с! 1-/(с)= О(1„(с()=,((,() что и требовалось докааать, 4.9 ь Если функция /(х) два>нды дифференцируема в П / (х — с) — 2/ (х) + 1(х + с) а Следовательно, в нашем случае 1,.
/( — ) 2+/() Г 'И вЂ” + м4 с сз Так как вы ажени ственво, то можа р е под знаком математического ожидании о рассматривать только его действительную ("(О) =2П М вЂ”, С е С с с (СЬ)(2 е>,4 258 соэ су — 1 6>тяк>спя ус (у) э, веноложательяв и для ааждого (сэ) /2 (у( < сс, стремитсв в -1 прв с -е О. Поэтому аэ предположеввя М51 со следует равенство /" (о) = !!ш м5эт,(5) = — ° , с е которое противоречат условию задачи. Значит, Мйс < с и /-(О) - — МВ>. 4П69.
Пусть >р>х>(1) < сс. Раэложвм производящую функпию Ч (з) = ~~~р Р Я 4) эь по формуле Тейлора в точке х = 1 а ос- 1 Е та>очным членом в форме Легран>на> Ч'"' (1) 4/я+1) (1+ О( — 1)) 6 (') =- у 4! (' — 1) + (д> + 1) . (' — 1) >-е 0<6<1. Полагая здесь э 0 н намечая, что ям>(1) > 0 при любом с >и (О, 1), получаем мяч >р( > (1] >С(0) = Р (1 О)= т ( 1)ь ы +( 1)Я'е>ся ы ап,РО.
ь а Ото>ода и иэ того, что ась>(1) пи„следуют неравенства, указанные в условии задачи, 4823. а) Иэ неэавнсимости $>, $1,... и равенств 1 /5 4! 1 /25 161 Мз,= — (! — + — ) =1,025, М,= —,~ — + — )=1,10125 М!п5 =О, 1 О!п 5 =М !и 5 = 1п 4 >ы 0,0248965 ( (ну Р(„<уь~ш ., Р(ц <У1 у иО!п$ ) 17е следуот, что Мц = (Мз )'е"> = 5,295 10", >осе М>) = (МЬ ) е 7,6899.10 О>) М!и Шщ = 1000М!а $> = О, О!пс!>ю = 10000!и 5> яс 248965. б) Так кап )пс! 1п 5>+...+1н5, слагаемые!п4>,..., )и 5 пезавпси>ГЬ>, ОдниаКОво РаспРеделены и (З )в $> = !в> 1,25 < со, то согласно центральной предельной теореме ! )С лО!п$ ~ у2п,) 1 Из этого соотношения следуют приближенные равенства Подставляя вместо у уиазаипые в условвв задачи вначеиия в вуись результатами п.
а), иаходим: Р(г)гоя ( О,ООЦ ж Ф( — 1,384) оз 0,0832, Р(цюм~ Ц яг Ф(0) ии П2, Р(ц,оя ° ° Ц ж Ф(0) 1/2, Р(циио < 10') гм Ф(2,789) яг 0,9972. Сравнивая последний реэультат с найденным в п. а) зпаче деления Мц,па мг 5,295 10'а, обнаруживаем, что почт~ вся масса оса ра ожидавия. цаяа сосредоточена виачвтельво левее его математич в) Соб ) ытие (ч«аа < Ц происходит, если число значений 5 '' ..., $мю, равных 1,25, ве превосходит 499, а событие (цгма < если это число ие превосходит 500, т, е, Р (т) < 1) = 2 1000 ~~', Сг' , Р (1) < 1) = 2 А Е 1000 А е гзз 1ааа Таи иаи ч С = Р СА = — 21000 — Сгааа), т А 0 А 601 ( Шаа ° Р ( 1) (1 2-1000Сгаа ) 1 1 Р(г) (1) (1+2-геааСааа ) По формуле Стврлвпга 2 — 1000С100 2-гааа " 22пп'1000 10(А) гааа е газа яг 1000 ) е2 ' 500 500000 1 — .~,~~ — яг 0,0 Оледовательво, Р(плая < Ц оз 0,4874, Р(1)агв < Ц ж 0,5128.
Отличие этих значений от приближеяия 0,5 иа п. б) о ляется, во-первых, тем, что распределение случайной вели цц~~ имеет атом в точке 1 (а нормальное распределение абсо вепрерывэо), и во-аторых, заменой допредельного распре ел предельным. 4.137. Ма .
М тематическое ожидание и дисперсия Э/1") вычисл иепосредствеипо: Маг"1 = О, 0$11") — — 1. найдем проиэво функцию ц„, польауясь поаависимостью слагаемыхг -"=(-" '~ -~ — '' — "' )- г — 1 з =(+ — + Поэтому при лтобом фиксированном з 2и 2и .' ехр~ 2 ~ехр ~ — ~. Так как е1'-'1/' — производящая функция случайной величяиы ь, алеющей распределение Пуассона с параметром 1/2, а е ( — 1)/г =Мг ь, то распределение ц„ при и — аа сходится в распределе.
ппю разности двух независимых случайных величив, имегощих распределение Пуассона с параметром 1/2: — 1/З ~ч е е — 1!г )ппР(ц =41= Ч— и 1 ~,~ 2«гиг( 2~1~тгп (~ й! иг)( ' ге=а /е=о, ж1, ~2, ... 4247. Множество всех, /У корней мпогочлева о(г) о действититьньгмп коэффициевтами разбивается ва множество (гь ..., гм) д йс попел ьных (неположительных) корвей и миожество (г«аь ..., зи) пар комплексно сопряягевяых корней, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
