А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 35
Текст из файла (страница 35)
' и воспользоваться веравевствамв Р ( О А»»~< ~»Р (А„), 3.67. См. указания к вадачам 3.62 и 3.66. 3.68. Использовать вадачу 3.67 и указания к задаче 3.66. 3.69. Испальвовать вторую иэ формул (3.5). Показать, вор[уз (х+ е) — Р. (х) [- 0 при е ( О. 3.70. Воспользоваться результатом п. б) задачи ЗЛ2. 3.71. Выбрав любое вероятностное пространство, иа ното вадака случайная величина ц, имеющая раввомерлое распредел вие па отрезке [О, 1),и воспользоваться аадачей 3.13.
3.72. Показать, что Р($ . $ вли $ ц) = 1 и что поэтому Р (шш~~ $ — ~, ~ц — — Ц $ — ~<(шах~~$ — — ~з ~з) — -Я=1 Далее заметить, что случайные величины$» и $» ($» $~ $з при )[$ — —.~ <»ц — — ~;$» = »Ь $» = $ в противком случае 2~ ~ 2Г зе удовлетворяют условиям Р($» = Ц Р($» ц) = 1/2» 1 1, Тез» самым все аводится к вычислению функций расцределепи' случайных величин 3.73. Использовать соотношения 1 ($<Ч)-Р($) Ц) = 2 Р(п»(п ($, Ч) К $ < шах ($, ц)) 1 и указания к задаче 3.72. 3.74. Заметить, что если ал = шш (и» Р(Х и) ~ Ьх = »аах (и.' Р(Х = и) ) О) и аяалогичпо определены аг и Ь' то е = ал+ ег, Ь = Ьл + Ьг.
Вывести отсюда, что ш!и (Р(2 = з), Р(2 = Ь) ) иб шш (ху, (1 — х) (1 — у)), 200 л г — Р(Х = »л). у = Р(у = аг), Максимизировать правую часть а»жв»»енст»»а сначала по л (при фиксиооваянаы х), а затем по х »Лб, См. указание к задаче 3.2. ;»;е, б) Использовать формулу вз»в»Сй = »1в»С~ „~ ЗЗ», Заметить, что "[Ч, +1~ ~=-1) = 1. 3 82. а) Про вычислении дисперсии воспользоваться равеи „,, вм з»о» х+ соз' х = 1; б) убедиться в том, что»из М з)лз $ »л гв.=" $ и составить рекуррентное уравнеиие для и»з а помощью „,ц, грправавпя по частям.
Затем использовать формулу Стирливга. З,Я. См, уназавие к задаче 3.82. З,З(». Вос»»альзоватьая формулой (ЗЛ2). 3.05. См. указание к задаче 3.84. 3.89. Плотность распределения $,»» найдена в задаче 3.61. Для вп».стрелов, возпякающих при вычислении момеитов, получить ргнуррептные формулы а помощью интегрирования по частим. 3.90.
Показать, что для вычислепия М($»»»[$»»» х), 1»01 3 < ) < и, можно воспользоваться результатом вадачи 3.89, так иак совместное распределение $»ц, ..., $»т ц при условии $»Ю х совпадает с распределением *ц»ц, „хц»» ц, где Ч»»» зЯ... ~ -- »»ц „— эарлациоккый ряд, построенный по пеэависз(мым слу- чайным величинам ц», ..., ц» и равномерно распределенным пв отрезке [О, 1).
3.93. Пуать Х», Хз, Хз — индикаторы событий Аь Аз, Аз, опре- деленпых в задаче 2Л9. Положить и ул — МХ», [) Хз — МХ», 7 = Хз МХз. 3.94. Положить $2иа, ц 2хЗ, $2н7, где а, 3 7 — слу- чайные велпчивы, построепные в укаваиии и задаче 393, а слт- чайная величина и ие зависит ет сь [1» 7 и удовлетворяет условиям Мхз = аз. Мх = оа, Р(и з 0) 1 или Р(к»' ° 0) 1, 3.96. Коварвациопиа»г матрица должка быть симметричной и поло»нптельяо определевиой. 3.97.
См. укавапие и вадаче 3.96. 3 98 См указание к задаче 3 96 3.99. а) Коли выполнены условия задачи, то в правой части равенства М",»$» = М$» шах (О, $») + М( — $» »пах (О, $») ) зла»свая слагаемых одипаковы. б) Использовать утверждение п. а) и формулу (3.17), 3.!03. 6) Выразить В„через еь ез..., ЗЛ04. Найти плотность распределения ) $»е» — $» [. »Л05. Навтя Мт)з, пользуясь указанием к задаче ЗЛ04 и фор музой 21 т [ 'з ~. » $» [ [ $» $» з [ з) ~ ~ [ г — х [ [ х х [ »4х »(х »тх ооа з(»» з з/ з Хв ~~~)хз — *,[[* —,[пх, Лх, Ах, ~ ~[л — х [Ах,Ь.
