Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей

А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 14

DJVU-файл А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 14 Теория вероятностей и математическая статистика (2653): Книга - 3 семестрА.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 14 - страница

Случайные величины $ и ц яезависпмы и имеют разпомериое распределение па отрезке [О, 1), а случайпая величипа Ь удовлетворяет условиям Р(ь=$) =Р(ь. 0) =1/2. Найти максимальво и мпиимальво возможные значения Р [~~ — —, ~(г[и указать, при каких совместных распре- 0 делениях $, ц и ь зги значения достигакзтся. 3.73. Случайные величины 5 и т) независимы и име1от одно и то 1ке распределение с иепрерывкоп функцией Распределения 1'(х), а случайная величина ь удовлетворяет условиям Р(~ В) Р(~ = 17) = 1/2. Пусть т, = зпр (х: Р(ь < х) < 1/2) — медиана распределения ~. Найти минимальное и максимальное значения тг и Указатгь пРи каких совместных РаспРеделениЯх 5, 17 и ь ати зпачепкя достигаготся.

3.741. Пусть Х, У вЂ” независимые целочисленные случайные величины, 2 = Х+ У, а — ш!п(п: Р(2 п) )0), Ь= шах(п: Р(2 и) )0), Доказать, что ш1п (Р(2 = а), Р(2 = ЬН ( 1/4. й 2, Математические ожидания В задачах 3,75 — 3112 используются прямые способы вычисления математических ожиданий; вадачи 3 113— 3.131 иллюстрируют возможвости метода индикаторов " (см. введение к гл.

3). Задачи 3.132 — 3.138 содержат по- лезные формулы для математических ожидапий различ- ных функций от случайных величин. Разными методами решаются задачи 3.139 — 3.188. 3,75'. Распределение дискретной случайной величины $ определяется формулами РЦ вЂ” 1) =1/5, 1= — 2,— 1,0, 1,2. Найти математические ожидания величин цз =!$!. 3.76'. Распределение дискретной случайной величины 4 $ определяется формулами Р(з = й) = ь + „+, й- 1,2, ...

Найти математическое ожидание случайной ве- личины $. 3.77'. Плотность распределения случайной ве. личины $ задана формулами р,(х) 0 при х(1, рг(х)= = 3/хз при х ) 1. Найти' математические ожидания и дисперсии случайных величин 5 и 1) = 1/3. 3.78'. Найти М$, 0$, М5'1' (й=1,2,...), если: 7, а) РД т) — е-ь, т=0,1,2, ...; б) Р($ = т) = С„"р д", 7= 1 — р, т О, 1, 2, ...,и. 3,79'. Плотность совместного распределения рз,д,(и, г) величин 5„$ определяется равенствами ре Л,(и, г) =и + + и при 0(и(1, 0(и(1; р1 д,(и, п)=0 в остальпых случаях.

Найти Мь„М$„0$„0~„сот Д„$1). 3.80'. Совместное распределение ьь ь зз определяетсв условвями Р(зДз = 0) = 1, Р(11 = 1) = Р($1 = — 1) = 1/4, 1 == =1,2. Найти Мфь М$1 01~ ь05ь соч(5~ ьз) ° 3.81 . Случайная величина $ равномерно распределе- на на отрезке [О, 2л); ти =созе, т)1 = аглае. Найти Мць МЧь соч(щ, 777). Являются ли 171 и 771 независимыми? 3,82'. Случайная величина $ равпомерио распределе- на на отрезке [ — л,л). а) Найти Мзшй, М сов 5, 0зш2, 0соз5. б) Найти Магизма, Мсоз'З при любом целом й) 1 и асимптотику Мзгп1Е, Мсоз15 при й— 3.83'. Случайная величина 5 равномерно распределепа ка отрезке [О, л).

а) Найти Магие, М сов'$, 0згп$, 0соз 5. 77 б) Найти М зги'$, Мсоз1$ при любом целом й) 1 и ях асимптотпки при й — хз. 3.84'. Плотность совместного распределения случай- пых величия 31, $2 опРеделЯетсЯ Равенствами Рзпз,(и, Р) = 2 , „при и'+от)1 в рз л (и, и) =0 в остальп(и + и')" ных случаях. Найти М Ухьг~+ ьхг. 3.85'. Случайная величина $ имеет показательное рас- пределенпег РЦ ) х) = е * прн х > О.

Найти М$(1 — е "'). 3.86'. Случайная точка А имеет равномерное распре- деление в круге радиуса Л. Найти математическое ояги- дание и дисперсию расстояния $ точки А отцентра круга. 3.87'. Случайпая величина ь имеет равномерное рас- пределение на отрезке (О, Ц, Найти коэффициент корре- ляции случайных величин ц1, цг, если: а) тк =аЬ, 3)г ЬЬ (а, Ь) 0), б) 19=-аь, 312=Ь~ (а<0<Ь), В) 33 =Г, т)2=Гг, г) 371 == Ь вЂ” —,, 3)3 Д) гп = 31п( —, Ь), 1Н = сов~ — ~). 3.88' Пусть ($, 3)) — координаты случайной точки, имеющей равномерное распределение в области 3) 1=В', Найти коэффициент корреляции р(З, 11), если: а) П вЂ” часть единичного круга, лежащая в первом квадранте: х'+ у'< Ц х~ О, у) О.

