А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей

ББК 22171 3-91 УДК 519.21 '(075.8) ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Ч А С Т Ь й ЗАДАЧИ 7 13 22 Гзв ва 1 1. 1 2. 1 3. 1 5. 26 37 39 41 45 48 50 06 77 94 99 случайных величин 106 113 М8 126 148 154 100 163 1602090000 — М 0 3 053(02) 89 45-89 Издательство »Наука», © главная релзкакк Пвэвко-мзтсмзткчэская литературы, 9999; с кэмсасвкямк, (999 174 3 1ЯВ)Ч 5-02-013949-1 Зубков А. М., Севастьянов В, А., Чистяков В. П. Сборник задач по теориц вероятностей Учеб. пособие для вузов.— 2-е пад., испр, и доп.— Мл Наука. Гл. ред, фиа.-мат. лнт.— 1989.— 320 с,— 1ЯВН 5-02-013949-1, Содержит упражнения по всем разделам теории вероятностей, включаемым в начальный курс. Тексты задач, указания, решения к ответы помощзютсв раздольно.

Второе издание по сравнению с первым (1980 г,) существенно переработано. Значительно увеличено общее число задач и, з частности, число простых задач, преднааяаченных для упражнений по начальному курсу теории вероятностей; в вводные части к основным темам добавлены примеры решения задач; добавлены задачи' по случайным процессам и математической статистике. Для студентов математических и фиаических специальностей вузов.

Табл. 9, Ил. 8. Виблиогр. 13 пззв. Рецензент кафедра теории вероятностей Московского института электронного машиностроения (заведующий кафедрой — доктор физико-математических наук Г, И.Ивченко) Г л а в а 1. Простейшие вероятноетяые схемы 1 1. Классическое определение вероятности 4 2, Геометрические вероятности 2. Последовательности испытанвй Условные вероятности Независимость событий Формула полной вероятности Схема Вернулли Поляномиальпая схема Глава 3.

Случайные величины 1 1. Распределение вероятностей 1 2. Математические ожидания 1 3. Условные распределения 1 4. Нормальное распределение Глв ва 4. Предельные теореыы. Производвщие н характеристические фуикцвн 1 1. Закон больших чисел. Лемма Вореля — Каителли 1 2. Прямые методы доказательства предельных теорем 1 3. Характеристические и производящие функции $4. Неравенства Вовферропн и сходимость к распределению Пуассона 1 5. Применения центральной предельной теоремы и метода характеристических функций Г л а в а 5. Простейшие случайные процессы 1 1.

Разные задачи 1 2. Пуассоновсиие процессы 1 3. Цепи Маркова Г л а за 6. Элементы математической статистики 11 136 236 273 3о6 326 ЗО3 399 зго 3Ы 3!2 ПРЕДИСЛОВИЕ 3!4 319 Часть П. УКАЗАНИЯ Часть ПЕ РЕШЕНИЯ Часть 1У. ОТВЕТЫ Таблицы Нормальпое распределение Распределеиие Пуассоив Распределение Стъюдеита Хпраспределеяие Равномерно расиределеявые случайные числа Нормально распределенные случайные числа Программные датчика псевдослучайных чисел Список лвтературы Этот сборник задач является учебным пособием по пачем ному курсу теории вероятностей для студентов твизерснтетов и технических вузов.

Математический аппарат, используемый при решении большей части вадач, не выходит за пределы ооычного курса математики в технических вузах. Каждая из шести глав задачника имеет введение, где приводятся краткие сведении о понятиях н утверигденпях теории вероятностей, необходи. мых для решения задач атой главы. Введения к первым трем главам содержат, кроме того, примеры решения простых стандартных задач. Конец каягдого примера отмечен анаком А. В сборнике имеются задачи разной степени трудности.

С одной стороны„в каждой главе есть простые задачи, решение которых сводится к прямому прииепенн о основных формул и приемов. Номера таких задач отме- ченН знаком *. Этн задачи можно использовать на семинарских занятиях как в технических вузах, так и в университетах. С другой стороны, в каждой главе есть достаточно сложные задачи, решения которых салери~ах принципиально важные идеи или связаны с аккуратным проведением математических выкладок илн рассуждений. Номера таких задач отмечены знаком и, а их полные решения приводятся в части П1. Остальные задачи занимают промежуточное положение. Если первые попытки' решения такой задачи яе приводят к успеху, то можно воспользоваться укаааниями (см.

часть П), которые практически для каждой задачи в сжатой форме перечисляют все сколько-нибудь нетривиальные соображения, на которых основано ее решение. Иначе говоря, указания разбивают задачу средней трудности на несколько более простых вадач. Авторы стремились сделать задачи интересными как по форме, так н по содержаниго н подбирали задачи так, чтобы помочь учащимся освоиться с основными понятиями и методами теория вероятностей.

Особое впимание уделяется тем элементарным методам, которые «работают» практически во всех областях применения теории вероятностей, например: представлению исследуемой случайной величины в виде суммы индикаторов, использованию линейности математического ожидания, методу моментов, представлению исследуемой случайной величины в виде суммы более простой случайной величины и «малого» добавка, и т.

п. Большая часть этих приемов, как правило, не находит отражения в стандартных курсах теории вероятностей и может быть усвоена только ири самостоятельном решении задач. При составлении задачника был испольвован ряд 'отечественных и зарубея«ных источников (учебников, задачников, журнальных статей и т. п.), а также задачи, возникавшит в научных и педагогических коллективах, хорошо знакомых авторам. При подготовке второго иадания были исправлены замеченные неточности и добавлены ноьые задачи.

х «М у)( Часть 1. ЗАДАЧИ Глава 1 ПРОСТЕЙШИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СХЕМЫ Математические модели случайных явлений, рассматриваемые в теории вероятностей, основываются на понятия вероятностного пространства, т. е. тройки (»г, с«., Р), где Н = (о>) — непустое множество, элементы со ноторого интерпретируются как взаимно исключающие исходы изучаемого случайного явления; .Ф вЂ” набор подмножеств множества й, называемых событиями (предполагается, что множество Ф содержит ») и замкну'то относительно взятия противоположного события и суммы событий в пе более чем счетном числе, т. е. лг является о-алгеброй); вероятность Р— функция, определенная на событиях А ш,Ф и удовлетворяющая следующим условиям: 1) Р(А) ~ 9 при любом А ш Ф; 2) Р(О)=1; 3) Р ( Ц А„~ = ~Р(А„), если А;А, = 8 при любых ',и=! / с > > Ф!.

Символ 8 озпачает пустое мвожество (или невозможное событие). Определение операций над событиями, определение алгебры и о-алгебры событий можно найти в учебниках по теории вероятностей (см., например (2], (5), (10]— (131) . В этой главе рассматриваются два простейших класса вероятностных пространств.

Пусть О = (сон ю>, .:., е>.). В.о-алгебру событий,Ф включаются все 2' подмножеств А (е>;,, ..., оз>д) мно>кества 1). При классическом определении вероятлости полагают Р(е>~) ... =Р(ю,)=1/г, поэтому вероятность Р(А) события А (ю;,..., е>|,) равна отношению числа элементарных событий *) е>„входящих в А, к общему ») Здесь и ввн>е чвсло элем«сто» любого кои«чисто мзожест. ва»> будок обоапачзть !»>). числу элементарных событий в Й: Р (А) )А! з )О! г ' (1.2) Такая вероятностная схема является матемзтвческой моделью случайных явлений, для которых исходы опыта в каком-либо смысле симметричны, и поэтому представляется естественным предположение об нх равповозможности.

Пример 1.1. Брошепо две игральных кости. Предполагая, что элементарные события равновероятны, найти вероятность события А = (сумма выпав!них очков делнтсв на 6). Решение. Исход опыта можно описать парой чисел (з, )), где з — число очков, выпавших на 1-й кости, а ) — на 2-й (з, ) =1, 2, ..., 6).

Поэтому мы полагаем Й ((! 1):1 1,2,...,6; ) 1,2,...,6). Нетрудно проверить, что общее число элементарных событий )Й! 36. Событие А соответствует подмнонгеству А ((1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3), (6,6)) множества Й. Так как )А! 6, то по формуле (1.2) получаем Р (А) )А! 6 1 !Я! 36 6' А Дадим описание двух часто встречающихся вероятностных схем, в которых детализируется общее классическое определенно. Обозначим через Л' множество из )у чисел: Л (1, 2, ..., )ч)! пусть ю =(й, зь ..., ! )— упорядоченный набор из и элементов множества Л, Вероятностную схему, в которой Й (ы=(1и зг, ..., 1„): т',шЛ', й 1, 2, ..., и) (1.3) и все элементарные события ы равновероятны, называют схемой случайного выбора с возвращением,. Схемой случайного выбора бев возвращения называют вероятностную схему, в которой Й (ы=(1ь 1з, "., ! ): 1~юЛ!', й=1, 2, ..., и, среди 1!, ..., з„нет одинаковых) (1.4)' и влементарные события ы равновероятны.