А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 50
Текст из файла (страница 50)
( — 74,36 !О '", 74,36 10 и). 4Л22. а) !!гв Мц„ехр~ 2 1п з), 1!ю Оц =в" *(ви» ' — 1/) и-»> и->»и з 1 з б) а =О, о 2 1п Ы в) Мц =ехр)"$-)п з),ОО ехр~ 2 !и з~~ехр ( 2 1п з~ — 1). 4ЛЖ. а) Мц»юв 1,025'аи яв 5295 10'в Оц»аи и> 76899 !04', М1п)))ав О, О!п»))ви ив 248965; б) Ф ( — 1384) ж 00832, Ф (0) 05, Ф(0) 0,5, Ф(2,769) ж 0,9972! в) 0,5!26..„0,4873... 4Л24. а) М»)»аи = 1, О))»ои 1,0625»>ю — 1 ж 2,1327 10м, М!п)))4>> — 32,2693„О!п>)юи 65,2357; б) Ф( — 1,7064) и» 0,04»4»0, Ф(00633) ва 05252, Ф(1,9996) ва 09772; Ф(00633) ва 0,5252, в) 0,5126.. „05378... 4Л25.
6) Ф(в). 4Л26. М$4 = М$4$/ 0 (» еь/), М$з» 1/и. 4.127. рз $з+ ... + $з, т. е. рз имеет 2 -распределение с и степенями свободы, Мрз = и, Орз = 2и. 4Л29. Ф(в). 4.»И. 2 В„2 „',— (2»г) );г,> г » )»» мальное распределение. 297 / СЧ1. А) МЧл =та. 096= ЗЬ', соч(2»ь 6(6+)) = 2Ь', соч(2(Л, Чл+2) Ь', )оч(2(л, 2<)) = 0 ()(2 — С( ) 3), б) Ол(х/))3) 4.132, Ф(х).
4.133. а) х = р/(1 — р). 4АЗо. Стандартное нормаль- ' ное распределение. 4А36, Мб " = О, 0$ " =- 1; при и -» еа распределение 2<„ схо днтся к стандартному нормальному распределению. 4«37. Распределенно разности двух независимых случайньпе .. величин, каждая из которых имеет распределение Пуассона с па реш тром 1/2: 2-(А(-1".-1 П)» < (Пи=у) У 1((„.) )( А=О +1 +2 и ю и и 4.138. а) чл р("», ~~ р(и» (1 — р(и»); в) распределение < 1 — где Ч и Ч, независимы и имеют распределения Пуас- е 2' ' а сена с параметрами 2 и )ь соответственно, о 4.139. Ри (т) -)-а+ (1 — а) (1 — е еих) (х) О), если 1 — 6(иАи-» -»и)ли(0, и ), аи — »а<1 прп и-» о, 4А43.
А) М = (1 — ) // (( — — ), (ти) ча ч<) ~ Л ) Д )()(1 /у )/~1 .у ч ))л' 6) 2 4.14/л, Распределение Пуассона с параметром Ь/2. Л' — ш 4.145. Мч (1+ о(Ц) Л))п —, Оч,„=-(1+о(Ц) Л)»(.. »< ~ — 1п ); стандартное нормальное распределение., 1 4.148. р —, С =- 1, ..., Л/.
4.147. См. решение.( < 1 — е;' 1 — з 21 4.150. /„~~~(*) /ии()+ у д, /им(з). 4,!52. ехР ( — С) С 1~/. 4.154. а) 1 — /(С) (1 — С ЗЗП С)))С(1+ а(Ц), С О, Гдв ЗЗП С * с/ с) (с ФА О), б) а = 2: у(с) = ехр( — (1 — < АЗн с) <с).
А56. Распределе ие Коши с параметром пр(0). Ме«(41+16) Ме (11+ 2),-еа( 1. 4158 /а,ь(х) = аЬ ((а + Ь) + х ) Глава 5 А А — (6-6 5,1 Мт» а, 06» = о ~' е соч(Ч<,Ч6) = н Х ес с+(6 — с< с=о с-а при )е — С(<А сое(Ч<,Ч) =О пун )е С(~ ' 5,2, 6) СходитсЯ. 5.3. 6) СхоДитси. 5.4. М$ О, 08 = с -(6 4--»х, соч(1<,Д2) = 2 воз А(е — с), ечьС. 5.5. Мбс О, 0"< — — 1, сот(зс~ $6) 2 (сов(е — ц+ сози(е — с)). 5.6. р, (х) == шах (О, 1 — ! 1 — *)).
5,7. а) Нормальное распределение о параметрами О), С/7)1 б) Ои и уи независимы, уи имеет РавномеРпое РаспРеделенне иа я, и), Пп< Р (Ои ~; х» = 1 — е " (х ) О), 5,8, М<(с О, 0Ч< 2) (С вЂ” и) /С(и) 2<и, соч(Ч,<),) (0<»с-(е 1 о +0Ч,-0Ч(с,(), с, >О. 5.9, а) (1+ — ), х~ О; б) 1 — ехр( — — (хз — Л))), х > А 1 (. 2х ~ (/У~ в) ехр( — ~,Л)е ах), х)0. 5.10. а) Мт,=46 Мт =2; б) Мт (1+й / — 2, Мтз — ! — 2; в) Мт, =Мт =е — 2. 1 З 1 5,11. Распределение Коши с плотностью р (х) ='— я(1+х ) А — 1 5А2.
Мр =1+и-лч() ага<8(1/) //) = (2+а(Ц) )/А/я, А зи <-з х 5.15. М(и(х) =О, 0$и(х) = з ()х(чьЦ, соч($и(х)6 х — 1 ( )и+1 1 (у)) = у (ху „-ь Ц, 0$ ( <- Ц соч~$ (х), 5 ( — 1~ ау — 1 (*// и+ 1. 6 )6. 6) ()-чг-»т)<))))2 ); )()-<е) — 6' )2-~ )»/)~ ). 5.19. Р(р = — са) =1, если ф, (Ц 1, Р(р — Ц = (1 — ф (Ц) фь(Ц, 4 =0,1...6, если фс(Ц <1.
5 22. М) р„~з =-и, 0(ри(з =Зи(и — Ц/)С. 5.27. В указанных случаях Мч = ео. 533. а) ЛС( б) Л(С) =~)ь (и) <Си, 535. Мса —, 0тз =. /е о ») хз 1 — сх ра (х) = е — ", х>О. (/6 — Ц) о.зб а) Р(х, ...,ХА) =)6 е, если 0<х и",... <х, А -АХА Лх с (х, ..., хл) = 0 в остальных случаях; б) 7, + (О.:;х "Т), 2' —. (х с» 1 — ' (х~)Т); в) АТ )1 ' Т' 298 537. Р(х, „„ха) Н Т з, если О~х <...<«г,-д~. р (х...„х„) о 0 в противном случае[ д (х, ..., ха)-зр(х, ... „х„)," 6.38. 3Те "а.
5,39, ХТе 5.40. а) Пуассоповский поток на [О, оо» е ивтексивпостью 224 з б) О„иезависимы, Р (О„+ 1» Р (О ° — 1» 1/2. 5.41. Хр. 5.4б2. 2 («)р(«), 5.43. Распределение Пуассова е параметром' " б . ббб,!зб ~ — б[Π— об)бе). о 5.45. а) Пуассоновский поток иа [О, оо) е интоксиепостыо [з(х) 22ях[ 2»зп (2 е»" 1 Г( +1/2) б) Рб(х) ' ( 1)[ ° (х) 0)б Мрв~ ь з= —— л Хя(~ — 1)[ е ~б ~-, 5.46. а) Пуассоловский поток на [О, оо) е интенсивностью [б(х) 42яхз; ~»бях~ (4Хлх~/3)" з -гьл«% ( О) М об Ро 547.
а) р(х) шах(О', ! [1-«[), б) рз(хб, хз) ч. ',' ° шах(1 — [1 — хз[ — [1 — «з[, О) при Озбхз, «зб 2. (1 — хз) ?( „ Х (1 — хз) > О, рз(хз, хз) шах(0, Ш(п(взб хь 2 — хб, 2 — хз)) прп 0 < хь хз ~ 2, (1 — хб) (1 — хз) з~ О, Рз(хь хз) 0 в остальных слуб —. чаях; в) 5/6; г) 1/4; д) Мк 762, Ол 23/144, д(х) 1 — хз/2 прзд 0(х~ 1, д(х) (2 — х)'/2 при 1~«~2, д(х) 0 при . [х — 1[ ) 1. 5.48. а) е х(х) 0), б) е ( з ха) («1, в ) 0), в) 2/е вб 0,73576, г) (1 — е з)'ге 0,39958, д) Мк '1, Ок 1, д(х) ° е "(х зО).
5.49. а) Перводрческая о периодом 6 (детермвнировапвав), со стояния — 6... „— ( иедущественпые, остальные — сообщающееся[ 6) периодическая е периодом 6, вов состояния сообщающиеся[ ° ) иепериодичесиаи[ еостовиие -8 несущественное, остелькые— есюбщающиеозь 5.50. а] (0,385, 0,336, 0,279)1 б) (16/47б 17/47, 14/47). )[ /3/7 4/7 1 " ( 1/11 10/11/' г+т з,. г зе 5.52. Р(З)г ОЗ/ С Р З д З, ЕСЛИ г — ЗЛ ЧЕтНО, [ Иб[( Ц . ' Р(з)з ю» О, если с-лз вечетво или [т[)1, 5.53.
в) Нет, если р еь д, да, если р д 1/2; б) да, рп рз, з р, рб, з р б,б=1 — р', в) да, ри рзз рзз Р» 1 — Р Рбз Рм Рзз = Рбб Р. 554. Р(дз(а+1) /з[пз(и) /б» = 4/Лб Р(дз(и+1) /б — 1~ р (в) «) (Дб — /б)//бб. 5.55. Р(ре( +1)б й — 1[О,() а»=С™,-'Сз а/Су. 5.56. в) рм р+(д — р)1/Р/, рз, з, = Рб///, Р, зоб= д(/д О за/, р,з О, если [1-/[ ) 1; $» — цепь Маркова; б) лд — С" р~ здз « = О, ... Л'. 5,57. в) рбз те же, что в задаче 5.56, $„— цепь Мяркова прв /Н =1п не цепь Маркова при У) 2; б) па —— С~при-~'бЗ~', /б- О, ...,/д. 5.60.
Является. 5.62. 1/6. 5 63. а) Р(ч 4[31»=(1-р ) Р," з, 4=1,2, ...; 5) отнст ие изменится. 5,64. 1[ш Р(то)хв/аз= е™ (х) О). з 3 'з — за 5.65. г 1 — р+ Р (1 — р — з) г 1 — Рг — ) 1 — (1 — з ) г 5.66. Распределевпе 3„— бявомпальпое с параметрамп (и, р)1 М4а нр, 0$о = ор (1 — Р). 5.67, а) Р(та+з — — 1+ и [та — — 1» = Р(1 — Р)и з, 1) О, и ~в 11 б) МЕВ ювд/рб От lс(1 — р)/рз, бр„(г) = 'З1 — (1 — Р) з/ 5.68.
а) фа (г) р г (1 — рг) 1 — р' , Мть— 1 г(1 (1 Р)р г) (1 /з)Р б) Р(з)а~ах»-ье х, /з-ь.оо, х)~0. Рг 1 69 а) фе з (г) 1 (1 ) Мто з б б) фь,ьН (') Рз+ (1 — Р) гфе в (г) фз ь ьз (г)б В) мтз = 2Р " (.— )'~ 1 Мт „— ~Р) 2) ° 5.70. 1; 4; 9. 5.73. п~а — — (1 — Х )/(1 — »з ) при Р+д, где д= д/р; п<~") ю/з//у при р= д = 1/2; п1еб = 1 — лабаз, /з 5.74, а) Р (5: 1) 1 — рд, РЯ=/з]= рд(дт)а з (1 — дг) (4) 2); 138 ' 52 5.77. а) (1,2)1 б) .57 1,42268 ...; в) Р1з '= 9 7 0,5360 ..., <> 40 Р'„" =97=04123..., р( =1 — Р"', /=1,2; ) и =О, 92 46 51 з — †2 = 0,3161 ...,пг —— 291 —— 0,1580...„ ха †и =19(†0,2628 ...
578. Р»а»+1» = РА»"1(1 — а А)+ Р»А»»а А+1, Маи = п (а — 1)+1 Оаьи =(а — 1) С2. (р, 00 р„(с),с -(-5(~ I +5 а а 1 5.85. а) Мб, =1+ —, 05, = р»(2 — к — Р), М(бс)ес 2) ТВ 1 В ВС . /ЯВ(2 — и — й О(5 (Ц =2)= —;б) 1» — — —,Ьс=~/е з о е В ' а) 3' 1// (,„»н)2 5.87. Не следует. 5.88. е, (1 —,— „ /. 5.89. а) е — ис; 3 б) — )п2; в) Ри(с) =апе аи (с »0).5.90. ~ 1) 12 ' 1, р, (с) р (с) ~ =.—,(.:)'=.;; ~; —;) (»с а Вс 5,92.
ю (С) = — + (1 — е» +Р>»), ю (С) = —— а+ 0 (к+ В)2 ' 2 а -)-5 — — 2 (1 — е ~"+"~ ), Ь»2 (С) = С+0(1), С, )=1,2, Ви — си а(и„+е) 5,93, М (С,х) = —, С+х+ .„(1 — е»а+Р»С), "+В ' (а+5)2 Ви — ае 5(и +и) М (С,х)= ' 'С(х ' '- (1,— <и+Вк) 2 ) а+В (, » 5)2 2а3(о + и )2 с вт»(с, х) ° ', с(а+ 3)' ( с» 2) В 5,94, о — (а, +()) О, к а,+а +6' )2 я —, и 1 — и — я . 5.95. в) Если 0(1, то и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