б) )) — треугольник: х+ у < 1, х) О, у >О, 3.89. Пусть $1, $2, ..., DŽ— независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение на от- резке (О, Ц, а $111 < ф121 «... $1„1 — построенный по ..., $„ вариациопный ряд, т. е, значения $1, ..., $„ расположенные в порядке неубывания. Найти плотность р,(х) распределения Ь, М$~10 ()3=.1, 2, ...)1 0$10.

3.90. Пусть $11, < З121 «... $1„1 — вариационный ряд, построенный по независимым случайным величинам Зь 32, ..., $„, имеющим равномерное распределение на от- резке [О, Ц (см. задачу 3.89). Найти ковариацию и коэф- фициент корреляции р($111, $п1). При каких условиях )гго (агыо, ~0,) = 07 3.91'. Докааать, что если случайные величины $ и ц независимы, мф мг) =О, м)$(3< 3, м(31Н< 3, то МД+ 3))3= М~з+ Мцз.

78 3.92'. Случайные величины $ я 37 пекоррелпрозапы. Доказать, что Мсц= М$М3). 3.93. Случайные величипы 3, ц и ь попарно некоррелпрованы. Верно ли равенство Мьць =МИМ3)Мь7 3.94. Случайные величины й, 3), Ь имеют нулевые математвческие ожидания, дисперсии о' и цопарко пекоррелировакы. Чему равны минимальное и максимальное аначения Мзцьу 3.95'. Найти ковариационную матрицу случайного вектора $ =($~ Ь, $3), если: а) $1, зг, зз независимы и имеют стандартное нормальное распределение; б) вектор $ имеет равномерное распределение в кубе ((х„х„х ): пгах )х;( =.

)/3~: 1Х1Х3 в) вектор $ с зерятпостью 1/6 принимает каждое из 6 значений (О, О, ~73), (О, ~73, 0), (~73, О, 0). 3.96 . Какие из приведенных ниже матриц могут, а какие не могут быть ковариационпыми для случайного вектора $=(з1, $2, $3)1 а) 010, б) 101 г) 111 д) 234 — 13 ж) — 1 1 — 1~7 1 — 1 е) 11 3.97. При каких значениях х существует случайный вектор $ =(ЗП Зг, $3) с коварпационной матрицей: «) х1х, б) х1 х 3.98.

Случайный вектор ($1, $3, Ы имеет коварпа- 1 Р12 Р13 1 ционную матрпцу Р„1 Ргз ~ Доказать, что 013 023 ! Ргз Рггргз $ ~ <у (( Р12) (1 1'зз). 3.99. а) Показать, что если распределение случайного вектора (ьг, ьг) совпадает с распределением вектора ( — ~„— (",г) и МЬ', -1- МЬ,з( оо, то соч(~), ~г) = 2М(~( шах(О, ~г) ). б) Пусть (ф(, т!)) и (3г, г)г) — независимые одинаково распределенные векторы, М Д>, + Ч,') ( оо.

Доказать, что сор(3(, т)()=М((т)( — Чг)шах(0, Ь $>)). 3.100. Случайные векторы е = (ь>, ..., ьв) ~ Л и ь*=- =(з„..., $„)ев/бп независимы, Мв (т„..., т„) =т, М~* = (т'„,. „>и„*) = то, матрицы коварнаций $ н за равны о= [[пя[ и о* = [))по[! соответствонно. Найти: в) математическое ожидание н дпсперсию случайной велвчппы ь $(+...+$„; б) математическое ожидание в дясперсию случайной величины Ч = (з, а) = =а($)+...+п„Ь.„, где а=(а(, .„а„) — данный несл(- чайнып вектор; в) математические ожидания и коварпацпонные матрицы векторов $+ 3*, $ — ~*, а$+ Ь$з (а, Ь вЂ” постояннью) .

ЗЛ01'. Пусть [х! обозначает наибольшее целое число, ~е превосходящее х (целую часть х), а (х) =х — [х)— дробную часть х. Доказать, что если случайная величина ь такова, что распределение (ь) равномерное на отрезке [О, 1[, то М [ь) Мк — 1/2/ ЗЛ02'. Случапные величины $(, $г, ... независпмы и Р($, = 1) = Р(ю = — 11 = 1/4, РЦ, = 0) = 1/2, 1= 1, 2, ... Найти математическое ожидание и дисперсию случаппой величины К„= $) +... + $ .

ЗЛОЗ . Случайные величины е), ег, ... независимы и одинаково распределепы: Р(е, = 0) РВМ = 1! =- 1/2, >=1,2, ..., а б,=е,— ес+г, 1 1,2, ... а) Показать, что случайные величины б(, бь ... распределены так же, как случайные величины ы, фг, ... в задаче ЗЛ02, я что при любом з 1, 2, ... случапиые величины б„бкы независимы, если /) Π— целое, / ~ 2. б) Иа(сти математическое омсндавяе и дисперсию случайной велячяяы /)в = б(+... + б„, и ~ 2, ЗЛ04 . Случайные величины $(, 3г, ... независимы и имеют равномерное распределение па отрезке [О, 1[. Найти математическое ожидание случайной величины о Ч» = Х [ь -) — ь !.

) 1 3.105'. Найти дисперсию случайной величппы г), введенной в задаче ЗЛ04. Сравнять ее с и!к[3> — ь(! = =1)([зг — $([+ [Фз — $з[+" + !ег.— ьг -)!). 3.106, Случайные величины $), ..., $., Ч(, °, Ч позавнспмы. Положим ~„ = ;-, + ... + $„, ~'„ = в,Ч, + ... + Ы,. Найти МЬ„, М'„'„, 0ьв, (У"„, сос ((,„, г,,), если М$з=аз 0$„=о', Р(Ч,=1) =р, Р())в = 0) (/ 1 — р (/с = 1, 2, ...,и). ЗЛ07' В экспедиции, рассчнтаппон на и дней, ежедве))г(о от запаса продуктов нумспо отделят)> соответствуюшую часть: в 1-й донь — 1/и-ю часть, во 2-й день— 1/(и — 1)-ю часть от остатка и т. д. В действительности нужная часть продуктов отделяется с ошибкой.

Пусть Ч, (й = 1, 2, ..., и — 1) — часть от остатка продуктов, которая отделяется в /с-й день. Предполагается, что величн- 1 ны Чз независ>смы, МЧ, = аз = .Найти математик — к+ 1' ческое ожидание случайной величины Ь, равной части продуктов, оставшейся к последнему дню: ь =(1 — т!)) (1 — Чг)...(1 — т! -)).

ЗЛОЗ . Случайные величины ф(, 3г, ... независимы и имеют одно и то же математическое ожидание а н одну н ту же дисперсию ог. Положим Ч, )=$с — ф). Найти математическое ожидание и дисперсию случайных величин ()) ~и = Ч(л+ Чз,з+ Чз,з+ + Чзв->,гв> (г) гкк = Ч).г + Чгл+ Чз,з + ° ° ° + Чвже>з (з) кв Ч(в+ Ч),з+ Ч(,с+ ' ' + Ч)в'((з ьо — Ч) а + Чз,з + Чз,з + ° ° ° + Чв->,в + Чв,) ЗЛ09'. Случайные величины ф(, $г, ... независимы я нме)от пулевое математическое ожпдание и днсперсию А. М. Зубков в др 81 и'. Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин ь~, (,, ь„, ь„, определенных в аадаче <1) <ы (3) (4) 3.108„если ц<, — — $;5<.

3.110'. Решить задачу 3.109 в случае, когда $< ьз ° ° независимы и имеют равномерное распределение на отрезке (О, 11. 3.111'. Решить задачу 3.109 в случае, когда $<, $я ° ° ° независимы и имеют математическое ожидание а и дисперсию пз. 3.112. Случайные величины $<, $к ... независимы Ма<=0, 0$< =из(, )=1,2,, Найти математическое ожидание и дисперсию случайных величин Ю,=$,+$,+ ... +$„и Т„=~ь, +$,,+...

+$„< где г<, чь ...— независимые и не зависящие от $<, $ь ... случайные величины, имеющие равномерное распределение на множестве (1, 2, ..., У<Е. ЗЛ13'. Обозначим через О, число циклов длины г в подстановке, случайно выбранной из множества всех п! подстановок степени и. Найти: а) МО<, 06<, б) МОг; в) МО„(г>1). ЗЛ14'. В урне содержится М< шаров с номером 1, Л/г шаров с номером 2, ..., М„шаров с номером УУ, По схеме случайного выбора без возвращения выбирается и шаров. Найти математическое ожидание числа непоявившихся номеров.

ЗЛ15'. Из урны, содержащей М белых и У<У вЂ” М черных шаров, по схеме выбора без возвращения извлекается выборка объема п. г!нсло белых шаров 5 в выборке имеет гипергеометрическое распределение: р (~ь = <и) С«<С" ". Найти М$ и 03. с" ЗЛ16'. В УУ ячейках случайно размещаются и частиц. Каждая частица независимо от остальных с вероятностью 1/У<У может попасть в любую фиксированну)о ячейку. Обозначим через ре(п, УУ) число пустых ячеек. Найти М)<д(п, ут), 0)<е(п, у)у) в асимптотические формулы для них прп и, У)У-~ <, и/У)У- а<н(0, «<). ЗЛ17'.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4980
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее