А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 9

2.65'. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа. Около каждого из входов и»сеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в каждом иа гардеробов для того, чтобы в среднем в 99 случаях нз 100 все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который онн вошли? Рассмотреть два случая: а) зрители' приходят парами; б) зрители приходят поодиночке. Предположить, что входы зрители выбирают с равными вероятностями.

2.66'. В поселке 2500 жителей. Каждый иэ них примерно 6 раа в месяц ездит на поезде в город, выбирая дпи поездок по случайным мотивам независимо от остальных. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в,100 дней (поезд ходит раз в сутки). 2.67'. Пусть ц» — суммарное число появлений «5» и «6» з У бросанвях игральной кости. При У = 1800 найти вероятность того, что »)» ~ 620. 2.68'.

Две монеты подбрасывают 4800 раз. Найти приближенное значение вероятности того, что событие «герб — герб» появится меньше 1140 раа. 2.69 Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,01. Найти приближенное значение вероятности того, что при 100 выстрелах будет пе больше трех попаданий. 2.70'. Из урны, содержащей 1 белый и 4 черных шара, по схеме случайного выбора с воавращеннем проводят 2500 навлечений шаров. Найти приближенное значение вероятности того, что число появлений белого шара заключено мея1ду 480 и 540. 2.71'. На оянон странице 2400 знаков. При типографском наборе вероятность искажения одного знака равна 47 1(800.

Н! О. айти приближенное значение вероятности того, что на странице не менее двух опечаток. 2.72'. В '. Вероятность успеха в каждом испытанпи схе- мы Бернулли равна р. Найти вероятность того, что й-й по порядку успех происходит при 1-м испытании. В задачах с 2.73 по 2.78 рассматриваются бесконеч- ные последовательности испытаний. Воспользоваться частным случаем вероятностного пространства, который определяется формулами (2А5) — (2.17) цри )» = 2. 2.73'. Дв Д е игральные кости бросаютдовыпад'ния«6» хотя бы на одной из нях. Найти вероятность того, что впервые «6» появляется при й-м бросании, 5=1,2,3,...

2.74'. Дв . 4'. Двое по очереди бросают монету. Выигрывает тот, кто первым получит «герб». Найти вероятности со- бытий: а) игра аакончятся до 4-го бросания; б) выиграет начавший игру (первый игрок); в) выиграет второй игрок. 2.75. В схеме Бернулли р — вероятность исхода 1 и д= -р — вероятность исхода О.

Найти вероятность то- го, что цепочка 00, состоящая нз двух нулей подряд, появится раньше цепочки 01. В частности, вычислить зту вероятность при р 1/2. 2.76. Пусть выполнены условия задачи 2.75. Найти явит вероятность того, что цепочка 00 (два нуля подр ) тся раньше цепочки 10. В частности, вычислить зту вероятность при р 1/2, ве о 277. Пусть выполнены условия задачи 2.75. Н й р ятность Р»»яп того, что цепочка 00 появится акыне цепочки 111. я раньше при р = 1(2. и .

В частности, вычислить зту вероятность 2.7Я. .78. Движением частицы по целым точкам прямой управляет схема Бернулли с вероятностью р исхода 1: если в данном испытании схемы Бернуллн появилась 1, правую то частица из своего положения переходит в соседнюю точку, а в противном случае — в левую. Найти вероятнсють того, что за я шагов частица из точки 0 перейдет в точку »я. 6 5. Полиномиальная схема 2.79'. Отрезок [О, 10) точками 1, 2, 3, 4, 7 разделен А~ ..., А— на 4 отрезка длины 1 и 2 отреака дл 3. П » — независимые случайные точки имеющ равномерное распределение на отрезке (О, 10).

Какова ве- 43 роятность того, что из этих точек в два каких-либо отрезка длиной 1 попадет по 2 точки, а в кая«дый иа оставшихся отрезков — по одной точке) 2.80. При прохождении одного порога байдарка не получает повреждений с вероятностью рп полностью ломается с вероятностью р», получает серьезное повреждение с вероятностью р» (р~+ р»+ р» = 1). Два серьезных повреждения приводят к полной поломке. Найти вероятность того, что при прохождении п порогов байдарка пе будет полностью сломана. 2.81.

Сообщения, передаваемые по каналу связи, составляются из трех знаков А, В, С. Из-за помех каждый знак принимается правильно с вероятностью 0,6 и принимается ошибочно за любой из двух других знаков с вероятностью 0,2. Для увеличения вероятности правильного приема каждый знак передается 5 раз. За переданный знак принимается знак, который чаще всего встречается в принятой пятерке знаков; Если наиболее частых знака дза, то иа них выбирается равновероятно один.

Найти вероятность правильного приема знака при указанном способе передачи. 2.82. Пусть $„» — число появлении исхода 1 в и вервых испытаниях полиномиальной схемы (см. введение к гл. 2). Найти РЦ„~ = т~). 2.83. В схеме, описанной в задаче 2.82, найти условную вероятность Р(з 2»я», ..., $е,»=ш ($,1=»я1).

