А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Использовать вйпуклость вина функции 7(х) = »х!» (в~ 1) и задачу 3 !52. ЗЛ54. Прп докааательстве первого неравенства покааать, что можно ограничить случаем 0 < у .'х и что при О < у ~ х проназодная по у разности правой и левой частей неотрицательнз. далее замотить, что при указанных в формулировке задачи условинх распределения случайных величин $ + Ч и 3 — Ч совпадают, г 1 нпозтовгу М)з+Ч! 2 (М»з+Ч! +М(з — Ч! ). ЗЛ55. Применить метод математической инду«шип н задачу 3.!54. 3.156, Испольаовать задачу ЗЛ52 и равенство м)з+Ч! = м(м(»3+ч!")6)) ЗЛ57.
Показатгь что если Я«$«+...+ 3« п случайная величина Ц„+ не зависит от Ю» и от 3«+в и распределена так же, как Зв«в, то распределение $ + — $а+ симметрично и ь+г ' а+г М»ьа+в! ~М»ьа+,+йам-$„+г ХМ»Зь»т+ЗМ»йамГ. 3 !58. уха«ров«дание п. а) следует из утверждения п. б), а зто последлсо с«адуев пз линейности операции сот ($, () по каждой иа п«рв ., я~вы, 3.15Ш а) Показап,, что (а, Ва) О(а, $). б) Бш кол«мазаться тем, что условие (ранг В ие больше г) зхвпо«.воп ры Ь, во ~ в 'к«ко условию (суп!ествуют линейно независимые векто- авпо (Р( » ..., Ь«-„для которых ВЬ, 0) условие (Ов! = О) — ус, о- 1 ( О = С) 1 для некоторого С), а также п. 5) аадачи ЗЛ58.
ЗЛО!. .11! ь применить математическую индукциво и фйрмтл«1 (3.5). . Воспользоваться соотношением Р(з ) и) Р(4«+" + 3 <1 1) и рв зультатами задач ЗЛЗ2 и ЗЛ60. З.!!вг, и гран«ко, Использовать метод неопределенных множителей Ла- 3.164, . 6«. ВоспользозатьсЯ фоРмУлой б ~Ч~ (+ зв,„ яв/ а где с впш- !1 2 ... пв У«вова осровск по всом подстаиовклм и '(а а, ... ио ' 205 3.165. Заметит>и что если матрица Л = [а»()» и з>' >>т >з г>ь — > >з — » >Н» Воспользоваться тем, что МЗ,'." =О для л>обого нечетного >и < й ЗЛ66.
Представить М з1п 2 и М соз 3 в виде суммы интеграл по [2ЯЬ, 2Я((>+ 1Ц, Ь ° О, 1, ..., а аатем повазатги что завз яа этих ввтегралов может быть представлен в виде ввтеграла ' (О, н(2) влв по (О, и) от положительной функции. 3,167. Если р=1(2, то М вЂ”" —, +М~ —" — — ~; далее '>и 1 )1>и 1 пользоваться неравенством М~ — —, ~ < О .
При рчь1 — ~/ например, при р ) 1(2, заметить, что —" = —" — — + (1 — — ")$и> и и 7 (, и где $» 1, если р»~ и — рю и $ =О, если р„~ я — р„. Най ' Пш Мйи= 1>шр~ ~ — >с помощью теоремы Муавра — Лапла Гри 21 ЗЛ68. а) Ноложлть Аз = [4гь > —— с~' з), Вз =(сгг з эз' в использовать разложение («1»» сз " «и=си)= б) Заметить, что (т = 24) = — (Л~ь () Аь) В> ° ° ° В>, ЗЛ69. См, указание и задаче 3.168.
ЗЛ70, Прибыль предприятия «представить в виде «$> + Зг+ .. + 3„, где Зз — прибыль за Ь-е изделие. Вычислв Мйз с помощью аадачн 2,24. ЗЛ71. Найти произзодну>о по х функции >р(х) М)$ — х), г х — координата точки В. ЗЛ72. Воспользоваться решением задачи 3.171. 3.173. Воспользозатьсн равенством М(3-х)г М(з — МЦ>+ (х — МЗ)г. 3.174. Есле (3, з>) — координаты точни Х, (а, Ь) — воорднна то >кн А, то м)Ах)г м((5 — а)'+ (з) — ь)з). Воспользоваться дачей ЗЛ73. 3.175.
Если Зь $„ ... — уровни весенних паводков в последа ' тельные годы, а т, — время до разрушения плотины паводком, (з ,» >) = ( ш"т 2 < з~. Случайная величина т, при л > а ) 0 имеет геометрическое распределение 3.176. Найти функцию распределения Цт. Воспользоваться фо мулой Р(зг ~ в) = м(Р(зг ~ в)ьт)) в тем, что условное раси деление т при условии ьт з — геометричесиое при вюбом з. 3.177. 1'ассмотре>ь случайные величины ры ) $з — 4) > 1 ~ > < ( я.