3108 Прп вычислении дисперсии преобразовать $»»» в суь» му не»аз и у»зав»»слз»ых случайных величин, выразив Чы через $» $» 3.$12. Использовать формулу М~ 4«. =,,~~~ М«се<к<>к)с с,с ! кы = 1, если т, = у, и к, = О в остальных случаях. ЗЛ$3. а) Положить О! = 3>+... + Зю где 5» = 1, если ! и 4< = О в противном случае; тогда « 0';= Х З,З,=Х4,+Х5,бр <,> ! < ! <т»> б) Положить 0 = — у 5<$, где Зы = 1, если жч 2 хмс 30 = О в остальных случаях.
в) Написать для О, формулу, аналогичную случаям г= 1 >' = 2. ЗЛ14. Пусть $<л — число непоявившихся номеров. Тогда ре = 4>+ Зл+.'+ Зз, где Зв = 1, если й-й номер не появился, Зв О в противном случае. ЗЛ$5. Представить 5 в виде суммы индикаторов 3 = 6> -$-бэ„ + ... + 6«, где 6» = $, если <-й п>ар з зь>барке белый, и 5< = ' остальных случаях (предполагается, что шары вынимаются урны поочередно), Воспользоваться тем, что М М(М вЂ” 1) Р (6, = 1) = у, Р (6<5>. = $) = „ (,у ,) (с ~ В $, $ М) 3.1$6.
Воспользоваться равенством )<в(и, 5() = 0 +... + 0 „ где О< = 1, если $-я ячейка пуста, п О< = О в противном случае. 3.$$7. См: указания к задаче ЗЛ$6. 3.118. Используя аадачу ЗЛ$7, вывести рекурревтпую форму п — и 1 Мр = — — Мр„, > р:О. с+! и+ 1>'>> — 1 р ) ) Х ( . У)4 йу), Ф Воспользоваться тем, что О ~ р — ) ) Х (х, У) А АУ < хв+элх! >ч ЯЛ27 Заме итв«что у-е испытание явля ..я первыл! в „рик едва«л тогда и только тогда, когда э этом испытании появилась единица, а з (1 1)-и — нуль.
Поэтому если О> = $, когда 1-е испытание является началол< серии единиц, и 0 О ц, и > в противном $) Ч =0 +О +...+О,' 2) МО,=р, МО =рд (1 ) $); 3) р(0>0>л> = 0) = 1; О> я Ов независимы при )1 — 4( ) 2. далее сч. указания к задаче ЗЛ25. ЗЛ28. ПРедставить 5 в виде сУммы О, + О, -$- О, -$. Оь где О, =1, если >-я вершина квадрата, в который попал центр к га, лежит в круге.
т руга, ЗЛ29. Представить (8( в виде $ Я $ = «л' п„где ссв 1, если !с<му, и ив =О, если йШ'3. ЗЛЗО. Определять на круге случайную функцию Х(г,ф)-~ ' (1, если Р (г, »р) ш А, (>О, если Р (г, ф) ф А, где Р<г, ! — точка (, ф! чка с полярными координатами г, ф. Тогда ф В данном случае знаки математичесиого 2= $ $ Х(г х<г»$г»$ о кндавия н интеграла можно поменять местами ган нак ~ М ( Х (г, 'р) $ г с<г <(ф ( х> (см, [6), теорема <рубиви), ЗЛЗ1. П сть (х, (, р) 1, если точка (х, У) покрыта ровно ю кругами, и Х (х, у) =- О в остальных случаях.
Тогда 3.119. См. Указания к задаче ЗЛ16. ЗЛ20. Использовать равенство 3«, < = е>, <+... + е„, <, ев, < = 1, если в й-м испытании появился $-й всход, и ев,< противном случае. 3.12$. См. указания к задачам ЗЛ(6 и 3.117. При решении п.' испольэовать выпуклость внвэ функции х", ЗЛ22. Использовать равенство тв = т! +...
+ тв, где т! т> = ьч — т» (1 = 2, 3... «) и результаты задачи 3.52. ЗЛ23. Если 6> — число йассзжпров $-го автобуса, которым, досталось билетов, то 3=6>+, +Зи. 3.124. Пусть Зв (1с = 1, 2, ..., 10) — й-е по порядку извлече число. Доказать, что Зв ()с = 1, ..., 10) одинаково распределе ЗЛ25. Представить (лм в виде суммы иняпкатороз цс+ цл + ° .. + >)«, где цв = 1, если при 1»-л< испытании появилась це ва ОО, н Цв = О в остальных СлУчаЯх. Найти МК«ь Мкетз. 3.1Ж Решение аналогично решению задачи ЗЛ25. ~ я (1 $« гя) — я (1 — гн)з = 4я г — О, екоЯтностью 1. По теореме <рубини ( У)А ЗУ )Р)Р МХ ( У)4,4 " +и'х<-св> и +эзх1- >Л' Найти ти МХ (х, р) при хл ( рз ~ $ ЗЛЗЗ.
П е и 1 Редварительно докнэа, „(в) й ~ (д образовать праву>о , ". (» 1) ° (х У + 1), а вате>з пре правую часть райепства мэ~~) = ~, 'и(в)р(3= и), и ! ЕОЗ 3.134. Заметить, что если у = х, + хв+ .. т где все ела принимают только значения 0 и 1, то у!а! — 4! ~Ч~~ хг х, вав(<...<оа ЗЛЗ5. Использовать результат задачи 3.13, геометрическ толкование интеграла и фориулу ) (1 — Р (хВ в!х = ! Р, (у) а о о ЗЛЗ6.
Использовать равенство $ = шах (О, $) — птах (О,— задачу ЗЛЗо. 3.137. Рассмотреть отдельно случаи а ) 0 и и < О. Н функцию распределения $х и воспользоваться задачей ЗЛЗЗ.: 3.138. Использовать результат задачи ЗЛЗ. ЗЛЗЗ. В треугольнике Х,Х,Х, углы Хь Хв и Х, одинаково пределены, а их сумма равна !80'. ЗЛ40. Событие (выпуклая оболочка Ав, Ав, Аь А« — тре впк» есть объединение четырех попарно непересекающихся тий Вв (А, лежит в треугольнике, образованном тремя ос ными точками), ! 1,2,3,4. ЗЛ41. Расомотреть независимые точки Хь .
°, Х««н Вв, я щие распределение Р. Показать, что если и« вЂ” число треуго ков Х«ХоХ«, 1 < ! < ! < /с < 6, имеющих хотя бы один уг ивньше 120', то: а) Мн„= Сор;, б) Р(к«)~ 1) = 1, т. е. Мке' Доказательство п, б) сводится и рассмотреиию двух случаев:,', 1) точки Хв, ..., Х, образуют выпуклый б-угольник, 2) одяа иа точек находится внутри треугольника, абра ного какими-то тремя другими. ЗЛ42. Рассмотреть совокупность Хь Хь Хв, Хе Хв незав случайных точек В', имеющих распределение Р. Показать,", если кв — число выпуклых чет угольников, обрааозапных то Хв, !=1, ..., 5, то: а) Мхв б) Р(кв в 1) = 1, и постону М ) 1. Прк доказательстве б) и зозать рис. 7.
! ЗЛ43. Воспользоваться тем!в т1в+...+ Ч, = 1 и распредел Чв, ..., Ч, одинаковы. 1'аспреде ' х, пар Чв, Чв (1чи )) также один ЗЛ44. Покааать, что слу величины $ь ..., $м+в гв пые в задаче 3.54, одинаково р х, делены н что тв = $в+ 1, 1= ., М, твв в = 2«в«в Испол Е'пс.
7 равенство $~+ 4+...+ йм = дв — И. 3.!4«6. Выписать явную формулу для О($ + Ч) и замети коэффициент корреляции может принимать любое зиаченн ( — 1, !!. 3.147. При М$. т чь (О, О, ..., 0) рассмотреть случайн 1 личину ($, е«в), где е,„= ! т, и заметить, что (($, ов«) ! » «)$(, »МЯ, о«в) ! »га!. 204 3 !56 Выразить 0($~+... + $ ) череа С и воспользоваться „,рв,я«в«в львсстыс дяспе!«сии. .в !о! Завмтить вто при М)2)в < „, М)2!' =- !' 1 "УР()$)< ), ~ ! )аАР((3)< )>,аР(»З)~,). о х 3,!о2. Воспользоваться тем, что выпуклая вина функция !(х) дозлетворяет неравенству 1(в') ~ ( (хо) + Сх, (х *о) ' < х < где !пп 1 (т) < Сх » <Ипь в (х)' "о хвх 3.!53.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
