Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей

А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 16

DJVU-файл А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 16 Теория вероятностей и математическая статистика (2653): Книга - 3 семестрА.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 16 - страница

3. $53. 3. Покааать, что для любых случайных величин ь1, ьк ..., 4» с конечными г-ми (г~ $) моментами спра- ведливо соотношение М!а»1 + ° ° ° +а»»! < й 1(М!аь1! + ° + М!аь»! ) ° 3.154. 4. Доказать, что при 1 < г ~ 2 справедливо не- равенство [х + у!" + !х — у!' < 2(!х!" + !у!')', -с» < х, у < », и с его помощью покааать, что если случайные величи- ны 5 и г! независимы и распределение т! симметрично (т.

е. распределения т! и -»$ совпадают)', то при любом г, 1<г=2, М[8+,! ~М[5[+М!,!.. 3.155. Покааать, что если случайные величины $ь ... 8„независимы,, имеют симл»етричные распределения и М[51!'< ', 1= $, ..., и, для некоторого гы [1, 2], то М!51+... + с,!' < М!51!'+... + М!5„!'. 88 3.156». Показать, что если случайные величины з и ц независимы, Мг! = О, и М!5!'<», М!1!!" <о для некоторого действительного г ~ 1, то М!5+ ц!" М[5! . ЗЛ57. Используя аадачи ЗЛ53 — 3.156, доказать, что если 51, ..., 5 — независимые случайные величины, МЗ1 = О, М!8,!' < с, 1 = $, ..., и, для некоторого г, 1 < ~г<2, то М!51+...

+~„!' < 2'(М!5 !" +... + М!~„!")'. 3.$58. Случайный вектор 5 =(а1, ..., 5»)' принимает значения в В", и существует такой набор чисел (ас, и1, ..., а»)»ь(0, О, ..., 0), что Р(а 41 +... + аД, + ас 0) 1. Доказать, что если все елементы матрицы ковариаций В=)с»1$ компонент вектора 5 конечны, то: а) деФВ-0; б) (а„...,а»)В (В(я»»...,г»»)~)~ = О, где и — знак транспояирования. ЗЛ59. Случайный вектор 8 =(51, ..., ь») принимает значения в В' и имеет математическое ожидание я»ы В" и матрицу ковариаций В 15,11. Доказать, что: а) матрица В неотрицательно определена, т. е. Ьяа;а; = (а, Ва) ) О для любого а ~ В"; »,1=1 б) а если ранг матрицы В равен г, то существует г-мерная гиперплоскость Х,1= В', для которой РЦ 1н 1н»,) = 1, и РЦ»и $,-1) < 1 для любой (г — 1)-мерной гиперплоскости Е, 1 < В'.

ЗЛ60. Случайные величины 51, 51, ..., 8„независимы и равномерно распределены в отрезке [О, 1[. Найти Р(81+ 81+...+ $„(х) при 0 <х< 1. 3.16$. Случайные величины з1, 5м ... неаависимы и равномерно распределены в отрезке [О, 1[. Определим случайную величину г равной тому аначению Й, при котором впервые сумма 81+ 51 +... + 5» превзойдет 1. Найти Мч.

3.162. Случайные величины 81, ..., З„независимы; 051 =а,', 1 1, ..., и. При каких с1, ..., с„, удовлетворяющих условиям с» Р-О, с1+... + с = 1, случайная ве- 89 личина т). с~6, з-... + с з. имеет минимальную дисперсию? Найти минимальную дисперсию. 3.163. По известному «правилу трех сигм» вероятность отклонения случайной величины от своего математического оясидания более чем на три корня из дисперсии мала. Найти Р(~$ — М$~ ~ 3?0$), если $ имеет: а) нормальное распределение; б) показательное распределение; в) равномерное распределение на отрезке [ — 1, 1); г) Р(З = — 1) = Р($ =1) 1/18, Р($ =0) = 8/9; д) распределение Пуассона с М$ = 0,09 3.164.

Вычислить математическое ожидание и дисперсию определителя ст = 1$44(1,, -„, элементы которого 444 — независимые случайные величины с М»»е = 0 и 0$е = а'. 3.165. Пусть матрица  — ~',$4зс),",т=т, где йп ..., 4,— независимые случайпыв величины, имеющие спмметрячныв распределения (т. е. распределение 4, совпадает с распределением — 44, (=1, ..., и).

Показать, что если М~4;Р ( ', с = 1, ..., и, для целого й > 1, то МВ» — диагональная матрица. 3.166. Неотрицательная случайная величина $ имеет монотонно убывающую выпуклую вниз плотяость распределения /(х), /" (х) » О. Что можно сказать о знаках величин М згп $, М соэ $? ЗЛ67. Обозначим т( = шах ()с, и — р„), где р — число успехов в схеме Бернулли с и испытаниями и с вероятностью успеха р. Натйтн )пп и-'МЧ„. и 3.168, По последовательности $п $т, ... испытаний Бернулли (Р($, = 1) - р ) О, РЦ4 0) 4/ = 1 — р ~ О, $п $т, ...

