А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 32
Текст из файла (страница 32)
1,$7. Произведение 3 и Ч будет (2» — й)-эначным тогда, и только тогда, когда 10».— -»<3Ч < 10™- В„„ поэтому р,„» = — '„, где В,» — число точек плоскости с целыми координатами (х, у), 0 ~ х, у < $0" — 1, для которых справедливы неравенства (1'). Показать, что В,» — В» 10»» при и-» оо, где В» — площадь части единичйого квадрата 0 < х, 9 < 1, для координат (х, у) точек которой справедливы псравепства 10-»-' < < ху < 10».
$.18. Представить указанную разность вероятностей в виде м (Р((Х~, ..., Х») = А,.) — Р ((Хз, ..., Хй) = А«)), (*) з убедиться в том, что М< С»з, что вначения слагаемых в суч» ме (о) не зависят от О и оценить слагаемые а (о) сверху и снизу. $Л9. Равность Хз — Уз делитсн на 2 тогда и только тогда, ког- да четпость Х и У одинакова; Хз — У' делится на 3 тогда и только тогда, когда Х и У одновременно либо делятся, либо ке делят- ся на 3, 1.20.
При й 2, 3, 5 имеем СХ' — У ОС 4 й))-СХ, У=О( 4 й))() СХ, УГРО( О й)), 1.21. Вывести иэ малой теоремы озерка, что СХ»-' — Уз'-' 0(шод р)) = (Х, Уме О(шод р)) В (Х, Учи 0(шод р)). $,22. Чтобы получить явные формулы длн укаванных в условии вероятностей, воспользоваться соотношениями (Х'+ У' ~0(шод 3)) -СХ У О( 48))О(Х 1 У вЂ” 1( 43))В $1(х — 1 У $( 4 3)), (Хз ) Уз аа 0(шоб 7) ) = (Х, У т» 0(шо»$7)) В (Хзн Мз, УзнМ») В (Х зм Мз, У зм Мз), 187 где М, — множество всех чисел вида 7й+ 1, 7й+ 2, 7й+4, М,— ' множество зоех чисел вида 7й+ 3, 7й+ 5, 7й+ 6.
Для докавательства неравенства при д( > 7 воспользоваться тем, что а'/4 — 1 ~~ < ис < аг/4 при и+ и = а, (и — и( < 2, При 4 < д( < 7 неравенство проверяется непосредственно с помощью явных формул. 1.23. Множеству А(= (1, ..., /У) взаимно однозначно соответствует составленная ив нулей и единиц стропа з'1 = (з'1, ... 1 ..„гя/1, где г; =1, если (ш А, и зА=О, если (фА; а случайным подмножествам А, А <= (1, ..., Д() соответствует пара строк з, з, элементы з,, ..., зя(, хг 1, ..., з ' которых не- А. А зависимы и принимают значения 0 и 1 с вероятностью 1/2. Наконец, (А ()А =(2()=.[х 1+х.»<1, (=1, ..., (У(.
(А. А 1.24. См. указание к задаче 1.23. Множества Аь ..., А„попар- но ве пересекаются, если з, ' + ... + з, ' < 1 при всех («и ш(1, ..., Ы), 1.25. Разбить укаэанное в условии задачи событие па иепере- сека(ощиеся события до зпачепиям равностей 21 — $( = $1 — $1 и .' цг — 9 =1(1 ц 1.26. В пп. в) и г) найти вероятности противоположных со- бытий. 1.27. з) Заметить, что (Х(+...+Х Ц =((д( — Х,)+,.. ... + (Д( — Х„) = »(Д( — й), б) Число (1+/У)~Ь);"о таких наборов з1, ..., з (и(0, ..., (У),.
что г, + ... + з = й, равно ковффициенту при г» в (1+ г+ ...; И вЂ” гя ')"' ° .. -1. «Я)м = „, . ДаЛЕЕ ВОСдОЛЬВОЗатЬСя раВЛОжЕННЕМ ' Н вЂ” г) "' функции (1 — х) и в степенной ряд. 1.28, См. указание к задаче 1.8. Убедиться в том, что равно- ', вероятпый выбор номера автомобиля иэ множества Ю' номеров от 0000 до 9999 эквивалентен выбору чисел Хь Хь Х„Х, из мно- жества О, 1, ..., 9 по схеме равноверонтного выбора с возвраща..
кием. Воспользоваться равенством 1З Р(Х +Х Х +Х) = ~ Р(Х,+Х,=Х,+Х,=й) = о 1» 1 «)((х х з з )1 з ° (и (О 1, 9) зг+зг=хз+з«й([ з=-е 1 = Х О, )(( , *,): *, ", (О 1 " 9) , + *, = й)[ 4 1.Ю. См, указание к задаче 1.28. 1.32. 2) Найти вероятность противоположного события А, со.
стоящего в том, что хотя бы один номер не понвился. Событие А представить в виде А = А19... () А», где А» (й 1, ..., (7) — событие, состоящее в том, что шар с номером й не появился. 1.35. Воспольвоваться равенством Р [з« < з« « ... з ) = Р (з < з « ... гз„ Д при любых подарпо равличных ((, й ", (г»1(и (1, 2, ..., й+ 1). 136. Найти вероятность противоположного события, состоящего в том, что в отобранных папках содержится целиком либо две рукописи, либо ровно одна.
1.37. В условии не указаны числа (кепщин и мужчин среди гостей. Задача имеет тривиальное решение, если эти числа пе равны друг другу. Если я(е среди гостей имеется л женщин и» муя(- чин, то для подсчета искомой вероятности можно воспольаоваться формулой Р(А () В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ), где А = («пары» занимают места (1, 2), (3, 4),, (2л — 1, 2»)) (при некоторой нумерацяи мест по кругу), В = («дары» занимают места (2, 3), (4, 5), ..., (2л — 2, 2» — 1), (2», Ц).
1.38. Шесть номеров, вышедших в тираж, выбираются без возвращения ив 49 номеров. Предположим, что все возможные шестерки номеров равновероятны. Если на данной карточке ровно 3 номера совпадут с номерами, вып(ЕдшиМи В тиуаж, то по данкой карточке игрок получит минимальный выигрыш. Найти вероятность события Аь, состоящего в том, что на каждой карточке угадано ровно 3 номера, причем й = О, 1, 2, 3 угаданных номеров являются общими для'двух карточек. 139. Нужно считать равновероятными все Сг расположений «« двух падей, Найти вероятность противоположного события.
1.40, Ладьи не угрожают друг другу, если все они стоят на разных горизонталях я вертнкалях. Выбрать сначала й гориаопталей и й вертикалей, а ватем иэ й' клеток на их пересечении выбрать й клеток, удовлетворяющих нужному условию. 1.42. Расс мотреть все исходы первых й просмотров карманов. 1.46. Воспользоваться равенствами вида 1 Р(а<В) = 9 ~)' 2[а( <Ь, ), 1,,(»-1 где 2(а < Ь) 1, если а < Ь, и 2(а < Ь) 0 в противном случае. 1.47. См. укавэния к вадаче 1АО. Заметить, что дри любых (ь (ь (г 2[а <Ь«)+2[5 <с )+2[с <а,.
)«" 2, и т».д что согласно задаче 1.27 )((х,з). з,з «и(0,1,...,9) з +х =й()= 1 Сш(а(1, 1з-1)+1 = 1 + ш1П (й~ 18 — й) 1.48. См. указания к вадаче 1Аб. 1А9. См. тркавакия к задаче !.47. (ЛО. ячеек н . 3) Рассмотреть заполнении двух типов; а) в о ой нет чаотиц, в двух ячейках — по две частицы и в (д(-3) одно из 189 ячейках — по одной; б) в одной из ячеек нет частиц; в одной— трн частицы н в (Д< — 2) ячейках — по одной частице. 4) Найти вероятность противоположного события. 1.51. Пусть А< — событие, состоящее в том, что Г-я ичейна осталась пустой. Найти Р(А, Ц Аь ()... () А«).
152. Рассмотреть строки из )У+ ы — 1 символов: л частиц и Дà — 1 «перегородок» мен<ду ячейками. Число танах строк совпа- . дает, очевидно, с числом представлений числа л в виде л = г<+ + гь+... +«ш где зсе г» ) Π— целые числа, П Событие П« = О происходит тогда и только тогда, ногда зсе гь ) 1. Число наборов (гь ..., гл), удовлетворяющих этому условию, равно числу предстазяений числа л — <2' в виде о — <у = (г< — 1) +... + (㫠— 1), где гь — 1 ) О.
2) Фиксировать пустую ячейку, а в остальных разместить ча< . стицы, как з п.1). 1.53. а) Число таких вариантов размещения л человек в ряду из У кресел, когда никакие 2 человека не сидят ридом, есть провазедение и! и числа решений уразнения,«»+ х< +... + *» = <У вЂ” а+ 2 в целых положительных числах (х< — расстояния между аанятымв креслами, О < Г < я). Последнее число есть . С~~ о+,. См.
указания к задаче 1.52. б) Каждый человек имеет ровно одного соседа тогда н только тогда, когда все сидят парами, изолированными одна от другой.' Позтому пря нечетном и искомая вероятность равна О. При чет ыом л россу<вдеть аналогично и. а). в) Если 1)»,л — число таких способов размещения л человек в.' ряду пз д< кресел, когда выполняется условие в), то при четном йг число Г) .« равно пронаведенню 2" п числа размещений и человек: е ГУГ2 креслах. При нечетном <У Ю», ь = В .
»-<+ лВ -<. з-ь 154. Использовать указания к задаче 1.53. 157. Пусть А< — событие, состоящее з том, что в выбранной: подстановке Г-»Г. Найти Р(А<()А»(). ()А ). 1.58. Найти число подстаыовок о <и Я с Х< = й. 1.59. Для каждого й = 2, ..., а найти число подстановок из йы содержащих элементы 1 и 2 з одном цикле длины й. Гага а»! 1.60.
а) Найти число подстанозок в классе !1 '2 ' ... и б) Если исключить единичный цикл Г-«. , то получится пода<-1 а2 а.',! станозка ыз множества !1 ' 2 2... (п — 1) з) Показать, что событии Г-<-1 () <и (1, 2, ..., п)~(Г)) разы вероятны. 1.61. Использовать равенства (ц < х) - (3 < х) П (1 - 3 < ), (62 ) ) — й ) *) Г)(1 — 6 > ), где $ — координата точки А. 1.69. Проверить, что геометрическое место точек, расположенных ближе к границе многоугольника, чем к его диагоналям, со.
стоит из равнобедренных треугольников, построенных на сторонах; многоугольника как на основаниях н имеющих прв основании уг-' лы я/(2п). 1.70. Установить вавнсимость числа корней от аыачений мяогочлеиа в точках максимума и минимума. 1.71. Центр монеты можно считать равномерно распределенным в том й-угольнике, в который оы попал.
Монета не заденег границу й-угольника, если центр будет отдален от нее на расстояние, большее г. 1.72. Монета надает гербом вверх, если конец вектора нормали расположен выше его начала, т. е. середины стороны монеты с гербом. 1.73. Пусть (р, <р) — полярные коордныаты середины хорды. Выразить $ через В и р. 1.78. Интересующее нас событие описывается подмножеством А = ((и, г): шш(и, г) ( Г).
1.79. Слова «случайно бросается» здесь естественно понимать как случайную равномерно распределенную ориентацию цилиндра относительыо вертикального направления. Так как цилиндр однородный, то центр описанной вокруг него сферы совпадает с его центром тяжести. Цилиндр упадет па боковую поверхность, если вертикальный направленный вниз из центра тяжести луч пересечет боковую поверхность. Соответствующая вероятность находится как отношение площади сферического пояса описанной около цилиндра сферы, ограничивающего боковую поверхность цилиндра, к площади всей сферы. 1.80.
(См. укааание к вадаче 1.79.) Вероятность того, что цилиндр упадет на какое-то основание, пропорциональна телесному углу, под которым зто основание видно из центра тяжести, 1В1, (См. указания к аадачам 1.79, 1.80.) Цеытр тяжести конуса расположен на его высоте на расстоянии й)4 от основания. 1.82. (См.
указании к задачам 1.79, 1.80.) Найти центр тяжести полушара и определить величину телесного угла, под которым видна плоская часть границм полушара из центра тая<ости. 1.83. Положение бруса определяется положением прямоугольника з плоском сечении, перпендикулярном оси бруса. Брус упадет на ту грань, которую пересечет луч, направленный по вертикали вниа пз центра тяжести прямоугольника. (Ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
