А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 40
Текст из файла (страница 40)
а) Воспольаоваться равеяством а заковом больших чисел. 15 а а. и. Зусеее и ар, 225 б) В отличие от п. а) воспользоваться центральной >; й теоремой, 4Л41. Испольауя утвер>кдеыие вадачи 3.64, представи' з виде суммы т независимых случайных величин. Дли док ства асимптотической нормальности случайной величины ( — М$> >)/УОЗ> > показать, что выполняютсн условия вада ' (при этом удобно применить реаультаты задачи 4.74).
верждение п. 6) вывести из результата п. а) и задачи 4.55. ' 4Л42.8аметиттл что если Р >(э) — функция, обратиаи * то, согласно задаче ЗЛЗ, распределения Ь> >и Р ,(1 в ехр( совпадают (здесь $>» ( ... < $, > — те я>е случайные в что в задаче 4.14Ц . Далее воспользоватьсн утверждеыиями дачи 4Л41 и задачи 4.51.
4Л43. а) Вычислив Р(т,„~ и[то яь ..«т >), пока т не зависит от ти ть ..» ч «Для нахождения Р(т )'. воспользоваться формулой полной вероятности по вн чл — т> и равенством лч = т> +... + ть б) Из точкой формула> для Р(т,„) т„> — т„-,) полу сторонние неравенства, воспользовавшись оценкой 1 1 — х 1 — ( ( —, О~у х(1. 4Л44. Используя результаты задачи 4.143, найти пре ' рифма производящей функции тл — й. 4Л45. Для нахождения предельного распределения испо утверждение задачи 4Л34, а для вычисления моментов— ные в решении задачи 4Л43 равенства т = ж+... + ть .. » т — независимые случайные величины) и фор производящей Функции ть 4Л46. Показать, что 1>..., зз (О.
Отсюда и иэ р' >р(Ц 1 вывести, что и >Р (е) = Ц (1 — р>+ р>з), где р> = 1/(1 — з>). >=1 4л47. Ыногочлек >у(1), удовлетворяющий условиям вад жно представвть в виде пронаведения М вЂ” 3/ квадратных нов и 2М вЂ” >У линейных дзучленов, причем козффици соннов>итевей неотрицательны, а при з = 1 ка>ндый ив нимает зыачение 1. 4Л48. Испольаовать задачи 4Л46 и 4Л34.
4Л49. Испольаовать аадачи 4Л46 и 4ЛОо. 4Л50. Для составлении рекуррентпого уравнения исп формулу полной вероятности, свлзывающу>о раен р»(ж 8>) и р»(з+ 1, д>). Г!оказатгч что езды з«. з-> (з«,>е * ... (1„, > < 0 — корни уравнения /«, к(е) = О, то з«+ ' (з«,в-> ч е»еьл — ><1 л'->( (з»+», (з > ~(0 и з < з»+>, « е»,>, если только з„,>»> ( з„,>. 2 4Л51. Воспользоваться задачами 4Л48 и 4Л50.
4.153. Пользуясь симметричностью распределенвя й, . вить 1 — Ме"1 в виде интеграла от 0 до ео. Чтобы нс асимптотическое поведение 1 — Ме"1 прн >- О, разбить теграл на два: от 0 до Т Т(!) н от Т до оэ — в оценить интеграл по модул>о, а при исследовании второго попо эснмптотнческую формулу для р(х) прн х - ое. 226 54 а) Получить явную формулу для 4>(е) и разложить 9(з) . >ь „1;, ореыа. При нахождении асиыптотики 1 — /(Ц при ! — «О в Ряч и „за измеяением агй(! — >Р(э)), когда з 1 — >еы, — я( Воспользоваться справедливым для любого комплеконого соотношением (1 — ен-')"->-е-', в-«ее, и теоремой невностн для характеристических функций.
в!'о!4 1/>5, Используя формулу обращении для характеристических ф „„ц„й, приведенную во введении к гл. 4, показать, что распреие с характеристической функцией е 'и> имеет плотность а 4 156, Показать» что плотность распределения случайной величины 1/5> удовлетвоРяет условиям задачи 4Л53 с а 2 и С я (О). Использовать аадачи 4Л52, 4Л55 н теорему непрерывное и яля характеристических функций. 4,!57, Воспользоваться свойствами характеристических фуякцин и тем, что $> + 5> = 2»>.
4>,158, Зал>етит>«что /,, л(х) лишь постоянным множителем отличается от плотности суммы двух независимых случайных вю личин, вме>ощих распределения Коши с параметрами а и Ь, Расснатр»зая характеристические функции, показать, что эта сумма сана имеет распределение Коши. Глана 5 5.2.
а) Показать, что 0Ь -«- 0 при и -> оо, б) Представыть Ь« в виДе линейной комбинации случайных величин й~-л, $>-л...» з» и воспользоваться усиленным законом большых чисел. 5.3. а) Вычислить Мф> и показать, что 0Ь!»> -«О при и -«е», б) Продстазить Ь',О в виде квадратичной формы от $>-л, 5> ь ..., 5««» н раабнть эту форму па сумму конечного числа сумм в>заз»г»л»,>х слагаемых. Далее воспользоваться усиленным вако- нои больших чисел. 5Л. Прп вычислении ковариации 5> и $» исполъаовать равенст- во 2 э!>~ хыв у = соз (х — у) — соз(х+ у).
55, Показать» что если >+ яп> 24>п+ а>(>), я(>+ >)>) = 2//>я+ а>(П, где числа Ь> и /ее целые, а а>(>), с>1(1) еп [О, 2н), то а>(>) и а>(>) независимы и имеют равномерное распределение в отрезке [О, 2я], и 5> = Мп а,(с) + з1па>(с). См. также укааание к задаче 5А. 56. Так как число я иррационально, то >! = [(е[ + [Ь>[. 5.7. а) Воспользоваться центральной предельной теоремой. б) Представить ц„(Ц в инде « (>)=-Ве е = д ае и 1 'ич >За » Л 1 Применить многомерную цевтральяую предельную теорему к сумме » — ~, (аа соз ))а, аз з!а ра).
ул Л=> 15» 227 5.8. Обосновать возможность перестановки знаков и математического ожидания. 5.9. Если траектория процесса 2» монотонно возраст (тл < х) = (5, < »У). 5,10. Для вычисления Мт» испольвовать формулу из зада Доказать, что число строго воврастающих последоват хз, ..., х, составленных пз чисел 1...„»1, равно С ?'з, и таких же неубывающих последовательностей равно Сл г »л+и — х: чае в) использовать указание к задаче 3.62. 5Л1. Найти сначала функцию распределения т — з)»( зуясь сферическая симметричностью распределения вектора, 5.12. Представить )»з в виде Рз Ча+ з)»+...+ »)ь-ь г 1, если па полуинтерзале (у, )+ 1) имеется нуль про и гм 0 в противном случае.
При вычислении Р(»)~ = О) = Р(В~м ! > )1~+" + 1 ), Ь»л(1~+ "+ Ы' воспользоваться задачей 3.266, 5ЛЗ. Применить задачу ЗЛ» и формулу полиой веро Р(з»(х) и) з= МР(5»(х) = и)5», ..., ь ). 5Л4. Мпогочлеи $»(х) имеет кратные дейстзительныпд тогда и только тогда, когда существует такое число и, что» »» З(( +1.*'+ г" +(.*") (-=' ьз = — (»,»и + ь»из +... + ь„и»), При условии (1) число значений правой части (2) не прв л — 1.
Далее воспользоваться формулой полкой вероятности чениям (;», ..., 5„ (см. указания к задаче 5.13), 5.16. Найти характеристическую функцию распределе тора 5.17. Кроме задач, указанных в условии, воспользоватьсл~', птотической формулой агсе1п гг1 — у = 2 — у(1+о(1))» У(0 ЗЛ8.
Случайные величины ть тз — т», зз — тз, ... инва н одинаково распределены. Прн выводе уравнения для»у»(в пользоваться тем, что случайные величины т и 1+ т тт+», ' ково распределены (здось т, »и 0). 5.19. а) Используя указания к задаче 5Л8, докава Р()» < — У ! Р < — 5)»р (1) б) Из условия Ог(0) = О, неирерывпости 9»(з) и ур з((4»»(з)) = 1 вывести, что Оз (з) = п(~х > О: (( ) < — ~, е, ,(1) < 1 тогда и только тогда, когда уравнение Пз) = 1 имеет ьт корень з, О < з < 1. 5 20, а) Использовать формулу Стирлинга (1.6) нз введения и гл.
1. Ззистлть, что М()р?»! )Р» 5) (5! при 5 ли 0 н М(!„,! )р„= О) = 1, и составить рекуррентное уравнение для используя формулу полного математического ожидания. 521. Составить рекуррентяое уравнение для М(р (з, используя Разеистео — (р, + 8 .»», 1»»+ $»?») )Р»)з+ (9»?»)»+2(1»», Ф»?»), 522. Си, указания к задаче 5.21. При выводе рекурреитной фс пуд„» для М)р !' использовать соотношении Р()йь! = 1) = 1, М(р, $„?») О, М(Р» 8»?») ™ ! р»! Мал+»,З 1 М.- '= — »'гз». задачу 4Л26). О,Ж.
Попо».,зевать результаты задачи 5.22, неравенство Чебы- шев? я д шиу Пороля — Кантелли (задачу '4.16). :».24». а) Использовать лвмму Бореля — Каптелли (и, а аада- чи 4.16) и формтлу Стнрлинга. б) Убедиться в том, что п. б) задачи 4.16 неприменим. Вычвс лнт», Мт двумя способамн: вводя индикаторы событий (р, О) и вводя вспомогательные случайные величины т» = ш!л(л > 1: р» = О), тз».» =ш»п(л > тз» р» О), 5 1,2, (которые удовлетворяют узловням (т > )») = (тз < оо).
5.'?5. Заметить, что компоненты р, », ..., р„,, вектора р яв- ляются независимыми реалиаациями величин, расоматривавшнхся в и. 5) задачи 5.24. При з > 3 ибпользовать лемму Бореля — Кан- телдз, прн з = 2 рассуждать так же, как в п. б) вадачн 5.24. 5.26. Случайные величины $» н 2(т < 1) независимы. Обосно.
вать законность перестановки знаков суммировании и математи- ческого ол»идания. 5,28, Применить тождество Вальда (задачу 5.26). Для доказа.- тельства того, что Мд»» < ?о, использовать ащачу 4.83 и соотно. шеиио М »у ~~Р Р(~У >л)и Р' Р(Р <1) п о л=з 529. Использовать метод математической индукции (но 5) н ФоРмулу полного математического ожидания (по значениям р»+»).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
