А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 45
Текст из файла (страница 45)
е. г««м = гегам-ь 1шгмаг/чьо, / = 1, ..., (/У вЂ” ЛХ)/2. Так как 2 Не гм+М Р(~. = 1) (1 гм+г/ ~ Р((/=О) = 1' — гггтг/( Р6 =')= г ~1 — гмоы!г / = 1, ..., (/У вЂ” М)/2. Пела так определенные случайные величяпы ьо, ° ., (1иаггыг пе" э и;ясииы в совокупности, то распределение их суммы совпадает с распределением 5.
4 150. Так иак частицы раамещаются по ячейкам независимо и раапоаероятио, то при любых целых п, /у и й /е Р(р (и+1,/У)- й(р (и,/У)=й)=1 — д/, й Р (р (и + 1, /у) = й — 1 ( р (и, /у) = й) — — ~. ,261 Т(1) = 1, то гр (г) = Мгь г — з. "1 г — з/ (и-м)/г г — 2г Веем+ .+ ( г „1)1 1 — г ~1 — 01( ~ 1 — гМ+М(г причем г' — 2г Пе гмагг+ ~ ем+11!г (з — гмаг/ 1) (г — гм+м) г — гг — мпогочлепы с неотрицательными коэффициентами.
Первые М сомяожвтелей явлнютсв проиаводящими функциями слу чайных величин Ь1, ..., 5м, припимагощих эяачеяия 0 и П ( зу ) 1 '(Ь/=')-)т:..Ц 'Ь=-')=(1-0 ( а последние (/г' — 8/)/2 сомножителей — производящими функция мэ случайных величин 5меь ..., 5,иемыг, принимающих аяаче.
лпя О, 1 и 2: По Формуле полной вероятности Р (Р, (л+1. Д/) - «) = Р(р <л+1,/у) й,р (я, д/) — «) ). + Р(ре(л+1 й/)-«, р,(л, й/)-« — 1)- (1 — У) Р(Р (, /У) =«)+ — Р(Р (, Л') =/с-)-1 Умножая обе части этого равенства на з" и суммирул по й от; до »»,получаем: е< 1 К е»+д»н(з) /»я(') сулз /»,я(з) +улзу»,я(з) 1 — з е) =1»,я(з)+ ~ — зу»,я(з) Так как Р(де(л, М) ~ д/ — Ц = 1 и Р(д»(л, /у) = д/ — 1) й<-» .х то /, »(з) — многочлен степени У вЂ” 1 при любом л ~ 1.
Дока>, теперь индукцней по л, что все корни з, „..., з,, х, многочла / »(з) вгщ»отвеяны и что если — »» з, х ( з, » ...(з», г О, . ° .~ з». з» г», ~ ~ О, то з»»<, з — 1:- з, х-<К з»+/, х-з~ з», х-з» . ... ~ з,з~( г»»ь < ~ з»,, и, более того, з» <+< ~ з»+<, < (з»' если только з, с»с ( з„, <.
(Ясно, что отсюда следует утвержден' задачи,) При л 1 н л = 2 имеем: уд я (з) 3; / /т (г) = — з з+ — з/е-д <е-д '/ 1 не,я /у 0 зе,з <= /У+1(зз гь, О. и доказываемое утверждение справедливо. До стим теперь, что все М вЂ” 1 корней мпогочлена У» х(з) веществ пы и неположительны.
Нетрудно проверитг» что /», х(з) » 0 з ) 0 и Нш з </с д//»,„<з) = д/д ") 0 и что если з», / (1 аз ). ( ) + « ( /т) — корень кратности «, т. е. 1 ) 3», с = з, с»1 ° ° ° з», с»»-1 ~ з», / <» (здесь мы считаем, что з,, » = — »», з», з»» +»»), то /» я (з» /) („р/ (г» /) = ... /»<«яд/ (г» /) = О, /»<ця (з» 1) чь В силу (1) тогда 1 — з„ /»+д,я(з»1) я ' /»я(з»/) прн «=1.
с ц.д<я (з»,1) у»+д,я (з,д) 1»з«дздч (з 1) = 0 1 — з /»+д,<т(з»й) у 1» <т(з»/) при «~2. <з — дд "/ <ю Ипымн словами, при переходе от /», л(з) к /»+с/к(з) краги каждого корки з„, с уменьшается на 1. далее, если з,, /е< ( з», с, то /, »(з) не меняет знак на интер Ф зале (з„ /+ь з»,с) и равна нулю на его концах, а /» я(з) имеет ие этом инторвале ровно один корень (так как все йорик много»»сна /, »(з) по предположению индукции действительны, то коре ии )»,»(з) я /е я(з) чередуются). Отсюда и из (1) следует, что /„<, п(з) меняет знак на интераале (з,/»<, з, с), т.
в. имеет на нем корень (ровно один, поскольку в противном случае общее число корнев многочлена у»ес, „(з) превысило бы Д/ — 1). Тем самым индуктивный переход от л к л+ 1 полностью обоснован. 4153. Так как распределенно 2 симметрично, т. е. Р(х) = р( — х), то мв-"с = ме'ы м сое <2, »» месс« ') в<сир(х] е/х 2 ~ р(х) сох схкх. О» о Выберем е так, чтобы выполнялось услоаяе О С е ( 3 — а, тогда прл с ) О, используя соотношение 1 — сое л ие/2 (л 0), получим: »» 1 — Месс« 2) (1 — соз дз) р(х) ех е с-е/з 2 ~ (1 — сок се) р(х) ох+ 2 ~ (1 — сов с,х) р(х< есх = е с-е/з / и(Ыи ы (/з ') + 2 1 (1 — соз и) Р (< — ) —.
(1) (,с) с сд-е/з Далее, в силу условен р(х) С)х) ", )х)-» со, имеем< / и<Фи <' С (1 — соси) р~ — ~ — =(1+ е (1)) 1 (1 — сов и) йи с д — е/з <д-есз <'1 — сое и (1+ с (1)) Сза Д ) — — йи, С ( О. (2) е Из (1), (2) и того, что 0(р-') о(с"-') при с) 0 и 0 ( е ( ,( 3 — а ( 2, следует, что п( Р1 — соз и Месс=1 — 2С(с)а д(1+о(1)) ) — ли, )с) — »О. о Глака б б 7.
а) Так кзк а» и б» независимы, то мосе сое (с+ ()») = маем соз (с + 3») = О, паз соз (с + бь) = маем сое (с + ()з) =- м соз $$« -- — 1)2. 203 Применяя центральную предельную теорему и веззвисимым яаково распределенным случайяым величинам о» соз (! + 6»), Ь, 1, 2, ..., получаем, что предельным распределеявем ч,(/) в-»«», е совет является нормальное распределекие с пара рами (О 1/2). б) и ) используя тригоиометрвческую форму записи комплекс чисел, находим л ( 1 / п .$/- в~/ А т.
е. о)«(1) О„соз(г-(-у ), где « « О« = ~ — ~~ ало 1, 2« агй т алв ~.)е-,~~е 1 « Рассмотрим случайяые величины а е ", Ь 1, 2...„ /6 двумериые векторы (ае соэ ()е, ал з(в 6»). Твк как а», пе, ...,' бь йь ... иезависимы, а 6» имеют равпомервое распределение отрезке ( — я, я), то распределение а е г+ ... +п„в " сфер »э Ф ски симметрично, т. е. О, и т иезависимы и Т„имеет равиоме раси еделеияе иа отрезке ( — я, я) .
6 о условию векторы (аасозй», аез1пбе), Ь 1, 2, ..., и висимы, одияаково распределены, М(а»соз(3м оаз1пбе) (О, а ил матрица ковариапий, как ветрудио проверить, равиа (О 1 Согласно многомерному вариаиту цеитральиой предельной т мы предельное распределение вектора и чьч $««Р (аз сов()л, олз(пбл) )' в Ь-~ является асимптотически нормальным с пулевым вектором ма магических ожидаиий и матрицей коварваций / х Поэ ( 0 1/2/ Иш Р(О„эх) )(ш р()~ )>х)- Иш р(($„(э>х»1 ее СО «+ел« е о 6.12, В силу задач 6,16 в 6.16 вектор ($„(х), $„(х+ Ц) и двумерное нормальное распределеиие с пулевым вектором мат 266 твчссквх ожиданий в матрвцей коварваций л«тэ 1 ( ( ьц)«+г т ~ ..
«, е~ е ттгстг-т «,~" ( еи' ( -.-«~/ »ве«г" — (»тпч"'-~ х(х+Ь) — 1 (х+Ь) (1) (ссли х, х+ Ь или х(х+ Ь) равно 1, то экачеиия дробей в правой части определяются пе непрерывности). Согласпо вадача 6.266 1 1 сот (Е (х! $ (э+Ь)1 Р (т (х) $„(х -(- Ь) «" О) ~ — — агснп =еее««««««««э«««а, (2) 2 я '$/0$ (х) Г»ф (я+Ц Рассматривая равяость между 1 в квадратком аргументе огсз(пг (сот (Е (е) $«(э+Ц)) 0$ (х) Г» $ (х+ А) ((х (х+ Ь))«+1 — 1) (хэ — 1) ((х+ Ь]з — 1) (х(э+ Ь) — 1) ( " — 1) (( +Ь) " — 1) арпведем ее к общему ввамепателю и преобразуем числителы ( ге»о 1)(( ( Ь)э«+в 1)( ( +Ь) 1)з — ((х(я+Ь))"+г — 1) (х — 1) ((х+ Ь) — 1) [((х(э+Ь)) +1 — 1) — (Р+1 (х+Ь)"+1) ) (х( +Ь) 1) — ((х(х+Ь))"+ — 1) ((х(х+Ц вЂ” 1) (х (х+ Ь)) ! -Ь*(( ( +Ь))«+1-1)'-(х«+1 (, +Ц"+')'(х( +Ь)-1)З « / « »э1 Ь'(х(.
+Ь) — 1)'~~;»„( (х.(-Ь))")' — ~ ч', "(х+Ь)" л) ~е 'ь л-о л о Отсюда и иэ асимптотической формулы вгсз1п )/ 1 — р~ мв' — у (1 + о (1)), у $ Ое (6) получаем при (х( чь1» ')»ш Р($ (х) $„(я+Ь) «60) Гв / п »(з1»д» - ' Игп ~', (х(х+Ь)')'-Д, хь(х+Ь)" '~ ~ а Лчо о о „(, Я ь 1)((х+ Ь) "+'- 1)-™- 266 хз»+е — 1 б) Хотя, соглагво (2), при р Е = 1/2 1 Р(р „=О)-= (й )г яй Если (х) = 1, то матраца коваркапэй (1) принимает вид и+, (1 + Ь) "+' — 1 Ь (1+в)" +г — 1 (1+ Ь)з»+т — 1 й 2Ь+ Ьз и при Ь-«0 (сот (Р М), 5» (1 -)- Ь))) з Ойи (1) 05„(1+ Ь) ((1 + ь)"~-1 — 1)' ь (2 + ь) з Ь ( +1)((1+Ь)з"+' — 1 — 1 ((1 + Ь)»+1 — 1) (2 + Ь) ) Ь (и+ 1) ((1+ Ь)»+1+1) 1 ( -' 1 + †" Ь + " (и ') Ь' + (Ь')) (г + Ь) 2+ (и+ 1) Ь+ Ьз+ о (Ье) Остается воспользоваться формулами (2) и (3).
1 Монотовиая сходимость функций Л«(х) к Л (х) =- и)1 — х. ир» и ( оз следует нз того, что последовательность функций 1 1 1 — «'"+' пр» и (»е монотонно стремится к оо для каждого х, ( х) чь1. 5.24. а) Согласно лемме Бореля — Кантетли (см, задачу 4Л достаточно показать, что ~ЧР„Р(р = — 0) ( ас »=т Но Р(р» О) 0 прп лгобом нечетном и, а если и = 2й, то формуле Стирлннга при й -« оо Р (р„- О) - Сэьрьоь -, рьоь = —. (2) )/4яй (2й1ть (йрт)ь 2„ййт Прн р гь д имеем 4рт < 1, а отсюда следует (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
