А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 14

Случайные величины $ и ц яезависпмы и имеют разпомериое распределение па отрезке [О, 1), а случайпая величипа Ь удовлетворяет условиям Р(ь=$) =Р(ь. 0) =1/2. Найти максимальво и мпиимальво возможные значения Р [~~ — —, ~(г[и указать, при каких совместных распре- 0 делениях $, ц и ь зги значения достигакзтся. 3.73. Случайные величины 5 и т) независимы и име1от одно и то 1ке распределение с иепрерывкоп функцией Распределения 1'(х), а случайная величина ь удовлетворяет условиям Р(~ В) Р(~ = 17) = 1/2. Пусть т, = зпр (х: Р(ь < х) < 1/2) — медиана распределения ~. Найти минимальное и максимальное значения тг и Указатгь пРи каких совместных РаспРеделениЯх 5, 17 и ь ати зпачепкя достигаготся.

3.741. Пусть Х, У вЂ” независимые целочисленные случайные величины, 2 = Х+ У, а — ш!п(п: Р(2 п) )0), Ь= шах(п: Р(2 и) )0), Доказать, что ш1п (Р(2 = а), Р(2 = ЬН ( 1/4. й 2, Математические ожидания В задачах 3,75 — 3112 используются прямые способы вычисления математических ожиданий; вадачи 3 113— 3.131 иллюстрируют возможвости метода индикаторов " (см. введение к гл.

3). Задачи 3.132 — 3.138 содержат по- лезные формулы для математических ожидапий различ- ных функций от случайных величин. Разными методами решаются задачи 3.139 — 3.188. 3,75'. Распределение дискретной случайной величины $ определяется формулами РЦ вЂ” 1) =1/5, 1= — 2,— 1,0, 1,2. Найти математические ожидания величин цз =!$!. 3.76'. Распределение дискретной случайной величины 4 $ определяется формулами Р(з = й) = ь + „+, й- 1,2, ...

Найти математическое ожидание случайной ве- личины $. 3.77'. Плотность распределения случайной ве. личины $ задана формулами р,(х) 0 при х(1, рг(х)= = 3/хз при х ) 1. Найти' математические ожидания и дисперсии случайных величин 5 и 1) = 1/3. 3.78'. Найти М$, 0$, М5'1' (й=1,2,...), если: 7, а) РД т) — е-ь, т=0,1,2, ...; б) Р($ = т) = С„"р д", 7= 1 — р, т О, 1, 2, ...,и. 3,79'. Плотность совместного распределения рз,д,(и, г) величин 5„$ определяется равенствами ре Л,(и, г) =и + + и при 0(и(1, 0(и(1; р1 д,(и, п)=0 в остальпых случаях.

Найти Мь„М$„0$„0~„сот Д„$1). 3.80'. Совместное распределение ьь ь зз определяетсв условвями Р(зДз = 0) = 1, Р(11 = 1) = Р($1 = — 1) = 1/4, 1 == =1,2. Найти Мфь М$1 01~ ь05ь соч(5~ ьз) ° 3.81 . Случайная величина $ равномерно распределе- на на отрезке [О, 2л); ти =созе, т)1 = аглае. Найти Мць МЧь соч(щ, 777). Являются ли 171 и 771 независимыми? 3,82'. Случайная величина $ равпомерио распределе- на на отрезке [ — л,л). а) Найти Мзшй, М сов 5, 0зш2, 0соз5. б) Найти Магизма, Мсоз'З при любом целом й) 1 и асимптотику Мзгп1Е, Мсоз15 при й— 3.83'. Случайная величина 5 равномерно распределепа ка отрезке [О, л).

а) Найти Магие, М сов'$, 0згп$, 0соз 5. 77 б) Найти М зги'$, Мсоз1$ при любом целом й) 1 и ях асимптотпки при й — хз. 3.84'. Плотность совместного распределения случай- пых величия 31, $2 опРеделЯетсЯ Равенствами Рзпз,(и, Р) = 2 , „при и'+от)1 в рз л (и, и) =0 в остальп(и + и')" ных случаях. Найти М Ухьг~+ ьхг. 3.85'. Случайная величина $ имеет показательное рас- пределенпег РЦ ) х) = е * прн х > О.

Найти М$(1 — е "'). 3.86'. Случайная точка А имеет равномерное распре- деление в круге радиуса Л. Найти математическое ояги- дание и дисперсию расстояния $ точки А отцентра круга. 3.87'. Случайпая величина ь имеет равномерное рас- пределение на отрезке (О, Ц, Найти коэффициент корре- ляции случайных величин ц1, цг, если: а) тк =аЬ, 3)г ЬЬ (а, Ь) 0), б) 19=-аь, 312=Ь~ (а<0<Ь), В) 33 =Г, т)2=Гг, г) 371 == Ь вЂ” —,, 3)3 Д) гп = 31п( —, Ь), 1Н = сов~ — ~). 3.88' Пусть ($, 3)) — координаты случайной точки, имеющей равномерное распределение в области 3) 1=В', Найти коэффициент корреляции р(З, 11), если: а) П вЂ” часть единичного круга, лежащая в первом квадранте: х'+ у'< Ц х~ О, у) О.

б) )) — треугольник: х+ у < 1, х) О, у >О, 3.89. Пусть $1, $2, ..., DŽ— независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение на от- резке (О, Ц, а $111 < ф121 «... $1„1 — построенный по ..., $„ вариациопный ряд, т. е, значения $1, ..., $„ расположенные в порядке неубывания. Найти плотность р,(х) распределения Ь, М$~10 ()3=.1, 2, ...)1 0$10.

3.90. Пусть $11, < З121 «... $1„1 — вариационный ряд, построенный по независимым случайным величинам Зь 32, ..., $„, имеющим равномерное распределение на от- резке [О, Ц (см. задачу 3.89). Найти ковариацию и коэф- фициент корреляции р($111, $п1). При каких условиях )гго (агыо, ~0,) = 07 3.91'. Докааать, что если случайные величины $ и ц независимы, мф мг) =О, м)$(3< 3, м(31Н< 3, то МД+ 3))3= М~з+ Мцз.

78 3.92'. Случайные величины $ я 37 пекоррелпрозапы. Доказать, что Мсц= М$М3). 3.93. Случайные величипы 3, ц и ь попарно некоррелпрованы. Верно ли равенство Мьць =МИМ3)Мь7 3.94. Случайные величины й, 3), Ь имеют нулевые математвческие ожидания, дисперсии о' и цопарко пекоррелировакы. Чему равны минимальное и максимальное аначения Мзцьу 3.95'. Найти ковариационную матрицу случайного вектора $ =($~ Ь, $3), если: а) $1, зг, зз независимы и имеют стандартное нормальное распределение; б) вектор $ имеет равномерное распределение в кубе ((х„х„х ): пгах )х;( =.

)/3~: 1Х1Х3 в) вектор $ с зерятпостью 1/6 принимает каждое из 6 значений (О, О, ~73), (О, ~73, 0), (~73, О, 0). 3.96 . Какие из приведенных ниже матриц могут, а какие не могут быть ковариационпыми для случайного вектора $=(з1, $2, $3)1 а) 010, б) 101 г) 111 д) 234 — 13 ж) — 1 1 — 1~7 1 — 1 е) 11 3.97. При каких значениях х существует случайный вектор $ =(ЗП Зг, $3) с коварпационной матрицей: «) х1х, б) х1 х 3.98.

Случайный вектор ($1, $3, Ы имеет коварпа- 1 Р12 Р13 1 ционную матрпцу Р„1 Ргз ~ Доказать, что 013 023 ! Ргз Рггргз $ ~ <у (( Р12) (1 1'зз). 3.99. а) Показать, что если распределение случайного вектора (ьг, ьг) совпадает с распределением вектора ( — ~„— (",г) и МЬ', -1- МЬ,з( оо, то соч(~), ~г) = 2М(~( шах(О, ~г) ). б) Пусть (ф(, т!)) и (3г, г)г) — независимые одинаково распределенные векторы, М Д>, + Ч,') ( оо.

Доказать, что сор(3(, т)()=М((т)( — Чг)шах(0, Ь $>)). 3.100. Случайные векторы е = (ь>, ..., ьв) ~ Л и ь*=- =(з„..., $„)ев/бп независимы, Мв (т„..., т„) =т, М~* = (т'„,. „>и„*) = то, матрицы коварнаций $ н за равны о= [[пя[ и о* = [))по[! соответствонно. Найти: в) математическое ожидание н дпсперсию случайной велвчппы ь $(+...+$„; б) математическое ожидание в дясперсию случайной величины Ч = (з, а) = =а($)+...+п„Ь.„, где а=(а(, .„а„) — данный несл(- чайнып вектор; в) математические ожидания и коварпацпонные матрицы векторов $+ 3*, $ — ~*, а$+ Ь$з (а, Ь вЂ” постояннью) .

ЗЛ01'. Пусть [х! обозначает наибольшее целое число, ~е превосходящее х (целую часть х), а (х) =х — [х)— дробную часть х. Доказать, что если случайная величина ь такова, что распределение (ь) равномерное на отрезке [О, 1[, то М [ь) Мк — 1/2/ ЗЛ02'. Случапные величины $(, $г, ... независпмы и Р($, = 1) = Р(ю = — 11 = 1/4, РЦ, = 0) = 1/2, 1= 1, 2, ... Найти математическое ожидание и дисперсию случаппой величины К„= $) +... + $ .

ЗЛОЗ . Случайные величины е), ег, ... независимы и одинаково распределепы: Р(е, = 0) РВМ = 1! =- 1/2, >=1,2, ..., а б,=е,— ес+г, 1 1,2, ... а) Показать, что случайные величины б(, бь ... распределены так же, как случайные величины ы, фг, ... в задаче ЗЛ02, я что при любом з 1, 2, ... случапиые величины б„бкы независимы, если /) Π— целое, / ~ 2. б) Иа(сти математическое омсндавяе и дисперсию случайной велячяяы /)в = б(+... + б„, и ~ 2, ЗЛ04 . Случайные величины $(, 3г, ... независимы и имеют равномерное распределение па отрезке [О, 1[. Найти математическое ожидание случайной величины о Ч» = Х [ь -) — ь !.

) 1 3.105'. Найти дисперсию случайной величппы г), введенной в задаче ЗЛ04. Сравнять ее с и!к[3> — ь(! = =1)([зг — $([+ [Фз — $з[+" + !ег.— ьг -)!). 3.106, Случайные величины $), ..., $., Ч(, °, Ч позавнспмы. Положим ~„ = ;-, + ... + $„, ~'„ = в,Ч, + ... + Ы,. Найти МЬ„, М'„'„, 0ьв, (У"„, сос ((,„, г,,), если М$з=аз 0$„=о', Р(Ч,=1) =р, Р())в = 0) (/ 1 — р (/с = 1, 2, ...,и). ЗЛ07' В экспедиции, рассчнтаппон на и дней, ежедве))г(о от запаса продуктов нумспо отделят)> соответствуюшую часть: в 1-й донь — 1/и-ю часть, во 2-й день— 1/(и — 1)-ю часть от остатка и т. д. В действительности нужная часть продуктов отделяется с ошибкой.

Пусть Ч, (й = 1, 2, ..., и — 1) — часть от остатка продуктов, которая отделяется в /с-й день. Предполагается, что величн- 1 ны Чз независ>смы, МЧ, = аз = .Найти математик — к+ 1' ческое ожидание случайной величины Ь, равной части продуктов, оставшейся к последнему дню: ь =(1 — т!)) (1 — Чг)...(1 — т! -)).

ЗЛОЗ . Случайные величины ф(, 3г, ... независимы и имеют одно и то же математическое ожидание а н одну н ту же дисперсию ог. Положим Ч, )=$с — ф). Найти математическое ожидание и дисперсию случайных величин ()) ~и = Ч(л+ Чз,з+ Чз,з+ + Чзв->,гв> (г) гкк = Ч).г + Чгл+ Чз,з + ° ° ° + Чвже>з (з) кв Ч(в+ Ч),з+ Ч(,с+ ' ' + Ч)в'((з ьо — Ч) а + Чз,з + Чз,з + ° ° ° + Чв->,в + Чв,) ЗЛ09'. Случайные величины ф(, $г, ... независимы я нме)от пулевое математическое ожпдание и днсперсию А. М. Зубков в др 81 и'. Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин ь~, (,, ь„, ь„, определенных в аадаче <1) <ы (3) (4) 3.108„если ц<, — — $;5<.

3.110'. Решить задачу 3.109 в случае, когда $< ьз ° ° независимы и имеют равномерное распределение на отрезке (О, 11. 3.111'. Решить задачу 3.109 в случае, когда $<, $я ° ° ° независимы и имеют математическое ожидание а и дисперсию пз. 3.112. Случайные величины $<, $к ... независимы Ма<=0, 0$< =из(, )=1,2,, Найти математическое ожидание и дисперсию случайных величин Ю,=$,+$,+ ... +$„и Т„=~ь, +$,,+...

+$„< где г<, чь ...— независимые и не зависящие от $<, $ь ... случайные величины, имеющие равномерное распределение на множестве (1, 2, ..., У<Е. ЗЛ13'. Обозначим через О, число циклов длины г в подстановке, случайно выбранной из множества всех п! подстановок степени и. Найти: а) МО<, 06<, б) МОг; в) МО„(г>1). ЗЛ14'. В урне содержится М< шаров с номером 1, Л/г шаров с номером 2, ..., М„шаров с номером УУ, По схеме случайного выбора без возвращения выбирается и шаров. Найти математическое ожидание числа непоявившихся номеров.

ЗЛ15'. Из урны, содержащей М белых и У<У вЂ” М черных шаров, по схеме выбора без возвращения извлекается выборка объема п. г!нсло белых шаров 5 в выборке имеет гипергеометрическое распределение: р (~ь = <и) С«<С" ". Найти М$ и 03. с" ЗЛ16'. В УУ ячейках случайно размещаются и частиц. Каждая частица независимо от остальных с вероятностью 1/У<У может попасть в любую фиксированну)о ячейку. Обозначим через ре(п, УУ) число пустых ячеек. Найти М)<д(п, ут), 0)<е(п, у)у) в асимптотические формулы для них прп и, У)У-~ <, и/У)У- а<н(0, «<). ЗЛ17'.