А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 12

В общем случае говорят, что вектор т) = (т)и ° ° ° Чг)ы ги В' имеет нормальное распределение свекторомматематичвских ожиданий а=(Мт)1, ..., Мт),) и матриигвй ковариад)ий В = ) сот (т)и т)1))д";=г (короче: с параметрами ,(а, В)), если он распределен так же, как вектор и т)х =а+2А= Мт)д+ ~', 2дадд, ..., Мху+ ти Стад„, (3.27) 65 Бл и зсгоьзлз где случайный вектор 4 =(31, ..., $1) имеет сферическп симметричное нормальное распределение с о1 =... = = о, = 1, а прямоугольная матрица ! а а ... а,! 21 22 ''' 22 ~ аю ааг А= 1--'Ф .

(2я)" Р 624 В ( 2 ехр — — У, Ьт;(хт — ат)(х/ — а ) . Если же матрица В вырождена (Ае1В= О), то нормальное распределение с параметрами (а, В) сосредоточено на гиперплоскости, размерность которой равна рангу В (см. задачу ЗЛ59,6), и поэтому такое нормальное распределение г-мерной плотности не имеет.

1. Распределение вероятностей случайных величин В задачах ЗЛ вЂ” ЗЛ5 рассматриваются одномерные распределения; в ЗЛ6 — 3.38 — законы совместного распределения нескольких случайных величин; в 3.49 — 3.53— случайные величины, связанные с последовательностями испытаний.

3.1'. Распределение дискретной случайной величины $ определнется формулами Р (6 = 1) = —,, 1- — 2, — 1, 0262. Найти распределения величин 241= — 6, т)г = Ц). 3.2'. Распределение случайной величины 5 определи ется формулами РЦ = 4) =С/)2(/2+ 1), /2 = 1, 2, ... Най ти: а) постоянную С; б) Р(6~ 3); в) Р021с 62Я пг). 66 такова, что матрица ковариацпй вектора тта, равная-А 'А (гп. задачу 3.274) совпадает с матрицей В.

Параметры (а, В) определятот многомерное нормальное распределение однозначно. Если матрица ковариаций В положительно определена, то ее определитель Ае1В. положителен и существует обратная матрица Ва — ~Ь1'.,1- В ', а нормальное распределение с параметрами (а, В) имеет г-мерную плотность р (х„..., х) 3.3'. 1'аспределенис дискретпои случайной величины $ определяется формулами: РЦ И = С//2(Й+ 1) (/2+ 2), й = 1, 2, ... Найти: а) постоянную С; б) РЦ > 3); в) Р(п~ с 6 с пг). 3.4 . Плотность распределения случайной величины $ задана формулами: р,(х) С/х4 при х == 1; рт(х)= 0 при х с 1, Найти: а) .постоянную С; б) плотность распределения т) = 1/4; в) Р(0,1 с 21 с 0,3). 3.5'.

Случайная величина $ имеет показательное распредечение с параметром ок РЦ сх) = 1 — е "" (х~ О). Найти плотности распределения случайных величин: а) т)1 = "т'$; б) т)г = 62. в) т)2 — 1п 6. 3.6'. Случайная величина 6 распределена так же, как в задаче 3.5. Найти плотности распределения величия: а) 211= Ц) (Ц) — дробная доля 6); б) 112 = 1 — е ""..

3.7'. Случайная величина 6 равномерно распределена на отрезке (О, 1). Найти плотности распределения величин: а) тт1 = 22~ + 1; б) ттг = — 1п(1 — 6). 3.8'. Случайная точка В имеет равномерное распределение па окружности хг+(р — а)'= г' с центром в точке А =(О, а), а случайная точка С=(6, 0) является пересечением оси абсцисс с прямой, проходящей через А и В. Найти функцито распределения н плотность распределения случайной величины 4. (Распределение $ называется распределением Коши.) 3.9'.

Случайная величина 6 пмеет распределение 11оши с плотностью рг(х) = — —,.Найти плотность раст+2' пределения величин т) = $2/(1+ 62), ~ = 1/(1+ $2). 3.10. Случайная величина 4 имеет такое же распределение, как в задаче 3.9.,Найти плотность распределеппя случайных величин тт = 2$/(1 — $2), Ь = 1/6. ЗЛ1. Пусть Ь(х) — плотность распределения случайной величины 6; функция д(х) дифференцируема и на интервале (О, 1) монотонно возрастает от — до +- ". Найти: а) такую функцию ф(х), что случайная величина т) =1р(Ц имеет своей плотностью раснределения )(х)= = Ь(е(х))в'(х); б) распределение случайной величины ь = б(ч).

ЗЛ2', Случайная величина $ имеет непрерывнуто функцию распределения Р'(х) РЦсх). Показать, что 52 67 1/8, 612 7/24 случайная величина Ч =Р'Д) имеет равномерное распределение на отрезке [О, 1). ЗЛЗ. Пусть Ч имеет равномерное распределение на [О, 1), а /г т(у) зпр(х: г"(х)<у), 0-'~у<1, — функция, обратная к функции распределения Р(х) (пе обяаательно непрерывной!). Доказать, что случайная величина $ =г",(Ч) имеет функцию распределения р(х). ЗЛ4, Построить пример такого абсолтотно непрерывного распределения случайной величины $ с плотностью р,(х) и такой непрерывной функции д(х), что распределение случайной величины Ч у(З) не вырождено и дискретно.

3.15.Функция распределения г'(х) непрерывна в каж. дой точке. Доказать, что она равномерно непрерывна на всей прямой — < х < ° . ЗЛ6, Совместное распределение ро Р(Зт 1, $г /) случайных величин $п $г аадано таблицей: ш!и г(и, и)' — 1 оооот оо'оот 0(и < 2, 0~ о 1 — и~. Найти плотность распределе. нип Рт (х) слУчайной величины 6, 3.20'. Плотность совместного распределения р„,л (и, о) ьеличин $п $г определяется равенствами ро Л,(и, о) = С(и+о) при 0<и<1, 0<о<1 и ргл (и,о)=О, в остальпых случаях.

Найти: а) постояннуто С; б) одпо- втеРньте плотности РаепРеделЕниЯ $~ и ег, 'в) плотность распределения Ч = шах(ьп $г) 3.21'. Плотность совместного распределения величин о $п $г определяется равенствами: рг Л„(и, о) прв иг+ ог)1 и рг г (и, о) =0 в остальных случаях. т/Ог ог Найти плотность РаспРеделенин Ч = т от+ йг.

3.22. Случайные величины 2 и Ч имеют плотности распределения /(х) и д(х) и функции распределения г (х) и С(х) соответственно. Случайный вектор (ьи Ьг) имеет плотность распределения р(х, у) = /(х)д(у) (1+ г(Е(х), 6(у) ) ), где функция г(х, у) удовлетворяет условиям 1 г ) г (и, о) т(о = ~ г (и, о) Ыи ьм О. о о 6/24 1/6 1/8 Найти: а) одномерные распрсделеннярь Р($т т)о р.; Р ($г = /); б) совместное распределение до Р(Ч1 = т, Чг =/) случайных величин Ч1= $~+ ьг, Чг = 61ьг~ в) одномерные распределения уи = Р(Чт = 1), 7 / Р(Чг /).

ЗЛ7'. Случайные величины 6 и Ч независимы. Найти РЦ = Ч), если: а) $ и Ч имеют одно и то же дискретное распределение РЦ =хо! ='Р(т! х,) =ро, й О, 1, ...; б) функция распределения $ непрерывна. 3.18'. Совместное распределение $, Ч является равномерным з единичном круге хг+ уг < 1. Найти Р([$! < 3/4, [Ч! < 3/4). т,ЗЛ9'. Плотность совместного распределения величин определяется равепствамн: рт „(и, о) 1 при (и, о)ж С, рт „(и, о)=0 при (и, о)Фто, где С [[(и, и)з 68 Найти плотности р~ и рг распределения компонент ~~ и ~г вектора ~.

"3.23. Неотрицательные случайные величины $п $г независимы и имеют одну и ту же плотность распределения р(х), х> О. Найти плотность у(и, п) совместного распределения случайных величин Ч1 61 — зг, Ч, = = )~к+ к. 3.24. Случайные величины $п ьг независимы и имеют одну и ту же плотность распределения р(х), Найти совместную плотность распределения д(г, тз) полярных координат (г, тр) точки (~и $г). 325*.

Случайные величины ~~ и $г независимы н имеют одно и то же показательное распределение: Р($, < <х) =1 — е *, х) О, т=1, 2. Найти Р([р — ьг! <1). "3.26', Случайные величины 6 и Ч независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [О, а), Найти плотности распределения случайных вели шп: а) $+ т1; б) ь — Ч; в) $Ч; г) $/Ч, 62 3.27'. Случайные величины $ и т) независимы и иметот показатсттт,ттое распределение с плотностью е ' (х ~ О) т:зждая.

Нанти плотность распределения: а) ь+ т); б) $ — тН в) Ц вЂ” т)[; г) $/т). 3.28'. Найти плотность распределения суммы $+ т), еслв 4 и т) независимы, 4 имеет равномерное распределение в отрезке [О, 1], а т) — равномерное распределеппе в отрезке [О, 2!. , 3.29'. Найти плотность распределения суммы независимых случайных величин $ и т), если 5 равномерно распределена в [О, 1], а т) имеет покааательное распредоление с плотностью е * (х ~ 0), 3.30. Случайные величины 5т, 5м 5л независимы и имеют равномерное распроделение в [О, 1]. Найти плотности распределения сумм: а) $т+ззт б) ~т+ $т+ $л. Найтв Р(0,5 < $т + ььг + 5л < 2,5). 3.31'. Точка (5о 5,) имеет равномерное распределе ние в квадрате ((х, у): 0 < х < и, 0 < у < а).