А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 10

Событие ($~ ~х) ((и, о): и<х, (и,о)си си(з) п)>и х) 1 совпадает с (), а при х<0 — с ьс. При 0 ( х < 1 множество точек, определяющих событие (Ь ~ х), образует прямоугольник со сторонами 1 и х. 4» 51 Таким образом, 0 Рт . (х) = Р (е, < х) х 1 Производная Рь (х) в ее точках ет с плотностью распределения: йри х(0, при 0<х 1г при х «1. непрерывности совпада- [ 0 при хф[0 Цт [ 1 яри хек [О, Ц.

Функция распределения $г находится аналогично. Если х~1, то«(4ь<х) =ьг; (з1<х) = И прв х<-1, а при -1<к<1 (йг<х) =((и, о): и< о, (и, о)~иП). Влачит 0 при х< — 1, Рь (х) = Р(~г(х) = 1/2 при — 1 х<1г 1 при х) 1. Случайная величипа $т дискретна; ее распределение со средоточево в двух точках: — 1 и 1. Действительно, Р(5=1) =Р((и, о): и)о, (и, о)юй) =1/2, РЦг — 1) Р((и, о): и < о, (и, о)ж()) =1/2.

В задачах обычно говорится о случайной величине 3 и о ее распределении Рт( ) без явного указаяия того вероятиостпого пространства, иа котором ока определеиа. Это означает, что соответствующее утверждение или вычисление справедливо для любого вероятностиого пространства (Я, хй, Р), на котором можно определвть случайную величину с=З(ет) с задаякым распределепием Р,( ); в частности, таким вероятностным пространством можно считать (В, Я, Рт), где В=(х) — числовая прямая, Я вЂ” борелевская о-алгебра ее подмкожеств, Р,— распределение вероятностей случайной величины 3, которая задается функцией $(х)- х.

Если па одном и том же вероятностном пространстве '(Й, хй, Р) определепы случайные величины $ь $т, ..., $„ то иногда говорят, чтс задав случайный вектор З =($, $,). Многомерной функцией распределения (или совместной функцией распределения) $ь $г, ..., $, иазывается вероятность РЦ~ < хи ..., $, <х,), рассматривае- 52 мая как фуикция от точки х =(хь ..., х„) г-мерпого евдлидова пространства В' и обозначаемая Р: „,т,(х„, ... ,.

„ х„) (кратко Рт(х)) или Р(хь ..., х,) (кратко Р(х)). С помощью фувкцип распределения однозначно определяются вероятности Р($~я В) для г-меряых борелевских множеств В. Функция множеств Рт(В)=Р($~иВ) называется г-мерным распределением вероятяостей $. Абсолютно непрерывное г-мериле распределение вероятностей задается г-мврной плотностью рл(х) = рз т (хм . ° ° ~х ) т. е.

такой неотрицательной функцией рт(х), что для любого борелевского множества В = В" Р(ь ~ В) (... ( р (х„..., х„) дх,... дх„. в Дискретное г-мерное распределение задается с помощью копечяого или счетного набора вероятностей Р(З х(й)), х(/г)жВ', так что для любого борелевского множества В Р(реп В) ~' РД = х(/г)). южюмв Пример 3,2. Найти распределейие величины где случайная величина $~ та же, что в примере 3.1.

Решеитте. Фуякция распределения т) при Ол ° к<1 определяется следующей цепочкой равенств: Р„(х) = Р(т)(х) = Р [~, 'х[ Р [ — )/х($,я )гх) — Р, ()'х) — Р, ( — )гх) — )гх. Очевидно, что Р„(х) 0 при х<0 и Р„(х)=1 при х>1. При 0<х<1 р () =Р (У )- —. 1 2 [/х р„(х)=0 при х<0 и при х- 1. Таким образом, величияа т1 абсолютно яепрерывка и ее плотность распределеиия определяется формулой р„(х)=1/(2/х) при хж(0, 1), р„(х)=0 при хФ(0, 1). А П р и м е р 3.3.

Случайная величина $ имеет плотность распределеиия рт(х)=в * (х>0), рт(х)=0 (х< < 0). Найти распределение случайной величины ц = = т)(з) = [с[в, где [$[ обозначает целую часть 3. Решение. Так как (т) =/сз) = (й<ф(й+1), то вероятность Р(11 = /сз) определяется равенствами Р(ц=й)-Р(й~~~й+ 1)- А+1 А+1 ) р (х)((х ~ е "((х=с "(1 — е 1), й О 1,2, ...

П р и м е р 3.4. Случайная величина $( принимает значения О и 1, а случайная величина 51 — значения -1, О н 1. Вероятностн Р($) -1, $1=/) задаются следующей таблицей: М 1/4 5Н6 1/16 Найти распределение случайной величины г) -$(61. Решеняе. Проиаведение $)61 равно нулю, если ра вен нулю хотя бы один из сомножителей: (к=о) =Ц)-О, Ь=-1) 0 0 (Ц) = 21 = О) 0 Ц) = О, 21 = 1) 0 ($) = 1, 51 - О). Отсюда 1 1 1 1 5 Р (ц - О) - - + - + -+ - =- 16 4 16 4 8' Оставшиеся два аначения (1, — 1) и (1, 1)' пары величин (51, 51) приводят к двум значениям тр -1 и 1.

Следо вательно, Р(11 = -1) = 1/16, Р(й = 1) = 5/16. Таким образом, величина и днскретна; ее распределение сосредоточено на аначениях — 1, О, 1, н вероятности этих значений равны соответственно 1/16, 5/8, 5/16. и Если з-мерный случайный вектор г) = у (5) есть функция от г-мерного случайного вектора 5, т. е, 11„ у1($1, ..., $,), й 1, ..., г, у( ) (у)( ), ..., у.( )), то Р(т) (в В) РЦ = у-((В) ), (3.1) ) где у ) (В) — прообраз борелевского множества В прн отобрая1евии у. В частности, если г=з 1, а функция у у(х) непрерывна и строго возрастает, то р„(у) = ° РА(у-1(у)).

Если, кроме того, у(х) двффереппируема и распределение 5 имеет плотиость р1(х), то распредоление ц имеет плотность рчЫ=р (у — Ы), 1 -1 Если г = з, отобраясение у у(х) взаимно однозначно и д(д,, "., с„) якобиан Ус(х) = не обращается в нуль, то д(х, ...,х) плотность р„(х) поясно вычислить по плотности р1(у) с помощью равенства 1 (ч(и) — н(а-(())гт(,— в)т- — но- (()))~.,(г)). (3.2) В общем случае, как правило, удобнее сначала вычислить функцию распределения 11 по формуле (3.1), а за" тем найти плотность распределення 11 дифференцированием.

Случайные величины 5(, ..., $, называются нсзаеисимыми, есле для любых борелевскнх множеств В), ..., В, имеет место равенство Р (5 , ..., 5 ) = П К В ). (3.3) 1-1 Следующие определения независимости равносильны определеппго (3.2): е оби1ем случае: для любых х),..., х, 1и В ° Р1. „, 1 (х, ..., х„) = Д РАА (хА); А 1 для абсолютных непрерывных распределений: для любых х (х), ..., х,)ыВ" (кроме, может быть, точек, образующих множество меры нуль) т Р1 1 (х„..., х,) П Р (хА); 11 для дискретных распределений: для всех х (х),..., х,)'иЛ" Р81 = х„..., ',„=х)-Ц Р(~ =х) А 1 55 Если случийные величины 51...

„$, независимы, то функции от них т)а=уа(51), А=1, ..., г, также будут независимыми случайными величинами. Пример 3.5. Случайные величины $1 и 51 независимы; их плотности распределения определяются фор. мулами 1 при х~10,1], ( — при хев [ОО2] р (х) ' р, (х) - ' 0 при хф[0 1], О пр, ~(0 2] ь Найти функцию распределения и плотность распределеО яия величины т] $1ет. Решение. Так как величины $1 и 51 независимы, то двумерная плотность распределения вектора (51, $1),' есть Рьл (и о) РО (и) РО (Р).

Найдем сначала функцию распределения т): Ра(х) =Р(т] ~х)=Р ДД1 (х) = ) ) Р (и) Р (г)Ии1]оа 1 1 х где В ((и, о): во =х1. Отсюда ре(х) — ) ~ди Й~ Г 2,[ Р„ где 1)„= Юх(]((и, и): 0(и(1„ 0» и(~2). Очевидно, что 1)'„ И при х(0 и д', ((и, и): 0<и(~1, 0» и(2) при х ~ 2; следовательно, Р(т]а х) = 0 (х а О), Р(т) ~ х) 1 (х ) 2). При 0 ( х < 2 (рис.' 5) 1 ЦЬ(.=2 -, *+ ~-*.3.- а х/1 Рх Таким образом, х х — х 1п —,. 2' х(0, 0 при — * (1 — (п —,) при 0 < х < 2, ре (х) х~~ 2.

прв Отсюда находим плотность распределения 0 при х ф (О, 2], рч(х)- — — 1п —, при х ев (О, 2]. Если 5 и т) — независимые случайные величины, то по плотностям р,(х), р„(х) можно вычислить влотность рт+а(х) их суммы с помощью формулы композиции (или свертки): Ю ОО рхвч(х) ~ рт (у) р„(х — у) т(у = [ р„(х — у) р„(у) т]у. (3.4) Полезйы также формулы композиции для фупкцвй' распределевия РЬ„.„(Х) — ) Рт(Х вЂ” У) Рч (У) т(У, (3.5) р;„.„(х) ~ рт(х — у) прч(у) '(последнвй интеграл з общем случае надо понимать как ивтеграл Лебега — Стилтьеса).

П р и м е р 3,0. Найти плотность распределения вели- . чины т) 51+ $1, где $1, 51 независимы и каждая из пих равномерно распределена на отрезке [О, 1]. Решение. По формуле (3.4) О 1 р„(х) ] рт (у) рт (х — у) иу= ) рь (х — у)т(у. Подывтегральная функция рт (х — у) полоятительна и равна 1, если 0 < х- у ~ 1. Отрезок интегрирования [О, 1] и отрезок [х — 1, х] авачений у, при которых рь (х — у)) >О, яе пересекаются, если хс 0 или х> 2.

В этих случаях р„(х) О. Если О~х(1, то [О, 1]0[х — 1, х] 1О, х] и х р„(х) — ) ду = х. а Если 1 а х ~ 2, то [О, 1] О [х — 1, х] [х — 1, 1] и 1 р„(х) ) ду 2 — х. М$ = ~ хр (х) Нх. (3.6) (3.11) Мц Мд(,) ( д(х) дР„(х) Таким образом, О, если х с. 0 или х) 2, р„(х) — х, если О (» х (~ 1, 2 — х, если 1(хл 2. Математическим огхиданием случайной величины $ называется число М$ ) $(ы)Р(Й ), если интеграл Лебега, стоящий в правой части этого равенства, существует (см.

[5), с. 60, или (2], гл. 4, т 1). Если $ имеет плотность, то М~ может быта вычислено по формуле Для случайной величины $ с дискретным распреде- лением Мз ~ хдР ($ хд), (3. 7) А если ряд (3.7)' сходится абсолютно В общем случае 6Ф М$= ) хдР4(х), (3.8) где интеграл понимается как интеграл Стилтьеса, Если т) =4'(9), то для вычисления Мт) =Му($) мож- но применять следующие формулы, аналогичные (3.6)— (3.8) (также с оговоркой об абсолютной сходимости); 0 Мт) Мя(з) ) я(х) р (х) Ых, ( Мт) ™з (ь) ~л", д(хь) Р(з = хь), (3.10) '(в формуле '(3.11) в общем случае интеграл понимается как интеграл Лебега — Стилтьеса). Формулы (3,9)— (3.11) обобщаются на случай, когда т~ 4'($ь ..., ь,), где я — функция, отображающая В' в й', В частности, 'формула (3.9) в этом случае превращается в Мд(з, ", ь.)- ) я(х„..., х,) р (х„..., х,) дх,...