Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей

А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 10

DJVU-файл А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 10 Теория вероятностей и математическая статистика (2653): Книга - 3 семестрА.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 10 - страница

Событие ($~ ~х) ((и, о): и<х, (и,о)си си(з) п)>и х) 1 совпадает с (), а при х<0 — с ьс. При 0 ( х < 1 множество точек, определяющих событие (Ь ~ х), образует прямоугольник со сторонами 1 и х. 4» 51 Таким образом, 0 Рт . (х) = Р (е, < х) х 1 Производная Рь (х) в ее точках ет с плотностью распределения: йри х(0, при 0<х 1г при х «1. непрерывности совпада- [ 0 при хф[0 Цт [ 1 яри хек [О, Ц.

Функция распределения $г находится аналогично. Если х~1, то«(4ь<х) =ьг; (з1<х) = И прв х<-1, а при -1<к<1 (йг<х) =((и, о): и< о, (и, о)~иП). Влачит 0 при х< — 1, Рь (х) = Р(~г(х) = 1/2 при — 1 х<1г 1 при х) 1. Случайная величипа $т дискретна; ее распределение со средоточево в двух точках: — 1 и 1. Действительно, Р(5=1) =Р((и, о): и)о, (и, о)юй) =1/2, РЦг — 1) Р((и, о): и < о, (и, о)ж()) =1/2.

В задачах обычно говорится о случайной величине 3 и о ее распределении Рт( ) без явного указаяия того вероятиостпого пространства, иа котором ока определеиа. Это означает, что соответствующее утверждение или вычисление справедливо для любого вероятностиого пространства (Я, хй, Р), на котором можно определвть случайную величину с=З(ет) с задаякым распределепием Р,( ); в частности, таким вероятностным пространством можно считать (В, Я, Рт), где В=(х) — числовая прямая, Я вЂ” борелевская о-алгебра ее подмкожеств, Р,— распределение вероятностей случайной величины 3, которая задается функцией $(х)- х.

Если па одном и том же вероятностном пространстве '(Й, хй, Р) определепы случайные величины $ь $т, ..., $„ то иногда говорят, чтс задав случайный вектор З =($, $,). Многомерной функцией распределения (или совместной функцией распределения) $ь $г, ..., $, иазывается вероятность РЦ~ < хи ..., $, <х,), рассматривае- 52 мая как фуикция от точки х =(хь ..., х„) г-мерпого евдлидова пространства В' и обозначаемая Р: „,т,(х„, ... ,.

„ х„) (кратко Рт(х)) или Р(хь ..., х,) (кратко Р(х)). С помощью фувкцип распределения однозначно определяются вероятности Р($~я В) для г-меряых борелевских множеств В. Функция множеств Рт(В)=Р($~иВ) называется г-мерным распределением вероятяостей $. Абсолютно непрерывное г-мериле распределение вероятностей задается г-мврной плотностью рл(х) = рз т (хм . ° ° ~х ) т. е.

такой неотрицательной функцией рт(х), что для любого борелевского множества В = В" Р(ь ~ В) (... ( р (х„..., х„) дх,... дх„. в Дискретное г-мерное распределение задается с помощью копечяого или счетного набора вероятностей Р(З х(й)), х(/г)жВ', так что для любого борелевского множества В Р(реп В) ~' РД = х(/г)). южюмв Пример 3,2. Найти распределейие величины где случайная величина $~ та же, что в примере 3.1.

Решеитте. Фуякция распределения т) при Ол ° к<1 определяется следующей цепочкой равенств: Р„(х) = Р(т)(х) = Р [~, 'х[ Р [ — )/х($,я )гх) — Р, ()'х) — Р, ( — )гх) — )гх. Очевидно, что Р„(х) 0 при х<0 и Р„(х)=1 при х>1. При 0<х<1 р () =Р (У )- —. 1 2 [/х р„(х)=0 при х<0 и при х- 1. Таким образом, величияа т1 абсолютно яепрерывка и ее плотность распределеиия определяется формулой р„(х)=1/(2/х) при хж(0, 1), р„(х)=0 при хФ(0, 1). А П р и м е р 3.3.

Случайная величина $ имеет плотность распределеиия рт(х)=в * (х>0), рт(х)=0 (х< < 0). Найти распределение случайной величины ц = = т)(з) = [с[в, где [$[ обозначает целую часть 3. Решение. Так как (т) =/сз) = (й<ф(й+1), то вероятность Р(11 = /сз) определяется равенствами Р(ц=й)-Р(й~~~й+ 1)- А+1 А+1 ) р (х)((х ~ е "((х=с "(1 — е 1), й О 1,2, ...

П р и м е р 3.4. Случайная величина $( принимает значения О и 1, а случайная величина 51 — значения -1, О н 1. Вероятностн Р($) -1, $1=/) задаются следующей таблицей: М 1/4 5Н6 1/16 Найти распределение случайной величины г) -$(61. Решеняе. Проиаведение $)61 равно нулю, если ра вен нулю хотя бы один из сомножителей: (к=о) =Ц)-О, Ь=-1) 0 0 (Ц) = 21 = О) 0 Ц) = О, 21 = 1) 0 ($) = 1, 51 - О). Отсюда 1 1 1 1 5 Р (ц - О) - - + - + -+ - =- 16 4 16 4 8' Оставшиеся два аначения (1, — 1) и (1, 1)' пары величин (51, 51) приводят к двум значениям тр -1 и 1.

Следо вательно, Р(11 = -1) = 1/16, Р(й = 1) = 5/16. Таким образом, величина и днскретна; ее распределение сосредоточено на аначениях — 1, О, 1, н вероятности этих значений равны соответственно 1/16, 5/8, 5/16. и Если з-мерный случайный вектор г) = у (5) есть функция от г-мерного случайного вектора 5, т. е, 11„ у1($1, ..., $,), й 1, ..., г, у( ) (у)( ), ..., у.( )), то Р(т) (в В) РЦ = у-((В) ), (3.1) ) где у ) (В) — прообраз борелевского множества В прн отобрая1евии у. В частности, если г=з 1, а функция у у(х) непрерывна и строго возрастает, то р„(у) = ° РА(у-1(у)).

Если, кроме того, у(х) двффереппируема и распределение 5 имеет плотиость р1(х), то распредоление ц имеет плотность рчЫ=р (у — Ы), 1 -1 Если г = з, отобраясение у у(х) взаимно однозначно и д(д,, "., с„) якобиан Ус(х) = не обращается в нуль, то д(х, ...,х) плотность р„(х) поясно вычислить по плотности р1(у) с помощью равенства 1 (ч(и) — н(а-(())гт(,— в)т- — но- (()))~.,(г)). (3.2) В общем случае, как правило, удобнее сначала вычислить функцию распределения 11 по формуле (3.1), а за" тем найти плотность распределення 11 дифференцированием.

Случайные величины 5(, ..., $, называются нсзаеисимыми, есле для любых борелевскнх множеств В), ..., В, имеет место равенство Р (5 , ..., 5 ) = П К В ). (3.3) 1-1 Следующие определения независимости равносильны определеппго (3.2): е оби1ем случае: для любых х),..., х, 1и В ° Р1. „, 1 (х, ..., х„) = Д РАА (хА); А 1 для абсолютных непрерывных распределений: для любых х (х), ..., х,)ыВ" (кроме, может быть, точек, образующих множество меры нуль) т Р1 1 (х„..., х,) П Р (хА); 11 для дискретных распределений: для всех х (х),..., х,)'иЛ" Р81 = х„..., ',„=х)-Ц Р(~ =х) А 1 55 Если случийные величины 51...

„$, независимы, то функции от них т)а=уа(51), А=1, ..., г, также будут независимыми случайными величинами. Пример 3.5. Случайные величины $1 и 51 независимы; их плотности распределения определяются фор. мулами 1 при х~10,1], ( — при хев [ОО2] р (х) ' р, (х) - ' 0 при хф[0 1], О пр, ~(0 2] ь Найти функцию распределения и плотность распределеО яия величины т] $1ет. Решение. Так как величины $1 и 51 независимы, то двумерная плотность распределения вектора (51, $1),' есть Рьл (и о) РО (и) РО (Р).