=3, и воспользоваться соо>лшшениями и) рп+ рн+ Рм = 2(э>з> — 5»д> б) ш)п (З,г> — 5»> $>з> з>г>) » <(з(с>з> — 4»>). ЗЛ78. Пусть Р(а < 5 < Ь) = 1„Ь вЂ” а В Воспользоваться тем, о 04 < М(5 — (а+Ь)(2)' (см. аадачу 3.173). 3,179. Воспользоваться тем, что при а> < Ь> (и> «и> «Ь>) П(аг < >)з < Ьг) с (а> + аз < з)> + «г < Ь>+ Ьг).
ЗЛ80. Воспользоваться аадачами ЗЛ78, ЗЛ79 и доказать, что пз предполов>сняв о том, что $ сосредоточена на отрезке длины 1 < си, н нз безграничяой делимости распределения 2 следует ра- весство 0$ = О, т. е. вырожденность распределения $. ЗЛ81. Вводя индикаторы Х>, ..., Х событий А>, ..., А>и уста- новить равенство и и Р Г™ (х, + ... + х ) - ~чР, Р (Вь) = чР. 4 (в„, в, ь> " а, п вывести нз него, что для любого >и = 1, 2, ..., н >»Р(В,„) < пр < ю — 1 + (и — т + 1)Р(В,„).
ЗЛ82. Воопользоваться результатом задачи ЗЛ36. ЗЛЗЗ. а) Рассмотреть случайные величины $ = — 1 и >р Р(« = 0) = 1 — р, Р(« = 10(р) = р, р ш (О, 1). б) Рассмотреть случайные величины 2 и «, имеющие равно мерное распределение на [О, 1) и такие, что « = ($+ р), т. е.
« равно дроб>ной части числа $ + р. в) Повазатзи что Р(3 < «) < а при а < 1, Рассмотреть случай, когда — = (4+ р) на множестве (>о зв П 2 < а) з) Случай а «1 сводится к а < 1 делением ва а: Р(З ~«) 1 — Р(«(а < 2(а). ЗЛ84. Вычислить М)» — — ~ в М>« — — ~ и воспольаоваться 2 ~ ) 2 неравенством )х — у) < )х) + ) р). ЗЛ85. Показать, что случанные величины п>1п ($> «) и >пах ($, «) удовлетворя>от условвям задачи и что Р изи К 3 ~ «) 3186.
Если '(") = з"Р(гл Р(х) < У)» (Х 1) . (3 «> Р >(1 — а)) А> то для любой другой случайной величины Х', Р(х' 1) = а, Р(Х' = О) = 1 — а и (Х' = 1) А' чь А, справедливо неравенство Мхй — мЗХ' »в О, так как м(5 шах (х — х', 0)) ) Р >(1 — а)Р(л'тл'), М(3 в>ах (у' — Х, О)) < Р >(1 — а)Р(Л''>А) и Р(Л''>А) = Р(А'>Л'). Минимальное значение М(ЗХ) достигается прп (Х 1) = (С ~ Р >(а)). Для вычисления экстремальных значений М(ЗХ) воспользоваться вадачами 3.135 и 3.136. 3.!87. представить $ в виде $ = и+ ($ — ц)2, где случай величина Х пркнемает аначения О. в 1 и (Х 0) =($ (х = 1) = ($ $). Далее воспольаоваться аддзтпвпостью ма магического о!кидании и результатом задачи ЗЛ86 (предварпте по вычислив.функцию распределения $ — т)).
ЗЛ88. а) Воспользоваться свойством аддитивности матриц варпацкй. б) Использовать результат п. а) и формулу для плотное' двумерного нормального распределения. ЗЛ89. а), б), в) Найти Р($ т!); использовать равенс Р ($ > ц) = Р ($ < ц) = (1 — Р ($ = ц)))2. ЗЛ90. Составить и регпнть рекуррептные уравнения: в сл а) — для Р($ > 4), в случаях б) и в) — для Р($ 4). 3.!91. Йспользовать задачи: 3.32 — в случае а), 3.26 — в чае б), 3.34 — в случае в).
ЗЛ92, Использовать результаты задачи 3.191. ЗЛ93, Условные распределения $ и ц при условии $+ т) совпадают, Коли Р(!$+ т) — з) ( е) О прн некотором е > О, условное распределейне $ или т) при условии $+0 з не о делено. ЗЛ95. Показать, что есла х ~ (хь ° »» х») в у (у~ ° " У») любые два набора, состоящие из й единиц и я — й нулей каж тоР $ х) Р($=У). Й..) Л96. Доказать вндукцией по й, что если $ы (! 1, ..., 7 = 1, 2, ...) — независимые случайные величины, Р($ы = 1) Р($ы 0) =1 — Р при лзобых 1, В то Ха $к...
