А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Используя уточненную формулу Стирлннга (см. стр, 10) ходим 7100!<ее Г 1 В 100! = )<'200я ( — ) ехр~ —— ( е ) (1200 1200,120!)' 50! = У!Ооя ( ) е"р(600 — —.ь 0 ~ В, В, ~ 1 Поэтому при некоторых В< (В<( ~ 1 ! = 3 4, 5 С ! ( 2 що 5 )<<2п 4!Х) 1,8 10'/ ( 1 Вэ Вь ~ 0,9975 + В 10 400 1,8.10ь 2 399э ) ),< 1 — — + 5 Р'гл(, . ) 5 2я Пэ (2) в (3) следует, что Р(45» (3<оо»<55) = 072874+Во 10 ь, (Во) (1. Аналогично находим, что Р(~асмо — 50! о 5) = 0 36820+ В<.10-ь, )В<) я!1, Отличае значений вероятностей, получепных в п. а), от вставных значений объясняется двуми причинами: заменой допредельных значений вероятностей предельными, а также тем, что событвя (~$«<о — 50! <» 5) и (~$<ю — 50( ) 5) пересекаютсн.
2.62. а) То же, что в предыдущей задаче. б) Аналогично решению задачи 2.61 получаем Р() ь „— 64 ~ е 4)<'2) = Р(59я,й «,69) = <оэ(1+ !5 (1+ 66(1+ 67(1+ 68 (1+ 69)))))=9 50563 — ' =" и так как И2 — число ке целое, то Р(~5«ь — 643 ~ )472) = = 1 — Р(~$пь — 64) ~~ 472) = 0,33094+ В Ро ь, 3.64, Используя реаультат вадачи 3.63, получим формулу для плотности распределения ро(х), х = (х<, ..., хо), вектора (Э<п ° ° 4<о<)' э~-а(х +...
+х ) (и!х е г ', 0»»хт»» ... »(хэ, ! (О в остальных случаях. Плотность распределения <) = (А<, ..., Ао) можно найти по формуле (32) с функцией у(х) (у<(х), ..., уо(х)) у<(х) х<, ю(х) = х, — х«, ! 2, ..., я. Нетрудно проверить, что якобиан 7, нреобразованив у = у(х) тождественно равен 1. Обратное преобразование х у,(у) определяется формулами х< = у<+ + уо ! 1, ..., я.
Подставлял в (3.2) приведенные выражения дая рь(х), у <(х), 7ь получим ч О, если ш!п(у, ..., у„) (О. плотность распределении р„(у) вектора ц (лв "» ь ) вре ляется в виде произведеиия одвомсрвых плотностей показа иых распределений: ро(у) П(а(я — 1+1)в 1) Ф 1 Ютсю Да слеДУет, что слУчайные зелвчввы Ь1... „Ь» иезазис 61 имеет показательяое распределевие с параметром а(л — 1 3.65. Согласко задаче 3.64 соответствующие вариациовиом' ду 310 «$11! вб ...
~ $!в1 (построеивому по $1, ..., $„) случа величины Л1 $м1, Лв = $111 — $11-11, й 2, 3, ..., а, иеа '! рам ' , азисимы и Ьв имеет показательное распределение е па ам (и — /в+ 1)Х, /в = 1, ..., л. Остается ааметить, что шахД1, ..., $,) $1 1 Ь1+Ьв+...+Ь„, что случайиые величины 41/4, й 1, 2, .„и, пезависвмы и. имеет показательвое распределение с параметром /гХ, т. е. ра делево так же, как Ь«-1+1. 3.70. Введем вспомогательную случайную величину Зь иц висящую от $1 и имеющую распределение Пуассона с парам в — 31. Согласно п, б) аадачи 3.32 распределение $, + Зв сов с распределевием $1. Поэтому для любого /г О, 1, 2, ... (вз-- ) (вг+ъз - ) ь ~ЧР~ Р (рз = ) Р (3, К- .Л вЂ” ) < Р ($, < 4) Р ($, < 4) < Р Д, зА29.
начало коордииат Овал. точка *!в ю((х) > 1), еслх(', х ) 0 точки 1, 2, ..., 2х — 1 — белые и при х < 0 точкп"; — 2, ..., — 2х+1 — белые. Пусть Ов 1, если хвм8, и О; ли вфла. Тогда (У)= ~ 0„, МО =1, МО„ в, следовательно М(Ю(=1+2 )' Рв* 1=1+ — в, х 1 1— Р ЗАЗО. Воспользуемся предстазлевием$ =) ~)( (г, ф) предложеиным в указаниях. Тогда з((г, 1р) 0 при г и х(г, ф) 1, если г < 1/2 и в круг К,,в радиусом г с цент точке (г, 1р) пе попала ии одна вз точек Со ..., С„, Для ка 1 = 1, ..., л вероятность того, что точка С, лопала в круг К.,„, ва лг)/и = г' и, следовательно, МХ(г, ф) Р(т(г, ф) = 1) (1 — гв)", если г < 1/2. Рйевяя мсстамв знаки магематвческого ожв 244 раве в правой части равелства МЬ=М) ~ 2 (г, 1р)гИгИф, к ПОЛУ*1ПМ вл 1! — ~М2(г, ф)гдгЫф= ~хф ~(1 — г) гпг К е о ЗА35.
Пусть Р,(у) = зпр(х: Р(х) < у»; тогда, согласно ла-з и 3.!3, е МЗ вЂ” площадь области ((х, У): 0 < У <1, 0 <х<Р 1(У)). !!о 1 Р (у] Ау = ) (1 — Г (хВ Фх. ЗЛ40. Событие В = (выпуклая оболочка А1, Ав, Ав, Ав — треугольввк) ес1ь объединение четы()ех попарно весозместкых событии; Г! =- ( Ав лежит в треугольиике, образованном остальными точками), ! = 1, 2, 3, 4, вероятвости которых одинаковы ввиду симметричности распределения набора А1, Ав, Ав Ле Поэтому Р(В) = 4Р(Вв!.
'!ак как точка А» ве зависит от Аь Ав, Ав и имеет равиомеркое !чспределевие в области, площадь которой равна 1, то условная з.роятпость Р(ВПА„ Ав, Ав) (при условии, что положения точек А„Ль А, фиксвровавы) равна площади Ядл л л треугольивкв 1 В !м!141. По формуле полвого математического ожидаиия получим Р(Р) 4МР(Вв( А, А, Аз) =4МЯал 3.!4!. Чтобы доказать неравевство Рв ) 1/20, воспользуемся следу1ощим соображением. Пусть Х1„..„Х вп Вв — веаависимые точ- КС, ЗМЕ1ОЩИЕ ОДНО И тО же расПРеделение Р, и к„— число таких троса (1, /, Ц, для которых 1 < 1 < / < 4 < л и выполняется собмтве Аыв (одив ва углов ЬХ1Х1Х1 ве меньше 120').
В силу адд1пвзвости математического ожидания Мк„= ~ Р(А1 ь) = Сз,Рз. 1Х1</~зло !1озгочу Р мн„/сз. для докааательства требуемой оцеики !'з > 1!20 = 1/Сз достаточно установить, что Мкв ) 1. Докажем более сольное утверждение: Р(нв>1) 1. Действительно, любью 246 Р((5 Ь) =с)=1, 9, Согласно п, б) аадачи ЗЛ58 тогда ВЬ» = О, 1 = 1, ..., >с— ранг В пе п ев ,...,>с — д,т' соотпошепие Р р ышает д. Так как по услови>о ранг В разек г, Д ш б, >) = 1 пе может выполняться ни для к (г — 1)-мерной гиперплоскости Т > с= В".
3375. П сть 5, 5, ... тельные го и, а У $» 5>, " . Уровни васекаих паводков в после д , 1, — время до разрушения плотины паво 6 точек Хь ..., Х», пикакие три из которых ие лежат на одной мои, либо образуют аыпуклый шестиугольник, л б и о одна из мп-то т емя точек (скажем, Х,) содержится в треугольнике,об з разованпом к ' р я другими (скан»ем, Х>,Х>, Х4). В первом случае х, поскольку сумма углов шестиугольника раз а 180' (6 — 2) .
по крайней мере один из его шести углов не меиьше 1 Во втором случае хз ) 1, поскольку углы Х»Х>Х>, Х>Х>Х» и Х»Х треугольников Х>Х>Х>, Х>Х>Х4, Х Х>Х э сумме составл 360'. ассуждения аналогичны проведепным в решении ели Хь ., ч Х„»п  — пезаэисимые точки, имеющие пределение Р, и х — число выпуклых четырехугольников, обр ваипых точками Х>, ..., Х„, то з силу аддитивности математ ' ского ожидания Мха=С'.Р», . е. Р =Мх Са э! и для доказательства приведенной з условии задачи оцепки д точно показать, что Мх, ) 1.
Но Р(х, ) 1) = 1, поскольку 5 то ' вып иэ которых никакие 3 пе лежат иа одной прямой, л б б уклый пятиугольник (и тогда хз ) 1), либо одна иэ этих то (скажем, Х,) лежит внутри треугольпика. образовакпого т другими (скажем, Х>, Х>, Хз). Эта конфигурация изображвца ряс. 7 (см. Указание к задаче 3.142). Отрезки и лучи, пр "1 и рисупке, разоивают плоскость на 9 областей. Легко прове что в какую бы из этих областей ии попала то Х ° Х т чка з, иэ точек Х и г и Х» мо>кяо выбрать 3 точки, которыо вместе с Х б уклый четырвхугольпик.
Значит, и в этом случае х ) 1, чт ', 1 о разуют требовалось доказать. чае хз, чтзй 3.156. Так каи функция 7(х) = )х(с при г) 1 выпукла в то арп любом действительном х, согласно аадаче 3.152, М(х+ Ч(" ) (М(х+ Ч)" !х)'. Поэтому при г ) 1 МЯ+ ц( =м(м(Я+>))"Д))»м(5(; 3359. б) Есл ) и ранг матрицы В равеп'г, то существуют т линейно независимые векторы Ь>, . ° ., Ьз-, »ц Нз, что ВЬ» = О, 1: 1...„Ь вЂ” г. Поэтому О((Ьа $)) = (Ь„ВЬ,) = О, 1= 1, ..., Ь вЂ” г, т.
е. Р((Ь», $) = с») = 1 для пекоторых чисел с>, ...,с Влачит, сущестаует г-мерпая гиперплоскость Тт ~ В", ортогоиа паз подпрострапству, натянутому на Ь>, ..., Ьз „, и овле Об атяо, е р, ели существует д-мерная гиперплоскость б с= длэ кото ой РД б 1 = р Дайс) =1, то сущестауют линейно пезавис т т векторы Ь>, ..., Ьз 4, ортогональиые Тм и числа с>, ..., сз, уд летзоряющие условиям и ь".,с»-ч У Тес>ю (т )1)=(п>ах Ц»~з)= и (5»~з) 1>лгхс ! ' 1 „, следоаательио, Р(т,) 1) Р'(з).
Отсюда, используя результат задачи 3332, получим » 1 М, = Р(т,>1)- Ц~~ Р(т,) 1)-~~)„'Р'(*) = — — --). 1-1 1 З 1 з В и, а) требуется найти минимальное значение з, при котором мт, ) Т, где Т 100 лет. Такое з удовлетворяет уравкению 1 1 — р (з) = Т и, следовательно, 11 Р (1 у) = Р (0,99), (т ) д ~т = з) = йгю 4= з ° " Йт+» ( з, Тт з) Р(т )1)гьг = з) Рс(з), Еромо того, Р(Э (з) Р) >пах $1( з~= р (з). Е(айдем теперь (1л>хт Р (тг - и), воспольэоваашпсь формулой полной вероятности(6.21)1 (тг ) и) = МР (зг ) и ~ (т) = мри ((т) = Ю вЂ” ~ Р" (З) с( (РГ (З)) = У ~ Ри+Т-1 (З) 4)Р (З). е а Отсюда, полагая х Р(з), получим 1 и+ т-1 Р(т ~) и) = У~зи+т-14) о Следозательио, и — — ( )О), Мт= Р(„~ ТО) = 1!11.
б) Случайкыв величины Зь 31, ... по условию независимы и кме>от одну и ту жв непрерывку>о функцию распределения Р(х). 217 р( ) - и) — функция, обратиая к Р(х), В и б) тпебуется найти минимальпое з, при котором Р(т, ~ Т) Щ уча = 0,01, т. е. 1 — Рт(з) ( а или (1 — а)'>э <Р(з). Отсюда ° =Р,((1 а)ыг) =Р,(О99з') Р >(09999).
3.176. Приведем два решения. а) Пусть Р(х) РД» ~ х)., Тогда и"ч""ы ь Ь, рв имеют ноРмальное распределение), был о А. Н. Колмогоровым. 3.260. Середина М стороны Л Л имеет координаты ( <$ 1 з 8 г г т)з~< /ез+ эз )з ' 1"з вий зад" че следует, что з, 5, ье, т<, в<,, в) независимы и; 1 З З Ы 1' З ют стаидаргпое нормальное распределение. Поэтому комп вектора Л М независимы и имеют нормальное распределе 1+1 3 пулевым сродном и дисперспев 1+ — = —,, Зяачвт, пр бом х) 0 Р(! ЛМ,)«(х) = Р ! ! АМ,)т(х'! = Хв-<-Х, ХХ е -и е в<и=1 — з 3.261. Докажем более сильиое утверждение: векторм А ' А1М1 независимы. Имеем А1Ав = (Ь зьь в)в <<в) " (с1и Р /54 — ' Е.
ч. + Ч,) задачи 3.260) Л М = ! — — $1, . — 1/. П наборы случайных величин (йь св, Ь) и (т<1, чв, 6~) пезависи одпиаково распределеиы, достаточно доказать, что независи йз + !т чайные величвкы йв — 31 и 2 ' — $ . Случаиные велв 31, аз, $1 по условию независимы и имевот стандартное ио нос распределевпе. Независимость случайных величин Ь ($1+ зв)/2 доказывается так же, как в задаче 3.2<11< вычита ($1+ сз)/2 случайной величины Ь, ие зависящей от $1 —. нарушает независимости. 3.262.
Так как треугольник А,А1А, по может иметь бол ' кого тупого угла, то события (~.Л, ) 90», (Л А, ) (Л Аз ~ 90') несовмествы. Из независимости и одиваковой делевиости точек Аь Аа А, следует, что вероятности зтих', тий одинаковы, Зиачит, Р(Лв А А Л вЂ” тУпоУгольвый) =.ЗР(г А ) 90') 1 =3Р( ! А<М1! ~ 2 ! А, поскольку половина стороны треугольника больше провед ' к ией медианы тогда и толы<о тогда, когда противол угол — тупой. Вектор АвАз (аз — св, пз — т)1) имеет норм распределелие с нулевым вектором средних в матрвцей ко ,' 250 /2 О< в 2) поэтомУ ()Л А !«~Х) =Р! (А1АЗ! ~(Х ! =з — (ив+хе)/4 = 2л 2,),» — ! ( е в<х в<х — 2 иге " /4 Ыг 1 з 4я,< з з 3 е х тхзсх х'/4 ) е Ни=1 — е -и — х /4 е С „звено задаче 3.261 случайвые величины (АзАз! и (А1М1! кеза„з/з вигимы, и Р ( ! А,М ! ( х) — 1 з х /з согласно решению задачи 3,260.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
