А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 42
Текст из файла (страница 42)
5.92. Положить 1, если Зс = 1, т (с] =- О, если $ чь 1. Тогда с с с т (с) = ~ х (г) ссг, т! (1) =2) ~ 7((гс) )((гз) Аг !(гс, ' о о »- Использовать результат задачи 5.90 и укааання к задаче 5,93. Использовать равенство ц (С) ц (О) + ест!(С) — сгтг(С) = ц (0) — сгС + (сс + иг)'С н реаультаты задачи 5.92. 5.94. Составить систему дифференциальных уравнений роятностей перехода ры(с] эа время с н перейти к систе леянй для яи пь пь заменяя ры(с) на яс(с) и» яс, ! = 1, 5.95. См. указания к задаче 5.94. Глава 6 1 ч-.ч 6.1. Положим Уа — — ха — а, У = — ыу Уд.
Показать, и,ьк Ь=1 з 3 — Рм (уа — у)г. Найти мг . Доказать, что Ог =О( а 1 л-» оо. 6.3. См( задачу 3«62. 6А. Использовать независимость хс и гз. 6,5. Величина гг является состоятельной оцепкой Охс дачу 6«), т. е. гг — Охс при л-» со сходится по верояти Воопользоваться решением задачи 4,33. 6,6. ВыРазить величинУ ж чеРев х =х.— Мй, у у МЧ и ити Мт. Доказат!и что Ош 0(1/л) при л -~. с». айт „ о » 6 7. Найти Мр ~ ОР Использовать яеравенство Чебышева.
68 Используя теорему Муавра Лапласа и результаты задач 67 4 33, доказать, что если Р* Сс»/сЬ тп при в-» оо В Р Р ' ) '«-р)/.~'1 6,14. 6) Найти максимум функции правдоподобия прн условии ° 1 а — с=О. 6 18. Воспользоваться результатом аадачи 6.1, центральной преои теоремой и задачей 4.33. 6,19. Оценен А, и А зависят от общей оценки гг и, слсдольно, нельзя воспользоваться решением задачи 6.3. Иа условия несмещенпостн МА* = А получим с!+ сг 1. Отсюда А» а+ 4-()(с,г!+ « — с!)гг) +Тгг Найти ОА» и подобрать с, тан, чтобы двснерспя была минимальной.
6.22. 6) В формуле для А„положить рс = у, + б,ь у! = хе+ .( б„ Попользовать задачу 4.33. 6.26, См. задачу З.«5. 6.2от Воспользоваться формулами хг = хсг! + х, хг = хж1+ Зх!г! .( Ф !41+6„сг! ( 7.О! ). ( сы .( 1) ( 4+1)) в решением задачн 3.116. 6.29.
Использовать реаультаты задач 3.89, 3.90. 6,30, использовать реаультаты задач 3.64, 3.65. 6.31. Использовать резуньтаты авдач 6.29, 6.30. 6.32, Использовать результат задачи 6.30. * 6,33. Использовать формулу(3.9) и формулу р = ) ие е(и=х=е з+ — ) е "'зс(и. з -и (г -хг( — г/ )е 2л ')/211 )(2п,) х 6.39. И спользозать квантнлн и„лормальиого распределения: '6АО. Воспользоваться решением задач 3«16, 3.121 и формулой ""= (-") (.--')" ~'-Р '— "В й = О, 1, ..
» Д' — 1. 6АВ Во 6.42. Й 1 Воспользоваться решеяием задачи 5.36. Использовать представление т„(с) в вице тюг(С) = цп(1) +..+ Чп(С), .(г+ !' = —, если в момент г был переход из 1 в 2 (т. е. 3(г) = га' д! (г) — ! - г+ ) = 2), в цп(г) = О з нротнвном случае. Воспользоься еадтчсв ео82 О< а И, Рпс. 8 выше его начала, т. е. центра монеты. Па рис. 8, а изобра чение вертикальной плоскостью и, нроходящей через цен кеты и ось 08, вокруг которой вращается монета АВ; отре 03<< — это положения вектора нормали 03< в момент его п кия череа плоскость к,прямая ОХ вЂ” это линия пересечений ривонтальной плоскостью 7.
Если 0 ьа, то весь конус, по которому скользит ве расположен выше плоскости 7, и тогда р(а, О) = 1, Еслм то конус располол<ен ниже плоскости 7, н р(а, 0) О. = О ( зв ( и/2 или а ИМ ) [О[, то плоскость 7 деии.. ' постук которую описывает конец 3< вектора ОД<, на две р сти, и поэтому р(щ О) 1/2. В общем случае О ~ [О[ ай Изображенном на рис. 8, а, рассмотрим окру<кисет<к нота бывает конец д< вектора нормали 03/ (рис, 8, б), искомая. ность р(а, О) равна отношению длины дуги МР/<М' к окружности. Иэ рис. 8, а находим: О,Л, - О,Д<, — О,М - ОО, 18 щ о,с=оо,(00'< 180 агссоз — г р", !Еа поэтому (см, рис. 8, б) угол МО<д« равен 180 = 1 — — агссоз —.
л 18 а' !.58. Цикл (!< 1, гз,..., !4) з<ожво выбрать (п — 1)!з-Ч- бами, а остааьные л — й эчемептов можно переставлнть ( способами. Поэтому число подстановок н зн Я о )<~ й: ' (п — !)ы <<(л — й)! (п — 1)1 и Р[<<< й) = (п — 1))/л( аз< 1.5а. 9. Число Циклов (г< = 1, <г, .„Ь) Длины й, сода влемелты 1 и 2, равно С„' (и — 2)(" з), а общее число по' во<с содержащих 1 и 2 в одном цикле, есть ~ ~С< (и — 2)!<' з) (п — й)! = (и ) (и — 2)1= л) 4 з 2 2. т. е.
1 и 2 содержатся в одном цикле с вероятностью 1/2. 1.72. Так как по условию толщина монеты предполага пой О, то вероятность того, что монета после паденил вот ребро, тоже равна О. Будем считать, что монета ложится. вверх, если в момент падения конец вектора нормали окав /'з 184<, Грзкпца хо,<нтсл междУ 2„,' 1 ( и ( 2<и /ВАВС пересекает ровно т окружностей, если А Бг < и Яг +< (при т Π— внутри Я<, при + 1 — между Я» и 3 <), и поэтому 1 1/л, 8т/п, (йп — 1)/и, О, т=О, 1 ~ т ~ [(л — 1)/2), т = и/2, и четное, т > и/2. Глава 2 221, Если л 2, то из условий задачи Р(А<) = рь Р(А<) рг, Р(А<Аз) р<рз „,, ««незавксимость А< и Аз.
Прп и = 3 уже можно привести пример совокупности вависи- „<ых с: б<«н«, удовлетворяющих условию задачи: Р(3<Азлк) = Р(А<А<Аз) = П8, Р(А<Аьбв) = Р(А<АзАв) .1/8 — е, Р(А<А<А<) = Р(А<А<Аз) = 1/8+ е, Р(А<А<Аз) = 1/8+ 2е, Р(А<А<Аз) = 1/8 — 2е, "де Хы = 1, если е«ш А<, и 2« = О в протнвном случае, и полою"и аю = (Ур<...»УР») <н В", Тогда при !, / 1...„й (аз, аз) 1, (з., а<) Р(А<), (а<, а<) = Р(А<А<), Векторы Ь< а< — Р(А<)ав (' = 1, ..., й) удовлетворяют следующим соотношениям: (Ь<, аз) = (а<, аз) — Р(А<)(аз, аз) О (! = 1, °, й), (1) (4< 4<) = (а<, а<) — Р(А<) (а<, аз) — Р(А<) (аъ аз) + + Р(А<)Р(А<) (аз аз) = Р(А<А<) Р(А<)Р(А<) (1,/=1,...,Ц.
(2) 241 !6 4 Ы Зубков к Лр, где О ( е (1П6, В этом слУчае Р(А<) = 1/2; ! = 1, 2, 3, Р(А,А,) = 1/4, Р(А<АгА<) !/8, ио Р(А<Аз) = 1/4 — е чь Р(А<)Р(Аз). 2.22. Пусть события.АН ..., Аз удовлетворяют условиям вадачн ОН< ним сливу число влементов множества й Для любого набора (з<...„ез), е< = О или 1 (! 1,2, ..., й), Р П А[ >О, (з!)) ' ) 4 где А(зг = АО А(з) = А, т.е.
Д А( !) 4 8. Так как при 4 4 (з, ..., сз) Ф(ез, ..., ед) событии П А,. и Й А< непеР(ез ) (е!) 4 в-в в=з с ко<ется, н число различных наборов (е, ..., з„) равно 2, то 4 й: 8»„и. Экстремальным примером является () =((е, ..., еь): з;=О нлл 1) с Р 4(ез, ..., ез)) =2 " и А< — — (а< =О), ! 1, ..., /<. 2.23. Пусть П (юь ..» Ы»), Р(юг) рг ) О (/ 1, ..., Л), Р<+... + Р» 1. Событиям А< ~ П, Йчв А< чв Я (! 1, ..., й) сопоставим векторы в ()» а< (2ИУРН .
° ., Х< Ур»)< = 0,66906 + В 10 ь, ) В ) < 1 )В( < 1. находим 7'лаза 3 242 ' 243 Равенства (1) означают, что векторы Ь<...„ЬЬ лежат в (л м»рпой гнперплоскостн (х ж Н": (х, оо) = 0). В силу ранено события А<, ..., Аь попарно независимы тогда и только тогда, да векторы Ь„..., Ьь попарно ортогональны. Следовательно,, < х — 1. Если «) 4, то пример э — 1 попарно независимых событ ет следующая конструкция: О (ю«, ..., »о)< э — 3 1 Р(<»!) =, э П =1, ...,и — 1), Р(<» ) = (э — 2) (я — 2 А< = (ю<, ю.), < = 1, .. о я — 1, 2.6!.
а) Согласно теореме Муавра — Лапласа 1пп $э — 2 ~ »», ) = 2Ф (1) = 0,68269 ... Пп<Р(~$„— 2 ~) ) =1 — 2Ф (1) =0,31730 Вт < и предельные зпаченил и язлнются приближениями для . мых вероятностей. б) При р = у = 1<<2 из формулы (2.11) находим Р(ьэ — — Ь)=СЬ2 ь, в=0,1, ...,и. Отсюда н из равенств Р(~5<оо — 50( ~ 5) = Р(45 ( 3<оо ( 55), Р((ь«о — 50( ~ 5) = Р(еа<х<» 45) + Р(3<оо ) 55) = 1 — Р(46 ( 5<ю ьь " СьоР(45($ (55) 2 — тоо !» Сь 2-<ооСьо 1 ! 2 ~~~~ ьое: ь=оь ь=- С ое Сьо — ~' + 5! (' + 52 (' + 53 (' + 54 (! + 5 ))))) = Сьо = 9,15635 2<ее'уь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
