А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 38
Текст из файла (страница 38)
4ЛО. Используй тригонометрическую форму записи компл ных чисел, показать, что 6„= 18 (загс(8 $), и применить реву таты задач 4.28 и 3.8. 4.31. Использовать неравенства из задачи 3.228 и определе условной веронтцостя. 4.32. Использовать равенство Р(х» ( х) = ((»(х) и асямпто е (» ческое соотношение !!ш [1 — — ) е » п 4ЛЗ. а) Воспользоваться справедливыми при любом е включен илми (ц„«,х — э,(3») (э)ви(ц +$ ~х ($ ) ~з)~ = (ц„ ( х + е, ($,( < Р(А) — Р(В) ~ ~Р(АВ) ~ Р(А).
б) Доказывается аналогично а). чи 4.33. 4.34. Использовать теорему Муавра — Лапласа и п. а) з 4Л5. а) Воспольаоваться неравенством Р(АВ) ( ш1п (Р(А), Р(В)), справедливым для любых двух событий А, В. б) Испольаовать определение непрерывности фупкции дв переменных и результат и, а). 4.36. П (») [(1( 00 . 6.
Показать, что при каждом (=1, 2 последовательное = (»( +... + ь( ()/и сходится по распределению к а(, ко да в-» о», и примеппть результат задачи 4.35. В случае а) схо сть " к а~ следует иа аакояа болыпих чисел (см. введе к гл. 4, в случае б) — из задачи 4А5. 4. 7. . 7. При вычислении Р(ь» ( х) воспользоваться соотпош вием 1(ш(1 — з)™ е е- е 4,ЗЯ, .38. Заметить, что т» можно представить в виде суммы й и зависимых случайных величин, распределениых так же, как Воспользоваться перавецством Чебышева.
4.39. Значение мт вычислялось в задаче 3.202, Чтосы иай распределение т, заметить, что т ч »1+ ''+ьч. Мт Мч использул оценку ~~ $,+ "+(, (Р(ч(л)+эпр Р ( ''' »» о~~в (($(+ +$ <а~» л( 2(Л показ орой сомиожитель в (1) сходится по вероятп и воспользоваться п. 6) задачи 4ЛЗ. ' 4АО. Заметить, что случайная величина т имеет такое же расправе ,пеппе, как сумма $, +... Зи в которой Оь $з ... и ч неве»и( ,.„„епчы, $ь $ь .. распределены так же, как $, а ч имеет гео„,„,рпческое распределение с параметром Э.
Далее при решении и а) (мпользовать задачу 4.37, а при решении п. 6) — задачу 4Л9. 441, Первая оцепив следует из иеравеиства Чебышева. Для д казательстза второй можно ввести индикатор дл события А и довез „оспользоваться результатами задач 3.186, ЗЛЗЗ, неравенством КоБупяковского и переходом к дополнительному событию.
4.42, Используя задачи 4А! и 4.39, показать, что пахождевке прсдельиого распределения ят( сводится к примеиепию задачи 4Л7. За~ем с помощью задач 4.33 и 4.41 покааать, что предельиые рагппеделепин эт( и этз совпадают. 4.43. Убедиться в том, что процесс работы прибора удовлетворяет схеме, описанной в задаче 4.42, и что для искомой случайной величины т и случайных величин т( и тз из задачи 4.42 справедливо соотпошение Р(т( < т тт) = 1. 4А4. Применить результат задачи 4.43. Использовать аппроксимацию пуассоиовского распределения иормальиым. 4.45. Испольэовать определения указанных видов сходимости. При построении примера рассмотреть такие независимые случайяые величины 3», что 1 Р (т з) 1 Р [(1 — ь[ и) 1(п Вычислить М($„— $)т в использовать лемму Бореля — Кантелли (задачу 4А6) для доказатбльства того, что Р (1!ш [3» — 2 [ 0~ = О.
4АО. Если В(х) и )(„(х) — функции распределения 3 и (л 1, 2, ...) соответствепио, В*(х) и В„(х) — обратные функции, а случайная величииа Ь имеет равиомердое распределение на о(- резке [О, 1), то последовательность случайных величин Р„(() сходится и $' )г»(ь) с вероятностью 1. 4.47. а) В случае когда 3 сходится к 3 ко вероятности, воспользоваться равиомериой иейрерывяостью ((х) иа любом копечяом о(резке и ввлючеиием (!((3„) ((2)) > э) ш ([31 ~ Т) () ()2( ( Т. !й» вЂ” 3) ~ ') спразелливыл( для любых э ~О, Т(,д» ири некотором в' в'(в, Т). Случал сходимости с верояткоотью 1 рассматривается аналогично, а слу'(аб сходимости по распределевию сводится к любому ив Рассмотренных с помощью реаулыатов задач 4.45 и 4.46. б) Рассуждения проводятся так же, как в п.
а), ио при по- строекии множества, иа котором )(х) равномерно непрерывна, кужяо исключить из отрезка [ — Т, 7') окрестиостн всех точек Раз- рыва )(х), 217 4,43 .43. Существование величины $ = !!ш " »сс тонности последовательности $», а равенство М$ = а — из грального предстаэлояия М$ (см, задачу 3.!36) н нз теоремы о потопной сходимости (см, введение к гл.