независимы) настроям последовательность пар (»ь1 4»), ($з, е«), ... и вычеркнем из этой новой последовательности все пары вида (О, 0) и (1, 1). Для й = 1, 2, ... положим ч, равным первому члену /с-й не- вычеркнутой пары. а) Показать, что т(4, т)т, ...— последовательность неаависпмых случайных величин, Р(т(, = 0) Р(т)4 = 1) 1/2, /с = 1, 2, ... б) Найти математическое ожидание числа т членов походной последовательности, использованных для того, чтобы определить значение т)ь ЗЛ69.

По той же последовательности эп зт, ..., что з задаче. 3.168, построим последовательность троек (ьг ь» зз), (е« з», $«), ... в вычеркнем из нсйз все трой- ки вида (О. О, 0) и (1, 1, 1). Для /с =- 1, 2, ... положим т(, равным 1, 2 или 3 в соответствии с номером того члена й-й невычеркнутой тройки, который отличается от двух остальных. а) Показать, что т)п т(», ...— последовательность незазпсзмых случайных величин, Р(т(4 = Н = 1/3, с = 1, 2, З,для/с=1,2,... б) Найти математическое ожидание числа членов исходной последовательности, использованных для того, чтойььспцределить значение т)ь ЗЛ70' ' В партии и иэделий, каждое из которых незавйсймо от остальных с вероятностью р удовлетворяет стандарту, а с вероятностью д = 1 — р — нв удовлетворяет ему.

Изделия проходят проверку, описанную в задаче 2.24. За каждое изделие, удовлетворяющее стандарту и прошедшее проверку, предприятие получает а руб.; за изделие, прошедшее проверку, но не удовлетворяющее стандарту, уплачивается штраф Ь руб; за-изделие, пе прошедшее проверку (забракованное), уплачивается штраф с руб. Найти математическое ожидание прибыли предприятия, полученной аа партию из и иаделий. 3.171. Координата $ случайной точки А на действительной прямой имеет непрерывную функцию распреде. ленин. Найти на этой примой такую точку В, для которой математическая ожидание длины отрезка АВ минимально. 3.172.

Случайные величины $, т) имеют непрерывнуто двумерную плотность распределения. Как выбрать точку В =(х, у)си В', чтобы величина ф(х, у)= М(~$ — х~ + + ~т( — у~) была минимальной? ЗЛ73. Случайная величина 4 имеет конечный второй момент М$». Найти шшМ($ — х)т и то значение х, при котором этот минимум достигается. 3.174. Математическое ожидание квадрата расстояния случайной точки Х ся Вт от начала координат конечно. Для какой точки А минимально М!АХ!т? ЗЛ73». Уровень весеннего паводка на реке является случайной величиной $ с непрерывной функцией распределения Р'(х)= Р(э -Я х). Плотина рассчитана так, чтобы выдерживать паводок уровня не выше з, Предполагая, что уровни паводков в равные годы независимы и одинаково распределены, найти: а) минимальное значение з, при котором математическое ожидание времени до разрушения плотины паводком будет не меньше Т =100 лет; б) минимальное значение г, при котором вероятность разрушения плотины паводком за Т= 100 лет будет ке больше а = 1/100.

3.176». Наблюдения за уровнями весенних паводков в течение Т лет дали значения $<, ..., $,. На реке построена плотина, которая может выдери<ать паводок, если только его уровень не превосходит Ь, = шах (з<, $т). Пусть т;=пппП: $,»<)ь») — время до разрушения плотины паводком. Предполагая, что случайные величины Е<, $м ... независимы и имеют одну и ту же непрерывную функцию распределения, найти формулы для Мтт, Р(тт ~ и) и численные значения зтих величин при Т=100, и=10. 3.177. Случайные величины $<, зз, $з независимы и имеют одно и то же распределение с конечным математическим ожиданием, Ц«т К $<з< < $<з< — их вариационвый ряд (см.

задачу 3.60). а) Доказать, что 3 2 б) Доказать, что 3 М(ппп Д<зт — $«т, В<э) — В<»т)) <~ — М[В< — В, [ 3.178. Будем говорить, что случайная величина з сосредоточена на отрезке [а, Ь], если Р(а ~ $ — Ь) 1 и при любом з ) 0 Р(а(5<а+с)>0 и Р(Ь вЂ” ес$(Ы>0. Доказать что дисперсия случайной величины, сосредото12/4 ченной па отрезке длины 1, не превосходит 1/4. ЗЛ79. Докааать, что если случайные величины т)<, цз независимы и т(< сосредоточена на отрезке длины 1<, < = 1, 2, то сумма т)< + т)з сосредоточена на отрезке длины )=1, +4.

3.180. Говорят, что случайная величина $ имеет безгранично делимое распределение, если при любом натуральном и ее можно представить в виде суммы $<+... ...+ с„независ<ть<ых одинаково распределенных случайных величин. Доказать, что вевырожденное безгранично делимое распределение не может быть сосредоточено на конечном отрезке. 3.181. Пусть события А<, Ам ..., А таковы, что Р(А,) =р, <=1, ..., и, и событие В (происходит пе менее т из событий А<, ..., А„). Показать, что шах(0, "" '"+ )(Р(В„,)(ш<т<~1 "~~. 3.182. Случайная величина $< имеет функцию распределения Р<(х) = РЦ< < х), а случайная величина язв функцию распределения Рз(х).

Докааать, что если Е< (х) < Рз(х) при всех х <и ( — сю, »»), то М$< > М$ь ЗЛЗЗ. Случайные величины $ и т) заданы на одном вероятностном пространстве. Описать множество возможных значений Р($ < т)) в следующих случаях: а) М$=1, Мт)=10; б) $ и т( одинаково распределены; в) в распределена равномерно на [О, 1), а т) — равномерно на [О, а), а ч» 1. ЗЛ84. Случайные величины й и т) имеют равномерное распределение на отреаке [О, 1[.

Доказать, что при любом характере зависимости между $ и т) М[$ — т)! ( 1/2. 3.185, Случайные величины $ и т) независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [О, 1[, а случайная величина (, удовлетворяет условию Р(~= 5) = Р(~ =т)) 1/2, Указать совместные распределения й, т), <., при которых достигаются экстремальные аначения МЬ, и найти мак« симальное и минимальное возможные значения Мь. ЗЛ86. Случайная величина й имеет непрерывную функцию распределения р(х), случайная величина принимает только значения 0 и 1: Р(3=1) =а, Р(у = 0) = 1 — а.

Указать совместные распределения з н у, при которых достигаются экстремальные значения М$)(, и найти зти экстремальные значения. 3.187. Случайные величины з и т) неаависимы и имеют равномерное распределение на отрезке [О, Ц, а случайная велипииа <, удовлетворяет условию Р(~ — $) = р == 1/2, Р(~ = т)) 1 — р. Указать совместные распределения $, т), ь, при которых достигаются зкстремальные значения Мь, и найти зти зкстремальные значения. 3.188.

а) Векторы $=(зт, $з) и т)=(т)<, дз) независимы и сот($<, $з)~ О, сот(тт<, ттз)ч»0. Могут ли компо- 93 ненты 3, + Ч~ и фт+ Чг вектоРа $ + Ч быть некоРРелиРованными? б) Векторы 9 =($ь эт) и Ч =(т)ь Чз) независимы и имеют аависимые компоненты: Р(Ц < хь йг ( хг) Ф РЦ~ < х~)Р(йт 'ь хг), Р(Ч1 » (х~ т)т » (хг) ~ Р(Ч! » кх1)Р(Ч2 » <хг)' Могут лн быть независимыми компоненты $ ~ + Ч ~ и эз + + Чз вектора $ + ЧУ й 3. Условные распределения 3.189'.

Случайные величины 9 и Ч независимы; РЦ = й) = Р(Ч - й) = рд' ', 9=1 — р, 0(р(1, 9=1, 2, ... Найти: а) Р(3=Ч); б) РЦ>Ч); в) РЦ<Ч); г) Р($ = УтЦ ~ Ч); д) Р($ = Й1Ь ( Ч); е) РЦ = Ус19 = ч); ж) Р($ = й Ц + ч = У); э) МЦ[$+Ч =У), Е ~ 2. 3 190'. Найти распределение целочисленной неотри- цательной случайной величины ф, если: а) Р(0($ ( ) = 1, РЦ = Ут+11$) Ус) =р, Ус = О, 1, ...; б) РЦ ~0) =1, Р(3= Уг+1Ц~и()т, й+1Н =с<1!2, Ус=О, 1, ...; в) Р Д ~~ О) = 1, Р Д = Уг + 1 1 $ еи (й, Ут + 1)) = г->0, Ус=0,1, ... 3.191'. Случайные величлны $, Ч неаависимы и оди- наково распределены. Найти условную плотность Рпт+„,(х) РаспРеделениЯ 9 пРи Условии 9+Ч=г в сле- дующих случаях: а) $ и Ч имеют показательное распре- деление с плотностью р(х)=)те ', х>0; б) $ н Ч рав- номерно распределены в [О, 1]; в) $ и Ч имеют распре- деление с плотностью У.гхе '", х ) О.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее