А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Рассматривая а' а а' — а как функции от Ч, воспользуемся формулой (3.9): М(໠— а)' = ~ (шах(-а, Вх)1 Ч) (х) <(х/ ( ) — пл ость стандартного нормального РаспРеделения. Отсюда, используя 4юрмулы «2 ! »<р <х) «х = <р ( ! Х ! ), х ) х <р(х] а)» =Х <р( ! Х ()+ ~ <р(х) Ых/ х получим « (а+ Вх) «р(х) «/» = а ~ гр(х) ) Вгр( а ) «/В -«/В В -«/В М(ૠ— а)з = аз «г -а/В -«Н г« а «Р(х) «/х+ Вз ~ Н(»),1» аВ, ( а (В « -а/В Вы шая решая Оставюиесн интегралы через табличную фу н ю «р,( ) гр(«') «/е, получим следующие ф«гро«ульи е Ма« = а(0,5+Ф ( — ))-(-Вег( — ) ( ("- )'= (О 5-Ф,(-~-))+ В'(О,б+Ф,( — ')) «ВТ( ' ), Для указанных в задаче числовых значений имеемз 2 100 ма а «=1и, В 20 — — 1м — =1, 200 — г В 0,3113, р(Ц 0,2420. Отсюда и нз формул (2) находим Ма«(05+Фо(1)) +гр(1) 10833 и, М(ае — а)о (05 — Фо(1)) + (05+ Фо(1)) 'р(1) = Таким образом, 1 — гр(1) 0,7580 из Ма 1м, 7«М(а — а)о 1 и, Маа = 1,0833 и, 7М(ૠ— а)о 0,8706 и.
6.39. Пусть верна гипотеза Нь Ошибка 1-го рода и определя ся формулой /8«аа С вЂ” ла а =Р(2„~с) О,Уя о, ]г'л /' Величина ($« — яаг)/огра имеет стандартное нормальное раси Ление и, Слздовательно, значение (С вЂ” иаг)/огра и оПРОД а ется соотношением = ) е «(х««а. Отсюда 1 — а /з )/ 2н аа Са = С наг+ и«огргь 276 1 Мр =Н(1- — ) =Н(1 — Н) — ~у, Н з Отсюда мр„ а = Пш — е Л а/я-гт При гипотезе Н, У 0 < у < '"' ° Мрз = 2' (' — ")" (2) ь-1 ) Из формулы (1) следует, что при а, Н-«««, а/Л-«7 равномерно по /« 1 /ь] (1 — рз)а ехр (а!п(1 ~ 61 — ) — з (/р)))' ЕХр(( — уг — — ас (Н)) (1+О(1))) =Е таю/~~(~+О(Г>~~'('~~)г Х(Н/ а Отсюда н из формулы (2)«полагая в пей о 7Н(1+«(1)), по, лучаем 1"о ~е те<а/г(х. н» Н а/я т е 277 Пусть теперь вернз гипотеза Но.
Тогда ~ с« «"« ()„= Р (;„~ С) - и ~ ", ' ~ —, '-1. Величина ($„— аа,)/оога имеет ставДаРтное ноРмальное РаспРеле ' ление и, следовательно, (С "аз)/оо ]г" = — "Р„Отсюда и из Ра векстза (1) получаем и„о +и~ о =(а — а )]/а. Значит ир -+ о«лри л-г-ос, т, е. ()«-«О при а ~ ««. 6.40, Выборке хг, „х сопоставим процесс размещения а ча.
стнц по Н ячейкам; будем считать, что ья частица попадает в / в+1) /«-ю ячейку, если х ш —, — /, й = О, 1,... Ж вЂ” 1. При такой интерпретации получается схема независимого размещения частиц по ячейкам, а случайная величина р, равна числу пустых ячеек, При гипотезе Н, вероятности попадания частиц в нчейки 1, 2, , Н одинаковы и равны 1/Н, а прн гнпотеае Н, вероятность попадания в /«-ю ячейку определяется формулой (а+гуж р„. ) у(х) «(х = г( — ) + с, (/у), (1) ь/г/ где шах ] е (Н) ] О (1//г~), поскольку по условию 3(х) непрерыв а по дифференцируема иа отрезке (О, 1], Математическое ожиданно н дисперсия величины до при гипотезах Н, и Но определяются фор.
мулами, полученными з задачах 3.116 и ЗЛ21. При гипотезе Н« Р! Х д+ [ 4)$, если а~Я+1[ О, если п=о или и ф" у[а[ 1 — —, если 2«п «Л'. с„"-,[ ксл-а " 1 5$ °,)' С[и( 1) (1 — /,1,52. $) $ " 1; 2) [а-.-.-а > а"а~и-.-,.хааа 1.и. а,„, а , еслипчет[ 2.
/,7[[-[ ио, и О, есле и нечетио в) †( †/ если Л[ четвет. /7[п)'[ 2 / ы — (2" ( †) + п2" 1 (:) ~, если /7 вечетво. а 1.54. а) 1 Е (/7 В+ 1»а[ д[[п ь[[ ( 7»а[ [а/е) б) $ ~)' ,(гь»ь[ (/[[-гь+ 2»а[ 8[[.-7ь[[ ь е п 'в) ~ 2 К[а [, если /7 четное[ 1 %" а/ УЧа) аа (23[»«[„~~ (, 2 / п „)~ ((~ 1)"[га+»(~'-~)["- [га-[) воли Ф вечетное. ['55' а) п [ б) (п - 1)" ьс„"и и; в) п-[.
г) и-а 1.56. а) 1/и[[ б) О, если среди /, „ .„ / есть одиваиовыв[с $/в 1 если все /, ..., /а раавичиы[ в) 1/щ г) 2/и[а[[ д) 1/и. [а[ 1157а Р )'„( 1) +[ц.-в.1-- (п-ааа), 1.59. 1/2, а 1 1 а 1 и ! $.60, а) П а„[дав[ б) [[ в) 2 и[ Ц й " и п(п — [) 1.61. Р(т[ «х) гаал(0, 2х — $) (0«х«1), Р(1[ «х) та[в(гх, 1) (0«х«1). $.62.
а) [в[в(х,[) (х,ио)[ б) 4х(1-х) (0«х«11')т $ (и 2а 1/2) [ в) вх~ (О «х «1/2), 1 (х,л $/[/а), х (в 4 атосов ц) +, 280 у —,„., (' «, ' 1., „) ', (О«х«1), 1(х,Р)/2) 1 п хт( —" — атосов — )+ у х — $ ($«х«У~)' [ 63 а) х(3 2х) (0«х«1/2), $ (х~[/2)'* ;„( [ [) [х,"в 1); в) 1 — (1 — * Уз) б~тзг- [,64. [8 [я/8) = )/2 $ 0,4142[35... Ь 1в 165 (1 — ~, О -Ь«га; О, Ь>га. Ь [а [66. (1 -/[, О«Ь«К О, Ь> . Ь 3+~1, О«Ь«га')/З(2 — 1/3)[ -а 21/3 /' о, ь>г.уз(2-Уз), 1.68. (4п — 3 )'3)/бл 0,39103....
и я ят $.69. Р ~[3 — [3 — = — а[[+а[1)) (п-в аа). и 2пз г я'11 а я 1.70. 5/6, 1/6, [,71. (1 — 2 — [8 / ), если г < — с[8 — „; О ири а и та~а 2 с[8 Ь, й 3, 4,6. 1 [80 $.72. 1 если 0>и, [ — — агссон —, если )О) <ез О, если за О<-а[ р(2,0[-р(а, О)- —. 1 1.74. Д =)/ $ ~ — ), Дл = — = 0,866025 ..., ([ =2, 12В 2 х 2 1 $,75, Д„1 — я агсщ" Я, 1/и 3' члт 3' 1.76. Р.(А) 1 ~ +1~1 Р(А)', Р(А) 2-а й — 1 где Аа — событие, состоящее в том,что было й иересеченя, , где 1 Л 1 / 1.77, 1 .у(1 — р ) .а а(1 — ц . 1.78. 1-(1 — ~ ) (1 — — ). 1,79.