2.84. В )» ячейках, разбитых па две группы по У~ и Й» ячеек соответственно (Л'~ + У» = У), независимо одну от другой раамещают я частиц; пусть ре (» = 1, 2; 1 1, 2, ..., У,) — вероятность попадания частицы в у-ю оо ячейку»хй группы, а цп — число частиц, попавших в )-ю ячейку 1-й группы послеразмещения я частиц. Найти: а) Р(»)~„"' )«и, » = 1,2, !'= 1, ...,Л'), в) Р(т)м йм, ) =1, ...,Л',(т)»»+ ... +»1»к = и»).

2.85. В )»' ячейках независимо размещают я частиц. Вероятность попадания каждой частицы в 1-ю ячейку равна 1/)»', 1 1, 2, ..., Х Обозначим ро(и, )»') число ячеек, оставшихся пустыми. Найти Р(ро(п, Л') я). 2.86. Игральную кость бросают до первого появления на пей меньше пяти очков.

Какова вероятность получить при последнем бросании не меньше двух очкову 4 л. м, зуб»«» я хз. ° 49 2.87. Исходы Ос, Оз, ... последовательности испытанйй с Л' 3 возможными исходами 1, 2, 3 и вероятностями исходов рн рз, рз объединяются в тройки (Оз„+с, Оз»+з, Оз»»з). Иэ первой тройки (О»+и Оз+з, 0»»+з), в которой все исходы различны, выбирается Оз„+с. Найти Р(Оз„+с =' = д. 2.88. Испытания в полиномиальной схеме с исходами 1, 2, 3, нмеющими вероятности рь рз, рз соответственно, заканчиваются, когда впервые не появится исход 3. Най ти вероятность того, что испытания закончатся исхо» дом 1. 2.89. Игрок А подбрасывает 3 игральные кости, а игрок  — 2 кости.

Эти испытания они проводят вместе и последовательно до первого выпадения «6» хотя бы на одной кости. Найти вероятности событий: а) А = (впервые «6» появилось у игрока А, а не В); б) В = (впервые «6» появилось у игрока В, а пе А); в) С = (зпервьсе «6» появилось одновременно у А и ВВ обозначается Рз(В). Иногда Рз(В) называют законом распределения случайной величины $ или просто распределением Э. Таким образом, распределение вероятностей Рз(В) можно задать функцией распределения Рз(х). Важным классом распределений вероятностей являются абсолютно непрерывные распределения, задаваемые плотностью вероятности рз(х) = р(х), т.

е. такой неотрицательной функцией р(х), что для любого борелевского множества В Р ($ ~ В) ~ р (х) асх; в в общем случае рассматривается интеграл Лебега, который совпадает с интегралом Римана (собственным или несобственным), если последний существует. Другой класс составлтот дискретные распределения, задаваемые конечным или счетным набором вероятностей Р(э =х,), для которых Глава 3 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Пусть задано вероятностное пространство (Й, л», Р). Случайной величиной называется действительная функция от элементарного событйя $ = $(э»), ю и (), для которой при любом действительном х множество (ок $(е») ( х) принадлеясит,я» (т.

е. является событием) и для него определена вероятность Р(е»: $(ез)< х), записываемая кратко Р($ < х). Эта вероятность, рассматриваемая как функция х, называется 4бункс«пей распределения случайной величины $ и обозначается обычно либо Рз(х), либо Р(х) (иногда функцией распределения называют вероятность Р($(х)). С помощью функции распределения Рз(х) мохсно однозначно определить вероятности Р($«э В) для борелевских множеств В на числовой прямой (определение борелевских множеств см. в [5[, с. 32, илп в [2), с. 28 — 29).

В частности, борелевскими мноясествамв являются интервалы вида (хс, хз)„[хп хз[, [хп хз), (хп хз), их конечные и счетные суммы. Вероятность Р($ «в В), рассматриваемая как функция от борелевского множества В, называется распределением вероятностей случайной величииы $ и 50 Функция распределения рс(х) в этом случае ступенчатая и задается суммой Р«(х) = ~ Р Д = хз). ы»„«» Если распределение случайной величины абсолютно не- прерывно вли дискретно, то говорят также, что сама слу- чаввая величина или ее функция распределения соответ- ственно абсолютно непрерывны или дискретны.

П р и и е р ЗА. Пусть точка А =(и, о) равномерно распределена в квадрате () = ((и, о): О ( и < 1, 0 < о < ~ 1) (см. формулу (1.8) из введения к гл. 1). Положим $~ = $1(и, о) = и, 1 при и)о, $з — $з(и, и) =[ [ — 1 .при и <" гс Найти: а) функцию распределения и плотность распре- деления вероятностей случайной величины $с,' б) функ- цию распределения и вероятности значений дискретной величины $». Решение.