А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 34
Текст из файла (страница 34)
2.75. Ве (2Л5) — (2.17) с Ас = 2, роятностяое пространство определяется формулами событие А. 2. ) (, ) с Ас = 2, рс = р, р» = о. Обозначим рассматриваемое . Положим В» (нуль впервые появился при й-м испытании). Тогда Р (А) = Ч~~~ Р (АВ ). а с 13» Глава 3 3,2.
Воспользоваться формулами Р (5 = /.) — 1 о=! 1 1 1 4(й+ Ц 4 4+1' Р[ и А[А< .,А!1 196 197 2.76. (См. указание к задаче 2.75.) Нетрудно установить, ч рассматриваемое событие может проивойти лишь в том случае, ко да первые два испытания приводят к двум нулям.
2.77. Обозначим рассматриваемое событие А. Исход !-го исп тания (О кли Ц обозначим 2«. Для условных вероятностей ро Р(А)$< О), р, Р(А)2, Ц, рп Р(А)$, $« = Ц ножн польвуйсь формулой полной вероятности, составить систему ли иейвых уравнений. Решив ее, находим Роо[гп Р(А) = 9ро+ РР< При составлении системы использовать равенства вида Р(А)5о О, $« Ц Р(А!4о Ц= Рь Р(А($о = 1, 2« 0) Р(А)йо О) = Ро, . 2.78. Число единиц в л испытаниях схемы Бернулли одиозна во определяет полон<ение частицы. 2.81. Найти вероятность противоположного события. Неп вильная передача происходит в следующих случаях: К = (ис жено ие менее 4 знаков), Ь (два знака принято правильно, а о тельные.
знаки одинаковы), М (два анака принято правйльн среди остальных ровно два одинаковых; иа двух пар частых вв ков выбирается пара неверно принятых знаков). 2.82. Возможны два подхода. 1. Воспользоваться формулами я! «о оо р(р =,л, ...,у„„жп) 1, ! Рг ° ° Ряд/ ж ...юл (.-ш,+., ° +лом), 2. Положим В<!1 = (в 1-м испытании появился исход 1) В</1 (в /-м испытании не появился исход Ц. Тогда событ о В<'1, В<з1, ..., В<"1(е 0,1) взаимно неаависимы и Р [В</1) р, Р(Во</ ) Р + ...+Рг/ 1 — Р<. 2.83. Испольвовать решение задачи 2.82. 2.84.
Решается аналогично 2,82. 2.85. ПоложимАо (!-я ячейка осталась пустой). Тогда (РоОВМ) /г)= <) /А<А<" А«П П А!1 (ы(<1' ' <ь) Из решении задачи 2.84 следует, что совпадает с вероятностью того, что после размещения я частиц и /у — /«ячейкам, отличным от !ь ..., й, среди этих нчеек нет етых. Воспользоваться решением задачи 1.38. 2,86. Обозначим 0 число очков, выпавшее при и-и броакзк; т — номер последвегр бросапнл, Полояшм А„= (О ~5), // (2( 0„( 5). Возможны два подхода к решспяю.
Ц Событие С, вероятность которого требуется пайти, можно представить в виде С = В! П ( <) А А °" Ао <Во). 2) Доказать равенства Р(С) = Р(ВД + Р(А Д Р(С ! А,), Р(С(АД = Р(С), 2.87. Найти вероятность того, что в 4-й тройне все исходы различим. См. указания к задаче 2.86.
2.83, См. указания к задаче 2.86. 2.89. Обозначим через Ао появление хотя бы одной «бэ у игрока А про !-о< бросании; аналогично определяем Во для игрока В. Ыожпо воспользоваться любым из подходов, описанных в укааанняг к задаче 2.86. 3.3. Воспользоваться формулой 2 1 1 /г </г+ Ц (4-!«2) /о </о+ Ц (/г+ Ц (/«+ 2)' 3.8, Угол между положительным направлением оси ординат я лучок АВ вооеет равномерное распределение на отрезке [О, 2л). 3,9. Найти функцию распределения и. 3.!О.
Найти сначала Р((ц! ) х), Р((Ь( Рая) и воспольвоваться том, что Распределения о< и Ь симметричны, т. а. Р(<»." — х) яо == Р(П = х)- Рй -.= — ) - =РК =- .х) — < х < 3.12 Заметить, что Р(Р(2) ( Р'(х)) = Р(х) для любого х, х ( «о. 3.!3. Покооатгь что (Р,(ц) «х) = (ц (Р(х)) длн любого х, 3.!1. 1'аспределенне величины и/ 2(2) будет иметь атом в т"чзо л, т. е. Р(г1 = у) ) О, если, например, уравнению Л(х) у у 'созотзоряоот все точки интервала х, ~ х ( х, и вероятность собг*~п)о (х~ 5 ( хг) положительна. 3.
!5., г :.!5. Роспользозаться тем, что прп достаточно больших Д/ знач 'нвя р( — В) и 1 — Р(/у) могут быть сделаны как угодно малыми, о пз лоооом замкнутом интервале [ — д/, /</) непрерывная функция 1оавномерво непрерывна. 3.!7 . 6) Оцопить сверху вероятность Р($ = г<» суммой по-< (!З!)~Л',!о1!>/7)+ чот Р("(5~'11 4(,)(4+1~ <л л и я А=-Жя п покааать, что ва счет выбора достаточно больших я и д> эта сумма может быть сделано сколь угодно малой.
3.23. Испольэовать формулу (3.2). 3.24. Использовать формулу (3.2), 3.25. Убедиться в том, что Р( [31 — 32[ < 1) == 2Р(0 =- $~ — 32 ~». < 1). Воспользоваться равенством Р (О < 4 — $ П 1) = [ Р (и < Ц < и+ 1) ЫР (» < лл). п 3.26. Найти сначала фуикпии распределения, рассмзгривая па-> Ру (З, 0) как случайную точку, равномерно распределенную в квадрате со стороной а, н вычисляя площади соответствующихл фигур. 3.27. Воспользоваться тем, что двумерная плотность распреде- левин (3, ц) равна е *-2, х ) О, у ) О, Вычислить сначала функ ции распределения. 3,29.
Воспользоваться формулой композиции (3.4). Учесть, чт плотности Р)(х), р„(у) на резных интервалах определяются рав( дыми аналитическими выраллениями, 3.30. См. указание к задаче 3.29. 3.31. Показать, что при любом 1 ли [О, а) Р ([ Ь, — э, [ < 1) =, = (2 — ' ) ', (2а — 1)1 / 1> 1 Р(пни[51,5)»<1)= ., =[2 — —,> —,, 3.35. Воспользоваться результатом задачи 3.34.
3.36. Воспользоваться ревультатом задачи Зйз. 3.37. Нойгп сначала функцию распределения 1>. 338. Найти сначала Р(ц < х), использун равенство Р (т) < х) = Р (ь. 1 <» — (32+ ' ' ' + 3») ~ их )~Л, + +, (и)« о " » о и реаул, т вада З-З6 3.30. Воспользоваться независимостью 31 в 32 н равенством Р(3~+ 32< в) = Р(51<а, йл = 0) + Р(32 < а — 1, 3~ =1). 3.40. Использовать бюрмулу комповиции 3,43.
Площадь части поверхности сферы, лежащей в полупр странстве (хл ~ х), равна 2п(1 — х) ([х/ < 1). 3.44. Воспользоваться результатом аадачя 3.43. ЗА5. Показать, что Р = Р(5, + Эь — четное число). ЗЛ6. а) Воспользоваться тем, что т~ — ть в ть — 21 одинако распределены и что (см. задачу ЗЛ7, б) Р(т) = 11) О; б) врем ожидания 3-го клиента равно шш (ть 22); в) событие, состоящ в том, что 3-й клиент закончит рааговор раньше 2-го, можно з писать в виде т, + т, < ть Найти сначала плотность распредел ввя тл + т„. 198 ЗЛ7.
Пусть ть — вромя разговора Ь-го посетителя, Вероятность р„ того, что Ь-й посетитель закончит рааговор первым, равна р, — Р(ть < ть ть < ть ..., ть < ть л, т < ть ь ..., ть < т ). Показать, что Р~ 3,51. ПУс!ь 4» — число очкои, аьшовших в о-м испытании. Вллразить событие (О й о и) черев события, свезенные со случайными величинами $и о 1, 2,... 3.52. ) Найти Р(01 = 1, ть = (ь 02 >, ть )ь 02 Ь). 5), в) Найти совместное распределение (01, .. ч Ол, тл, ..., ти). 3.53. См. указание к задаче 3.52.
3.54, а), б) Использовать разевства >Е = О) = А!!>А!2> ... А!">А!ь+!> о о '' о /3 = Ь, Ц = П =А!!) .. А1">А!" т!>А!Ь+2> ... А!а +1+ )А!"+1+2) 1 ' 2 1 О ''' О 1 О ''' О Ф где Ао = (Ь-и шзр черный), А!2) = (Ь-й шар белый). в) Событие !2) (" = лы э ьз...„$11, = ь, 1) однозначяо определяет маме.!- ты поя ливия белых и черных п)аров.
3.56. Показать» что $ и )> равномерно распределены на [О, 1) и Р(3 = т>) 1. См. задачу 3,55. 3.57. Рассмотреть распределение двумерной случайной величины ($, 2>)1 Р(3 = О, ц 1) Р($1, т) = 0) = 1/2. Положить *о уо = О. 3,58. См. аадачу 3.56. 3.59. В ,... Воспользоваться при а, < аь, Ьь и» Ьо соотношением (3<ив 1><Ь,)1(3<аь т)<Ь!» с(а,<э<а!)(>(Ь,<2)<Ь1). 3,60, а) Использовать равносильность событкй !13 > х' и (!П П (»1> х) п кевазиспмость Ц; б) использовать равяоспльность о сопи)твй(й)»> < х)и д (31< »х) и независныость 34 в) использовать л 1 л' Рзэяоспш ность событий (х <2 )П(й <х 1 и () ( <2,<») (1 (1>) ((и) -21 1 1х! ы х) 1 1 1 и независимость $1.
361 а> п ) пу~~ь  — (значения га — 1 величин из Э! ° э» полаяв з ( — оо, —,, ), одно значение — в [х, х+ Лх) в и — ил зва'!е пий в [х ->- л)х, -1-оо»). Показать, что Р((Ь ( . ~ь йх)) л Ви) — о(бх) пРЯ Лх О. Воспо ользоваться полиномиальной схемой. б) Решение анаяогично п. а). 3.62. Испольэовать равенства <1 « Ь [ — Р(2 <$ « йоши т>и (1 ( ь >ь ..., 1ьл~) -ллобои перестановка (1, 2, ..., /1+ 1), и учесть, что Р(31 $1) =О при л'~1 (см. задачу 337, б), 199 3,63. Пу * < у <х». <у»ы (»=1, ..., и — 1). Най вероятность Р(х» < $,»» < у», » = 1, .
„и), Равделпв эту веро пасть ка П (у — х ) и устремив у» к х», » = 1, ..., и, получас и(»- » »-'»' искомую плотность. 3.04. Найти плотность совместного распредалгнпл Зь °" б»' преобразовав с помощью формулы (3.2) кайдепяую при уешени задачи 363 плотность совместяого распределевия $,ц, ..., э»ю. 3.65. Воспользоваться результатом вадачи 3.64. 3.66. Вывести из задачи 3.62, что Р(А„) = и-з, и 2, 3...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