Найдем сначала функцию распределения т): Ра(х) =Р(т] ~х)=Р ДД1 (х) = ) ) Р (и) Р (г)Ии1]оа 1 1 х где В ((и, о): во =х1. Отсюда ре(х) — ) ~ди Й~ Г 2,[ Р„ где 1)„= Юх(]((и, и): 0(и(1„ 0» и(~2). Очевидно, что 1)'„ И при х(0 и д', ((и, и): 0<и(~1, 0» и(2) при х ~ 2; следовательно, Р(т]а х) = 0 (х а О), Р(т) ~ х) 1 (х ) 2). При 0 ( х < 2 (рис.' 5) 1 ЦЬ(.=2 -, *+ ~-*.3.- а х/1 Рх Таким образом, х х — х 1п —,. 2' х(0, 0 при — * (1 — (п —,) при 0 < х < 2, ре (х) х~~ 2.

прв Отсюда находим плотность распределения 0 при х ф (О, 2], рч(х)- — — 1п —, при х ев (О, 2]. Если 5 и т) — независимые случайные величины, то по плотностям р,(х), р„(х) можно вычислить влотность рт+а(х) их суммы с помощью формулы композиции (или свертки): Ю ОО рхвч(х) ~ рт (у) р„(х — у) т(у = [ р„(х — у) р„(у) т]у. (3.4) Полезйы также формулы композиции для фупкцвй' распределевия РЬ„.„(Х) — ) Рт(Х вЂ” У) Рч (У) т(У, (3.5) р;„.„(х) ~ рт(х — у) прч(у) '(последнвй интеграл з общем случае надо понимать как ивтеграл Лебега — Стилтьеса).

П р и м е р 3,0. Найти плотность распределения вели- . чины т) 51+ $1, где $1, 51 независимы и каждая из пих равномерно распределена на отрезке [О, 1]. Решение. По формуле (3.4) О 1 р„(х) ] рт (у) рт (х — у) иу= ) рь (х — у)т(у. Подывтегральная функция рт (х — у) полоятительна и равна 1, если 0 < х- у ~ 1. Отрезок интегрирования [О, 1] и отрезок [х — 1, х] авачений у, при которых рь (х — у)) >О, яе пересекаются, если хс 0 или х> 2.

В этих случаях р„(х) О. Если О~х(1, то [О, 1]0[х — 1, х] 1О, х] и х р„(х) — ) ду = х. а Если 1 а х ~ 2, то [О, 1] О [х — 1, х] [х — 1, 1] и 1 р„(х) ) ду 2 — х. М$ = ~ хр (х) Нх. (3.6) (3.11) Мц Мд(,) ( д(х) дР„(х) Таким образом, О, если х с. 0 или х) 2, р„(х) — х, если О (» х (~ 1, 2 — х, если 1(хл 2. Математическим огхиданием случайной величины $ называется число М$ ) $(ы)Р(Й ), если интеграл Лебега, стоящий в правой части этого равенства, существует (см.

[5), с. 60, или (2], гл. 4, т 1). Если $ имеет плотность, то М~ может быта вычислено по формуле Для случайной величины $ с дискретным распреде- лением Мз ~ хдР ($ хд), (3. 7) А если ряд (3.7)' сходится абсолютно В общем случае 6Ф М$= ) хдР4(х), (3.8) где интеграл понимается как интеграл Стилтьеса, Если т) =4'(9), то для вычисления Мт) =Му($) мож- но применять следующие формулы, аналогичные (3.6)— (3.8) (также с оговоркой об абсолютной сходимости); 0 Мт) Мя(з) ) я(х) р (х) Ых, ( Мт) ™з (ь) ~л", д(хь) Р(з = хь), (3.10) '(в формуле '(3.11) в общем случае интеграл понимается как интеграл Лебега — Стилтьеса). Формулы (3,9)— (3.11) обобщаются на случай, когда т~ 4'($ь ..., ь,), где я — функция, отображающая В' в й', В частности, 'формула (3.9) в этом случае превращается в Мд(з, ", ь.)- ) я(х„..., х,) р (х„..., х,) дх,...

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее