А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Положим т),(У) п)(п(ж [й,(п, У)>О), г 2, 8, ..., 137 где р„(п, дт') — число ячеек, содержащих после размещения и частиц ровно по г частиц. Найти такую последовательность чисел Ьь Ьт, ..., что распределения случайных величин ч,(дт)/Ь» при дт'-. ОО и фиксированном сходятся к невырожденному закону, и сам предельный закон. 4Л19. Пусть п частиц независимо размещаются по дтт ячейкам, расположенным з виде квадратной таблицы размером )т'Х Лд. Назовем ячейку свободной, если после размещения и частиц ни в нее, ни в ячейки, находящиеся с ней в одной строке или в одном столбце, не попало ви одной частицы, Найти предельное распределение числа н(и, дт') свободных ячеек, когда и = дт'(1п )ддт'+ о(1) ), Лт- й 5. Применения центральной предельной теоремы и метода характеристических функций 4Л20 (см.
4.2). Случайная величина Ч„ равна сумме очков, выпавших нри и независимых бросаниях симметричной игральной кости. Используя центральную предельную теорему, выбрать п так, чтобы Р~ ~ —" — 3,5 ! > 0,1~ < 0,1. 4Л21. Складывается 10' чисел, округленных с точностью до 10 ". Предполагая, что ошибки округленил независимы и равномерно распределены в интервале ( — 0,5 ° 10 ", 0,5 10 ), найти пределы, в которых с вероятностью, не меньшей 0,99, будет лежать суммарная ошибка.
4Л22, Случайные величины $ь 5х, ... независимы и одинаково распределены". Р(сд = з) = Р~$, 1 х~ 2' х чь 1, 1 1 2, а) Найти пределы математического ожидания и дисперсии случайной величины Ч = ($д... ьо)д~~ " при И-+ ОО б) Доказать, что при п- распределение Ч„сходится к логарифмнческн нормальному распределению (см. задачу 3.233). Найти параметры а, а' предельного логарифмически нормального распределения. 1ое в) Сравнить найденные в п.
а) значения 1дт МЧ„в О О 1пв ОЧ„с математическим ожиданием и дисперсией слу- О. чайной величины Ч, имеющей логарифмически нормаль- ное распределение из и. б). 4.123*. Случайные величины 5п 5т, ... независимы и одинаково распределены: РДд = 125) Р($д 08) = — „о = 1,2, ...„ иЧ 41 ° ° ° $ ° а) Найти МЧ~аоа, ОЧ|ооа, М1пЧюоа, 01пЧ1аоо. б) Пользуясь асимптотической нормальностью 1п Ч» при п — О, найти приближенные значения Р (Ч1аао мх ~ 0,001), Р (Ч асов ( 1), Р (Чипа < 1), Р (Ч ива ~ 10 ).
в) Польауясь формулой Стирлинга, найти Р(Ч1ооо ~ ( 1), Р (Ч~ооо < 1). 4Л24. Случайные величины $ь 5х..., независимы и одинаково распределены: Р (~д = 1,25) = Р (5д — 0,75) — — ,, 1 и Ч„° 51...$.. а) Найти МЧ~оао, ОЧ1ооо, М1п Ч1ооо, О 1п Что. б) Пользуясь асимптотической нормальностью 1п т) при и -О ОО, найти приближенные значения Р (, ~ 10-то) Р(Чюоо С 1,25вп ° 0,75хао 1,6 ° 10 дх), Р (Ч|оаа ~ 1 25оад . 0 75хоо) Р (Чюоа ~ 10-т) в) Польауясь формулой Стирлинга, найти Р (Ч 1одо .С 1,25вп ° 0,754оо) Р (Чнюо < 1,25вп 0,75хоо). 4Л25.
Случайные величины $ь 5д,,„независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Распре деление случайной величины ХО- - И+ . «. + 4» называется распределением 2т (хи-квадрат) с п ствпвня ми свободьд. а) Доказать, что Ишр ~~ —" — 1 ~е 0 при любом е) О. б) Найти )(ш Р (х — оо(х(оо. (х' -мх,' . ) Фи» у нх»« 4Л26. Случайная точка $ (~н « ~„) ~в В" имеет равномерное распределение на единичной сфере в 11", т. е. на множестве точек Б",,', ((х„..., х ) е= Л: х, + ... + х,',-1). Найти М$,иМ$4,при 1<1,у~п. 4*127. Случайный вектор $ =(2~, ..., $„)жВ" имеет сферически симметричное нормальное распределение с нулевым вектором средних и единичной матрицей 'ко вариаций. Равенство 1 $ рз,, р = ( $ ), е я» — (- $, где ) $) — ~$, »+ ...
+ $о — длина вектора $, дает пред стзвлениз $ 'в виде произведения скалярной случайной величины р и вектора з.' Доказать, что р н е независи- мы в что з имеет равномерное распределение иа еди- ничной сфере в В" (см. задачу 4ЛЙб). Найти распреде- ление, математическое ожидание и 'дисперсию р». 4Л28.
Пусть вектор е (зь ..., е„)«в В" имеет рав- номерное распределение на единичной сфере з В". Ис- пользуя результата« задач 4.127 и 4Л25, доказать, что' при и- »«: а) распределение е уп сходится к стандартному нор- мальному распределению, б) раснределепие вектора (е,уп, ..., з„«п), й = соп»1, сходится к совместному распределению Й независимых случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение. 4Л29.
Случайньге величины $», $н $», ... независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Распре- деление случайной величины »о у ($~~+ ... +«»я)/л называется распределением Стъюдента с п степенями свободы. Найти Иш Р(т«(х)» — сю (х( оо, я-»« 4ЛЗО. Пусть $, «обозначает число появлений»-го исхода в п независимых испытаниях с 1»' несовместными всходами; вероятности появления этих исходов в каж- дОМ ИЗ ИСПЫтаНИй раВНЫ р1, р», ..., Рв*пО СООтВЕтотзск- 140 но, р1+... + р ° = 1. Далее, пусть ан ..., ал — действи- тельные числа и Ч»=ай»,1+...+ а»2,». Ч« — МЧ« Найти М«1„, 0«1„ и предельное распределение )/ йч„ при п-1-оо.
4Л31. Случайные величины $н ~», ... независимы и одинаково распределены; М$, а, 02» д», й 1, 2, ... Положим «1, $»+$»+~+2,»», й-1, 2, ... Найти: а) Мц», сот(ц„т») (Йч«1), 0«р„ ) 1 1 ш Р» 4Л32. Случайная величина $, распределена по закону Пуассона с параметром Х. Найти 4ЛЗЗ. Два игрока ааняты азартной игрой, состоящей в подбрасывании несимметричной монеты, которая падает «гербом» с вероятностью р ) О и «решкой» с вероятностью д 1 — р ) О. Ставки игроков в кая«дом туре равны соответственно' а1 ) О и а» ) О руб.; если монета падает «гербом», то выигрыш а~+ а» получает первый игрок, если «решкой» вЂ” то второй. Предполоя«нм, что исходные капиталы игроков бесконечны, и обозначим через 1»> Я„суммарный выигрыш первого игрока за п туров, о1»> т «И» а через Б 1= — Я ) — второго.
Показать, что: а) существует только одно такое значение х) О, что при а~/а»=х для любого у, (у( ( Иш Р (Ьп1)у) «-1 н Н«п Р(Я~ю) у) (1. б)' если а~ а»х, где значение х то же, что в п. а), то Нш Р(К')3'„-"') =Н Р(К'~81„") — — '. «->с» «.» « 4Л34. Последовательность случайных величин зн 2», . такова, что при любом и 1, 2, ... $- - 1., ~ + ь..
»+ " + ь..., 441 где ь„, ), ..., ь,. — независимые случайные величины, Мь,»=0, 1 1,...,п, п л г~ ~~~ О~„л - оо, 1(п) 1,~~)' М~~„„~з О. и > л->»э ал >, Докааать, что распределения случайных величин $./а, при и - а сходятся к стандартному нормальному распределению. 4Л35. Случайные величины $), 3т, ... независимы, л" — 1 Р Д„1) —, Р (с„— 0) п ° 1,2, ...,0<и(1. Найти предельное распределение случайных величин ь,+ ... + 4 — м (4, + ... + ( ) при и — >- оо. )/п(5]+ ... +$„) 4Л36, Пусть для каждого и 1, 2, .;, случайные величины $',"', ..., ь' ) неваввсимы и одинаково раснределевы: Р (>1 ) '.> ~ Р/5';л) - —.>>"и~ л3~ л Рй1") - О) -1 —., ' )» л при любом / 1...
„и. Найти М$>)"~, О3>~ ) н предельное распределение случайной величины 1>л] (л) пря и -+. оо. >')л / 4Л37а. Пусть для каждого и 1, 2, ... случайные величины $>...„$л ) независимы и одинаково распределены: прв любом / 1, ..., п. Найти,Мз>» Оь> и предельное >л) (л) ИЗ распределение случайной величины 4(л) + ( 4(л) 3 === г л04<л) при и — л а»>. 4Л33. Случайные величины $], ..., ьл независимы, (л) >л) Р Й';"' = 1) - Р';л', Р($> 1' = О) =1 — р>>>о (1а:.1я„п)> и ь„$, + ... + $„".
а) Найти Мь„, Оь„. б) Доказать, что если Оь„- »а при и- », то про дельное при п - распределение случайной величины г„— мг„ = является стандартным нормальным. )/о(„ в) Положим и> /(р~>"~) + ... + /(рл~), где /(х) 0 при х» 1/2 и /(х) = 1 при х > 1/2. Найти предельное при и — распределение случайной величины ~„ — т„, если Х Р» -]" )"а» Х Р> л "» >леал ]а>ал а» 41)я г>»>а шах. ш1п (р';"', 1 — р>")) — ~ О. 1аьал 4.139. Случайная величина $„ имеет распределение в дробно-линейной производящей функцией >р„(з) а„+ (1»»л — а„) а , 0 ~ а„~ 1, 0 ~ д < 1.
Какие невыл рожденные законы распределения Р(х) могут быть пре- дельными для последовательностир„(х) Р ~ — а-х, где 1$ ~л А — некоторые нормиру)ощие константыу Какие условия надо наложить на последовательности а., о, А, чтобы 1!п) Рл~х) Р(х) х 07 л» 4Л40, Случайные величины $), $п ... независимы, не- отрицательны и одинаково распределены: Р(3»0) 1, М$> р>0, 0$>-о', 0<оз<-; пУсть Ф» шах(п>0: $)+...+$„<1), Г>0 (если 3]> »>'г, то )()» О). 14З.
а) Доказать, что Нш Р~ б) Докааать, что для любого е)О ~ —,' й»,— — '~ .1- о.' для любого х, — сх< м, ния которой впервые число занятых (т. е. не пустых) ЯЧЕЕК СтаНОВИтСя раВНЫМ й, И тв тв — уа-< (тб 0) ° а) Найти производящую функцию распределения т„ и Р(т )тв — т<1, т) й)1. б) Найти 1пп юах Р(т )т < — т „), г=2,3, ... »»в~»р< 4.141.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