$~»+ $тю .. $м+... + $»ю .. $»ь ЗЛ98. Обозначим через т) число белых шаров в первой выб ' не. Тогда по формуле полной вероятности Р($=т)-Х Р(.=!)Р($=т!.=!), 1=о ЗЛ99. Найти условную плотность распределения т) при фик роваяпом $» 3.201. Вводя индикаторы событий, показать, что Мл»' кр($п ~ $ю или $п я„$ з для ! = 1, ... и — 1) и зычно последнюю вероятность, используя пеаависнмость $ь ..., $»4 формулу полной вероятности (фикспруя множество А($») . = (П $п ~ $, илп $м ~ ($ т) и аначеккя $,ь $ т). 3.202. Использовать условные математические ожидания формулу От = Мт' — (Мт)'.
3.203. Показать, что в равепстве Р($ > !пах (з1, х)!$ ~ х) = М„(Р($ > шах (гь х))$ > х, з!)) ' выражение под знаком математического ожидания можно оцен с>шзу величиной Р($ ~ т))ц) прн любом фиксированцом в' чеиии гь 3.204. Воспользоваться задачей 3.203. 3.205. а) Заметить, что Р(ц. ~ у(ц»- - ) - Р($ ~ у!$ ~ х). б) Вывести из п..я), что распределения ту, и $1$з... $» папают.
з) Вогпользоватьса Равенством Р(4„= т~ц»-~ = х) Р($„( х, $, > х (! = 1, ..., т — 1)), г) Заметить, что ть = 6~ +... +Аь и, пользуясь результатами пп. 6) о а), найти Мбь л) Сы. Указания к задаче 3.67. 3,206. Показать, что а-э~ерная условная плотность распределе- квя (5~ °, Б ) при условии Я» ( а ( Б„+, равна 0 вне миоже- в„»В„(а). Плотность распределения ($п!, ..., $„„) найдена в зад„,„З.ОЗ. 3.207. Представить Р)$ — х)-~ и Р($ > х) в виде интегра- лоз по промежутку [х, »»).
3.208. Положим $~ 1, если в испытании с номером 1 появи- лась 1, и $~ = 0 в противяом случае, Для условных математиче- скзт ожиданий т» = М(то»!$1 = О), т1 = М(тт)$~ 1) составить систему линейных уравнений, используя равенства м(тоО) $1 $2 0) 21 М(тм)$~ 0 $т 1) 1 + т~ М(тт($~ = 1, $» = О) 1+ то, М(тю($1 $» 1) 1 + т| и формулу (3.20). Найдя из атой системы ть ть получаем Мчз» Р», + Ут». 3.209. Для условных математических ожиданий та М(ти1)ф~ О), т~ = М(тп1($~ ~ 1), ь= М(чп1) Ь $з = 1) состазоть систему линейных уравнений, Найдя иэ втой системы т, и т» получим Мтш = ут»+ рте См.
также указание к аад»чс 3,208. 3.2!О. См. указание к задаче 3.208. 3.2!1. Пусть В~ (точкп Аь ..., А» лежат на дуге А~С длины т (паправленне от А» к С вЂ” по часовой стрелке)). Искомое собызге есть В, ()... () В», Покааатг» что В~ П йу = 8 при 1чь!, и насти Р(В,(А, = Х). 3 212. Укааанное в условии событие пе происходит тогда и только тогда когда длина дуги, содержащей Аь ° ° А», не превостцзпт половины длины окружности. См.
задачу 3.211. 3.2!3. Гслп  — событие, описанное в задаче 3.212, то (' = ») = В . длн вычисления Мт и Гзу испольаовать аадачи ЗЛЗ » ЗЛ32 и ЗЛЗЗ. ЗЛНО Найти длину дуги, на которой должны быть сосредото'«'ны точки А„„. » А, чтобы событие, укааанное в условии задача.
не выполнялось Йспольэовать результат задачи 3.2П. 12ГЗ Гслн длина дугв А|В равна х, то ($ > х) (Аа, ° .» -4 пе 1 ркпадлежат дуге А,В) 3 216. Использовать формулу полной вероятности 2."» Р($! >*,$з>У)= ) Р($,>У($,= )Рй (*)Аз, 14 а, Ы Пусков и др, 209 1 = — (юп вв+ з!и 3+ з!ну), 2!О 211 где р4 (Н вЂ” плотность распределения $ь и указания к зала 3.215. Зе ?17. Использовать формулу полной вероятности Р ($ ' ' х " » $а -' ' «) = хх ($ >х...„$ >х„(» ) () х метод математической индукции (по й) и результаты задач 3.2 3.218.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