-а~а; =,- 0,707106 ...; Ь вЂ” = 0,866025[.. ° [/2 !.80. ! Ь з з ' ) ° — =- 0,378732 ...; 2 'Р (4.)'+л' ' 2 2.)г!7 =- г )ггЗ в) — = — = 0,4Ш!27 . Ть 4 ! 82. 2 —.—.=-, =0,3244382. ° 1 83. — а 13-. 2 Ь 1.84. Р =- 1/а', Р 8вь/аз (1 ( га ( а/2), Ра~ (2а — 1)/ав (и четкое), Р = 0 (т > я/2).
/я'[а за 2 4..., (24)~2) ' зз+т 1 3 5 ....(24+1)(2) ' Р 0 785398 Р 0 523598 Р 2 49039 .10-з Р , 2 46113 .10-з ь лава 2 2 1 ° 1/3. 2 2 1/7. 2.3. [Н9 (!= 0), 2/19 (! = 1, 2, ° ° ., 9) 0(! = !О, ... 18). 2.4. ь[г — з /9! 2.6. [ ь! ь, / / [ я. 2.7. а) 1/5; б) 1/5; в) 1/ЗО. 2.8. а) 1/2; б) 3/5; в) 4/7. ( оф = ~, Р (В„ь) = —,, Р (Са [) = —, 2.!О. Р (А,) 210 0,3952 ..., Р(Аз) 210 О'2047 ..., Р(В) 2/5. 2.11. 1) С ' /9( ь)/9! ')/9 Ль( ь ььь+о, ь з з/ 2) ~~ Ьь[оь)у /Зг[оь [ ь[. з з ~ (/9 +/9)[в- )/9/В[з) /9 5, +Д, +5, 2.12. а) +, б) — г 2.13. а) Р (а + Ь) Ь (а + Ь) + Ь (а [ 25) ' з а + Ь ь' з =( — ')'': \» а+ з-о(а+5 — 1)[ ) ' (д+ Ь)[з)~ (а+Ь вЂ” 2)[зз[ 282 аЬЫЪ (Ь 2)ызь У (д [ Ь)[з) ьа (а + Ь 3)[зз[ ~.' 1 (й — И[' 2.14. РР— ь ! пРн /ь = 6. 2.—, [ о 2.15.
а) Аь, Во неаависимы при льобых 1, й; б) Аь С, яевави- симы: в) Ае С, вависимы. 2Л6. Независимы пары А<, А! с !, /ои (1, 2, 5, 6), и добытая на- бОРов (Аь. Ао, Ао) и (А„А„Ао), 2Л7. Тольио при г ( О, г ) 2/3 и г = 1/3. 2Л8. а), б) Яввявьтся. 2Л9. А,Аь и А, вависвмы. 2.21. Является прв и = 2; не обязательно является при я > 3. 2.22. й ь [о3ь в. 2.23. й < п — 1.
234, а)ссьссз; б) 1 — (1 — рь)(! — ()з). 225. а) Р (1 — пь) Х Х(1 — ссг); б) р ~ь 1 — ось — ссз- 2,26. а](СзСз /Со о)з =О,ОООЗИ5 ..., 6) ,'~~ СоСоз /'Соз 5ьь з ° 0 0003473 9о(9ь + Рось(9ь + Рьоо)), гяс 9ь 1 — Рь. и / а ь.ьь. ь — Д (ь,) (! ...
2 ьььь —,ь), ь 1 Ф 1 2,29. 38/105 0,3619047 ... 2.30. а) 5/28[ б) 43 ( 7 ) + 4 ( †), 2.31. а) И/20» б) 0,1 Я + 0,6 ( — ) + 0,3 ( 4 ) ' й = 1, 2...,ь 1[о! 2'ьп З[з[ в) 01 — +06 — +03 —, й=1,2,3,4, 4[о[ ' Ььо] ' ь'[о) ь 2.32. 0.87!07... 233. а) И/30, б) 47/120, в) 47/90. 234. а) р(1- 5~) (1 — Зь) + (1 — р) асяс, б) р(1 — 5)(1 — Р )/(р(1 — рь)(! — Р ) + (1 — р)дьаь). 2.35. а), б), в) й//Ьь (г С /9). 2.36, з/а. 237. а) 0573683; б) 07776829..;, 087сс7!2... 2.38. Рь = 0,0282, Ро 0,0428.
2.39. 0,02'[ (Рь ~0,033, 0,04[ .Я ь~ Рь < 0,047. 2АО. 5/И, 2,41. 14/17 0,8235294ь... 2.42. 2ьхрь/(2ссрь+ (1-а) Х Х (рь + рь)1. 2 43. а) ьх (1 — 7)/(ьх(! — 7) + 7(1 — 5)], б) 0 9173... 2,44. 9о р(1 — сс)/(р(! — сс) + (1 — р) (1 — 5)), 9, ар/(ар 4ь', '+()(! — Р)), 9о ) 9, а=ю-() ~ а, 2.45. а) 2/И; б) 6/И; в) 3/И. 2.46.
1 — (7/8)" 0,930791... 2.47. а) 0,348678..! 6) 0,05739544 в) 0,987204. 2,48. Сз ~ — ~ ~1 — -3 ~ ~ 0,0002ИЗ? ... ~61~-61 2 49 Сор +" " аь 2 50 (1 — р ) 2 51, (гсь зр+ 9") д д,...,, 1+ 4т Рс/д, 1-1 2.53 а) си~"«-,~)~-~; б) сь,ся-ь»«,) 251. а) рдс, б) (1 дс)рдс в) (1 з, с) с ' дь Е-С-а2» до = 1/32, дс 3/32, д, = 21/128, д, ю * 7/32 дс 63/256, дс 63/256, 2.56. С~+г2 " ос. 2.57.
0,593126... 2.58. 536. 2.59. 0,26502. ' 2.60. 0,26424. 261. а) 0,68269, 0,31731; б) 0,72874, 0,36820. 262. ас- 0,68269, 0,31731; б) 0,66906, 0,33004. 2.63. 0,95. 2.64. 0,846. 2.65. а) 5584:. б) 541. 2.66. 547. 2.67. 0,1587. 2.68. 0,0228. 2.69. 0,98101. 2.70. 0,8185.." 271. 080085. 272,С р д, 2.73. (ьб/1 36' 2'74. а) 7/8; б) 2/31 'о в) 1/3 275 д, 05 276 дс. 025 277 д(1 ръ)/(д ( рв).
07 2.78. СС"+~»/Ер("+~(/т Сп р д, если (п+ гп)/2 — целое, 0 в, противном случае. 2.79. С18» (2») а (0,1)е(О,З)1=0,0054432... 2.80. р" + прп 1» ° ': 1 1 1 1 / 1 / 1 11 "' сис 1 1 1 и — и, 0 в противвом случае. М-А 2.85. Сь„(1 -„) ~~)', С„' „( — 1)1(1 — — „) . 2.86. 3/4, 2.87. Р(8 ~, 1) 1/3, 1=1,2, 3. 2.88. »1/(» + р ). 2.89, а) 0,489142...; 6) 0,295635...1 в) 0,215222.„ Глава 3 (тя с) 1/5, 1 — 2, — 1, о, 1, 2; р(с»1 = 0) 1/5 Р(с»1 = 1) 2/5; с 1, 2, 32 а) С 1( б) 3/4; в) (пс и,.( 1)/(гс(„Р 1)) 3.3.
а) С 4; б) 1/6; в) 2 '(,,' и (а +1) (и .( 1)(п ( 2) )' 34 ') С 3'б~ ро() Зх'(О «1); ) 0026 а) 2яха. (х>О); б) ссо а~х/'(2')/х) в) я~елр( — сс(ееа — х)) ( оо ( х 6' а) Яе-о'/(1-а-о) (О -х(ц, б) 1 (х (О 1)) 284 3.7, е) «2 (х си (1, 3»),' б) е ' (х > О) х 1 а 3,8, — -Ь вЂ” агс19 —, — д с ( — ос <в <оо)' 2 я а' сса+с 39 р„(х) рс(х» «(яух(1 — х)) (0( х < 1)' 3.10. Р„(т) рс(х) = рс(х) 811.
а) ср(х) д 1(х); б) распределение 5 совпадает с рас- пределением' 3. 3,16. а) р = рс = 1/2, р = 1/3, р = 1/4, р.. = 5/12; б) д т 1 —— 1/8, д = 1/12, д = 1/2 д = 1/6, д 1 — — 1/8 ос- тальвыо дс) — — 0; в) д с =д ..=1/8, д =1/12, д 1/6, до, д -1 1/2, д. о=д.с="/4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
