А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 46
Текст из файла (страница 46)
266 э, значит, ~ Р (р» = 0) = »о, мы не можем применять лемму Зореля — Кэнтеллн, поскольку события (р» = О), и = 1, 2, ..., не пел»ются независимыми. Введем случайные величины т, ш(п (и ) 1: р = 0), тзю ппп(и ) гь. р» =О), й 1, 2, ... (в случае, если множество, стоящее под знаком ш(п, пусто, следует положить ш!и равным о»). Из независимости и одинаковой распределенности $ь йь...
следует, что случайные велнчпкы ть».~ — ть, й = 1, 2, ..., независимы, не заввслт от т~ и распределены так же, как т~ Поэтому Р (т,~ й) = Р (г о»~ а — 1 )П( ) (( )) 1=1 и, согласно вадаче ЗЛ32, Мт ~~~~~ (Р (т ( ))" = . (5) 1 — Р(т ( «»)' 1 С другой стороны, если Х» 1 при р» 0 и 2«0 в осталь вых случаях, то т = ~~ + тз+...
и в силу (3) Мт ~~', МУ ~~О ~Р(Рз„ »=1 и 1 Из (5) и (6) следует, что Р(тг ( е») = 1, а тогда в силу (4) и Р(т ~ й) = 1 при любом й «, со, т. е. Р(т = о») = 1, 5.25. Заметим, что компоненты р», ь ..., р», ° вектора р» эв ляются независимыми реализациями случайных величин, рассмаг ривавппися в п. б) задачи 5.24,и поэтому прн и 2й ! 11»!з 1 (р„-(о, ..., 0))= (Р(р„т- о()' - ( — ) и Р(р„(0, ..., 0) ) = О, если и печатно. Значит, ч; Р(р„-(О, ...,0)~~ при з ~ 3, к в силу леммы Борелн — Кантелли Р(т ( ео) 1 прн з > 3. В случае з 2, повторяя рассужденил нз и. б) задачи 5.24, находим, что Мт»», и если т~ =шш(и: р = (О, .„, 0)), то 267 Мч.= 1 р( .
Зяачят, Р(т» < о») 1 и Р(ч) ц ' ~ Жт»< е))о 1 прк любом й< »о, т. е. Р(ч ос) 1. бзо. Положим .( а+1, если п»ах(р„, ..., р„) < б, с п»»п(/ «1» р/ о 6) в противном случае. Тогда в силу кеотркцательпостя р, и+» Мр„~ Р (т„= й) М (р„( т = й) ,а х 2 ~чд ~Р (т„= й) м (м (Р„( Р, ..., Ра) (»» а=1 далее, 1" = 4" 11 Оь = С пов вечетном й п 1 О О О (О 1 О 61 =й= О 0 1 О прп четком й О О О а-1 Учитывая равенство ~Ч~~ ~( — 1)»»С~~4а и» = (4 — 1)"-(-1)а, нахо» о дкм: к — 1 — ( — 1)", т. е.
прп Ь = о 1( 1 — 4аа'» 4 (~ . Зо (' е т 1 2 — < — 1)" 1 Р($»-о»)- 4+ о Р(за=~о)= 4* Согласно эадаче 6.29 и определению т» М(М(р«(р», ..., ро)(т» й) ~ М(ро(т„й) ~ Ь, поа тому » Мр ~ ~ р(т„й)б а 1 бр(т»<а) = 6)о(щах (Ры ", Ри) ~б Ото переверстка эквквалептпо приведенному в условии еадачп. 6.8в. Оооэкачкц череэ о» и ео едввпчкые векторы па осях к дпкат и полежав 3» ь»+» — б. Тогда ь«'= зо+3»+ ° ..+4» т.
е. Мь» М$»+... + М$ и к последовательпость Во, $», ° обраэует цепь Маркова о мпожеством состояний (еь оа, оо, — оо, ео — е»), матрпцей переходвых вероятностей 1 $1 1 1 1 1 1 и начальным составляем 3 о, Чтобы вычислить МЦ» еам о А' что прп пачальпом условии $ е 1 (Р(зй о,)),' ,= (1, О, О, О) Рь. Так как 1»2»21 ° 1, то а-1 (1 — О)" Ч'„( — 1) С~~1й + ( — 1)а ба1 «»-е ~1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 О з О 1/3 1/3 О 1/3 1 1/3/ з (1 ~) ° 1/3 О 1 О О 1 1 2 — / — 1)ь (»а ) 4, Р(»А»» )«» 4 — ° 4» а х 4 43о ОтсюДа слеДУет, что Моь — о к и 1 '%» 1 1 — 3 и 3 / М ьа оа ~„— = е = — о ~1 — — и1/. ,оах у» х 1 з-х 2 х~ 3) » е Глава 6 6.4. Случайные векторы(п», о»), 1 1, ..., у, кеэавксвмы, по.
( скольку являются фупкцвямв от независимых векторов м " в»»),х =1..» 1,соответствеппо.Крометого,првусловиях эадачв 6.4 для любого х величины а» и о» пеэавксвмы (см. вводе вве к гл, 6), т. е. 2» и с» кеэавпсвмы прп каждом Х 1, ..., 1, Так как Мй» = а, с»+. „+ с» 1, то Х Х - Х Х Ма=~~~~~ Мо.໠— — ~Ч~~ ~Мо Ма» а~Ч~ ~Мо»=аМ ~~~ о» вЂ” — а.
»=»»-1 »=1»=1 6.14. а) Функция правдоподобия, соответствующая выборке а», ..., а«. вмеет вкд и ь(ах, ...,аи, а)» ехр — ~у (а — а) ~(2ясэ )«в 2»,о Првравкввая пулю пропэводкую ее логарифма по а, получим лв вейкое ураввеппе относительно пепэвествого параметра а п д)»»Б 1 жч и О= — = — «г (аь — а) = (а — а), да о' о а», Х а 6 ((а„, Ь„„с„)"; а, Ь, с) 6.16. а) имеет епд А(ы!1, ...,с!"1; а,а ) = 1 чч « 1=1 1 ос .ЬЫ с 1=1 (са — с) =- — Л, а+ 6 — с = О, нлн а — а = Лоа «' а + 6 — с == Л (оа + о', + ое), Подставляя вгй искомые оцен оа 1 ас«= а — «(а+6 — с), '1 оь 2 Ь**= Ь вЂ” — ь (а+ Ь вЂ” с), т о 1 с«с = с —; (а+ Ь вЂ” с), 1 о 271 елинственнл!м реп!«пиен которого являсггя ескоьтя оп«яка м ' сикального оравдопоаобея а« а.
Очевидно, М«с = а, Оа* = о«7 и! Рассуждения для выборок (Ьь) н (с«» отличаются лить обоавач нияме б) Функция правдоподобия, соответстаУюгцал молвой выборки! (а„, са, са)аа 1, выест епд ехр — ч ' — — + — +— Чтобы найти точку максимума !пав ирв условии а+ Ь вЂ” с Ог испольауем метод неопределенных множителей Лаграо!ка, т. е. приравняем нулю производные функции !пб — («+ Ь вЂ” с)Л по «. Ь, с и Л. Получим систему линейных уравнений относительна а, Ь, с н Л: (« — «)=Л, —,т (Ь вЂ” Ь) =Л, ос "'а Ь Ь=! 1 Ь вЂ” Ь = Лосе, с — с= — Лот а+ Ь вЂ” с.=О. Вычитая па суммы первых двух уравнений третье, нахо т. е.
л = («+5 — с))ог, где от =па-(-от-)-от. «ь с аначение Л в уравнения системы (1), получаем максимального правдоподобия П, онт !да«с с ЫЬ««Ь Ьд ас Оа«« — а ,2/ Оьсс Ь « ~ ='* (( Функция правдоподобия 6(угю, ..., уса!; а, ав) 1 т, ( 1 е 1 1=1 2я у 1 — рг, Ра — 2РЬ (У[ь! — а )(У!а~! — а )+(Угю — ае) ] ° Приравннван пулю производные 1п й по а и а получим сиоваму 1 а' уравнений для оценок максимального лрандоподобия [ — (у('! — а',) + р, (у<~) а*,)) .а О, .- 1-Раа и [(У)а) — а«) Р— (Ув(а! в«)) = О.
и 1 Ра Отсюда, положив а а 7,=1~(1 — р„), Г = чр у„, Г,- и"„рат„ 1=1 Ь 1 находим «а ахГ, — ааГВ ~~Р~ УЬ (У~~"~ Рава )с а 1 а ~ Та(у[ Рь Ув ) а=1 Решение атой системы определяется формулами * а г у, [(1' р Г ) у(а)+(Г рьГ ) у[а!~~ 1=1 и «', - 1 ~~)'„у„[(Гера- Гг) ы',"+ (Г,р„— Г,) у(ы), а 1 где б = Ге- Га, е Г е з 1 1 с Оа нО« « 1 ~ <ь> а — у 1-1 Отсюда в из равенств Отсюда зь зз,/<=1,...,л, н А',= Х У<а< .У~ "< Оа «з М =а, 272 273 13 А.
м. ауэзов в ву, б» Оценкой максимального правдоподобия ае' параметра 1 по выборке, образованной первымн коордиватамп, является обм ное среднее арифметическое (см. задачу 6.15, б): Отметим, знм, что а и а, совпадают лишь в случае одинаково р ' пределенныху<1>, ...,у<">. Если р„изр, то à — Р,Г =О, à — à — р«Г1 а, Ь = а и, следовательно, аз = а"".
Обратно, е 1 1 «1 а1, то Г1 — Р1Ге — О, 3=1, ..., л, т. е, Рзи«Р пе висит от /<. в) Используя свойство линейности математического о>кидая находим ° 1 ч'ч а~з уз ((»с Рзрз) аз+ (Гз — РьГ ) а ). 'Э1 с с ч'. У„(Г,-Р„Г,) =Г',-Г,'=й, ч„'Уа(Г,-Р,Г,)-О, ' 1=1 получим М«1 а . Так как вевторы /у<ь> у<Ю> у 1 1' > з )> > ° ° > независимы, то Оа,'- —, ~ уьО ((Г, — р«Г,) у<">+ (Г, — Р„Г,) у<ь>). 1=1 Отсюда, учитывал, что Оу<"> = Оу<"> 1 сот /у<1> уш>) Р ' получим О)(Ге Р„Г,) у<">+(à — Р„Г) у<ь>) = ( о Ра»1) + (ГЗ вЂ” Рьр„)'+ 2Р«(à — Єà ) (à — РзГ ) Вначит, = (1 — Рь) (Г + Гз — 2Г Г Р е 1 езр ° Ф Для оценки аз непосредственно находим г) для доказательства неравенства умвожим обе его части на пбл аГ чз Гз — Гз вли Гз ~ Г (à — с), з затем воспользуемся определениями величин Г и Г .' Остается заметить, что в левой части последнего неравенства стоит квадрат скалярного произведения векторов а в правой части — произведение квадратов нх длвв, 6.3>.
Из условия иесмещенности следует, что сз = 1 — с< — сь Дифференцируя Оз = сзз+ аз+ (1 — с — с )з+ 2с с р по с> н сь получим для определенна с>, сз систему уравнений 2с<+ (1+ р)сз 1„(1+ р)с<+ 2сз з= 1. (1) а) Вычитая из первого уравнения второе, получим (1 — Р) с>— — (1 — Р)сз О, или с> сз. СлеДовательно, 1+Р 1+Р с с — с = — нОз= э 3~- р' з 3+ р 3+р' б) 'Еслв р ' — 1,'то из первого уравнения (1) получвм с> = 1/2, а вз второго сз —— 1/2, Следовательно, сз = О, т.
е. в наилуч- шую оценку включаются в этом случае толы<о коррелированвые оценки з> и зь При р = — 1 величины з> и зз имеют ввд з, а+ э> зз а=3, где М$ = О, 031, Таким образом, з (з,+зз)/2аи — а,оз О. в) При Р 1 уравнения в (1) одинаковы: с, + сз 1/2. В атом случае з, = а+ 3, зз а+ 3, где Мй = О, Щ = 1. Таким образом, очевидно, что при любых с>, сз (з> -<- сз — — 1/2) н с, = 1/2 получаем одно и то же выражение з = (а+ зь+ зз)/2, и 01 = 1/2. 6.22.
а) Приравнивая нулю производные от / по А и *1, полу- чим систему уравнений — 2Ч>< (у< — Аз<)з =О, <-1 2 (з — зь) = О, /< = 1, ..., с. 2)з = — Р х6 жч зж Х<А'< 2 т< и <=1 1 и МУ<О= —,, и Оу< О = Оу<„,— (и+1) (и+2)' сот у,у 1 ( ) (+П(+2) Ма« = ~ шах (О, а+ Вх) <р(х) </х 2<5 б) Преобразуем полученное а п. а) вырви<ение„паис у<=у< 1-6<, и» -!-Ь После очевидвьж преобрааовавий получим Аа = (А+ Ч< и+ Чз и)/(1+ Ча и+ Ч» а)2 где (6,< + А6„) хм Ч, „= — ~ 61<6»<2 а< 1 а а 1 ",.=р.~ а 2=< Используя утверждение задачи 4.33, неравенство Чебышева и вв ". равенство Р(2 = е) (М$/з (с О), верное для веотрицатсльнык< случайных величин, нетрудно покааат»«что при и-/. и/ аелвчиваа,.
Ч», «(Ь = 1, 2; 3, 4) сходятся по вероятности к О. Отглода следует:,' сходимость по вероятности А к А. а 6.29. Чтобы упростить вычисления, перейдем от выборки хь,,, ..., х нз равномерного распределения ва (а, Ь) к выборке у< '"а) /( <) ..., у„= /(х„), где /(х) (» — а)/(Ь вЂ” а), из раааомер.. ного распределения на отрезке (О, 1!.
Ввиду мояотоапости функ»у ции / члены аариацнонного ряда у«) ~...2 Уоо УДовлетвоРяют соотпошенннм уи) /(х«,). Пользуясь результатами задач 3.30, ' 3.90, находим Возвращаясь от у<0 к исходной вмборке, получаем окончательий/ Мх =а Ь вЂ” а М < <= + — 1, Ма<а!=а+(Ь вЂ” а)„— =Ь вЂ”вЂ” и Ь вЂ” а и а и+1 а+12 , </ †,)' <2 ) -' <) ) .).2)' < М) < » \) < /2) Таким образом, оценки аа хц, и Ьа хом являются смещевны ма, но нх дисперсия прв и-«2 убывает значительно быстрее, чем< дисперсия средпого арифметического х = (х + ...+ )/ 6,30.
. Из утверждений задач 364 в 3.65 следует, что х,ы в х<а»)! можно представить в виде х<Π— — —, х< < — — $ + з +...+ —; $ $ где $» (Ь 1...« и) — независимые случайные величшгы, имею».„, 22» шке показательное распределение с параметром <т„Таким образом< ьи 1 мх, > — -м — - —, а аи м* =м2 + —,ма+" + — м~ = ~1+ +"'+ l' 1 1/ 1 ь <а> 1 2 з '* и <» 'т 2 <2 5а 1 Ох =Π— „=— <<< и »=1 а »-1 аа л.
<О <а<) ~ ' 1 ' И / 6.33. Очевидно, что Ма = Му — Мй  — г а я, следовательно, М(а — а)'=Ой Статистики у и у независимы, и поэтому 2а Оа =- Ох + Оу = — „. Таким образом, 2а' Ма =а, М(а — а)2 = —. (1) и ' Статистику а, посколы<у ока имеет нормальное распределение с параметрами (Ц, мо<кно представить а виде а = а+ ВЧ, где В = )2оЧи, Ч вЂ” случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение, Тогда а" = шах(0, а + ВЧ), а* — а = шах( — а, ВЧ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