3), 4.49. в! Показах, ь, что если Лг (Ь ) 2) — минимальный длссне отрезок иэ тех, па которые отрезон (О, 1) раабизается н М(йг(- 0 при /с-» о». яами $с, ..., $г с, в (Лг( — его длина, то с)г»с ~ г)» (Ь 2, 3,. б) В деление $ и н т ) Вычислить М$ и М$', пользуясь тем, что условное рас еслнх. 1 .,и $ прн условии $с = х совпадает с распределением г2., и с распределением 1 — (1 — х)$, если х ) 1/2.
4.50. а) Показать, чтоР ( !нп ( $„ — $» с ( : О~= 1, и носко С» с» наться леммой о вложенных отреакэх. б) Восполь о условии , = х Э загася тем, что условное распределение $ х(! — $). $с = совпадает е безусловным распределен 4.51. Понааат, т венствами ь, ч о случайные величины а, определенны » е 'сс.г — с»с Удовлетворяют уел и (с ис)з)=0 при лсосом е,О Далее воспользоваться эадачеи 4.33 б) 4.52. См. наа . у ания к задаче 4.51.
В отличие от задачи определить случайные величины сх, равенствами ри — л ) '«гс И— распределе ' (х) = х . 4.53. а) !'аспределение случайной эелнчпны прн и-с.оо сходится к стандартному нормальному б) Испольэовать задачу 4.51 с $ = " — г, Х Г иг и ь51. а) Использовать задачу 4.52. б) Исгсользовать задачу 4.5!. 4.55. Показагь, что длн любого е ) 0 !пн Р, — „)е =О, если выполнены условия п. е), При построения аываго их, что л щ, условия а) и б) не обеспечивают совпадения н ин примеров, д г — $» — а„ дельных распределенссй и рассмотреть случ в.
чины $, = Ь„, + а», где случайная величина $ н 203 ртное нормально ., ое распределение, и подобрать соответствуюствндарт 6 зовс последовательности шяи о Разо 4,56. аг 6, ) Рассмотреть случайные величины $„=Х $+(1 — Х»)Си, и 1,2,..» , — случайные величины, не зависящие от $, где Хс Хь Р(Х» = 0) + Р(Х„= 1) = 1. б) Сравнивая „~Р ($к- ~) м$„ = ) ~лР ($~ ~ *) „,; зать, что за счет Р эыбо а достаточно большого Р интегралы ($ ) ~ ( ( ($„ ) с. с')т нсвт поясно сделать с о ь к л угодно малыми, а разность интегралов по обзасан (~*~ ( Т) при и-»»» стремится к О.
г»57, а] Рассуждая так же, как в п. 6) задачи ., показать, что !(ш (М» — М) = 1пп 1пп ~ х с(Р (($») (х) )~ О. т Построение примера, в котором М ) М, р М, п овести аналогично п а) задачи 4.56. — — овлетво яют б) Случайные эелибипы $» — М$» и $ Мь Уд Р услониям и. а). асп е езо4.59. Случайная величина $» имеет биномиальное распредезяие с параметрамн (и, Р), 4,60, а) ИСПОЛЬЭОВатЬ раВЕНСтВО М$'г' = Эгггс (1). б) См.
определение производящей функции и ео свойстиа. с в) Использовать равенство ~ г ссг =, а 1+ гг е 4.62. Показать, что 0„= т, +... +т», где то .. » тг — неа — неаазнсимые случайные величины, распределенные так же, как с уч " , как сл айпая эеаичнна т, в задаче 4,61. 4.ЬМ Сравнивая ряды 1 составить рекуррентное уравнение, связывающее производящие фу сгшси Мг' при соседнях значениях т, и найти его решение.
гь64. Пользуясь резулыатами задачи 4.63, найти производящие фтннщсн РаспРеДелений $с, $ь $» и их сУммы ть 465. а) Воспольаоэаться формулой полного математического ожидания. б) Испольаовать резулыат п, а). 4.66. Найти Р($< $» = О), Р(3, = О) РД, — О) 4.67, Представить 9<с(з) в виде степенного ряда.
Восполь ся правилами почлеяпого дифференцироеапия рядов и ве тельяостью коэффициентов ряда для 91 з (х). 4.68. .68. Сопоставить й-му испытанию вектор (ек, <...„ек, и), 1 1, 2, ..., где ек, с = 1, если в й-м испытании появился 7 лед, и ек,с = О в противвом случае. Воспольаоваться раве и свойствами производящих функций векторных сл величие. уч 4.70. а В 4.69.
Использовать результат аадачи 4,68. . а) Воспользоваться формулой колкого математич ожпданил и реаультатом аадачи 4.68. б) Вы веэавйсимы и $, ) Вывести из результата п. а), что компокепты $,... 4.71. симы и $, < имеет распределевие Пуассона с парам т" . Воспользоваться тем, что ф(э) — акалиткческая 4у в круге (]х] ( 1), что <р(1) 1 и что <Р(х) раэлагаетбя в ряд . лора по степеням х с неотрицательными коэффициевтами. 4,74.
В 4.75. Вычислить характеристическую функцию $ +... . Испольэовать формулу полного математического ожв < и свойства характеристических функций (производящих фуи . а), б) Представить <р(») в виде степекпого ряда по э.: в), д) Представить <р(с) в видо степенного ряда по 9<(э) ю пользовать результат задачи 4.75. чи 4.75. г) Выразить <Р(х) через 9(с) и использовать результат 4. 7. .77.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
