Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Р. Курант - Уравнения с частными производными

Р. Курант - Уравнения с частными производными, страница 147

DJVU-файл Р. Курант - Уравнения с частными производными, страница 147 Уравнения математической физики (УМФ) (2617): Книга - 4 семестрР. Курант - Уравнения с частными производными: Уравнения математической физики (УМФ) - DJVU, страница 147 (2617) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Р. Курант - Уравнения с частными производными", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 147 - страница

Таким образом, представляется, что наш реальный физическиИ мир, в котором основой связи являются звуковые и электромзгнитные сигналы, выделяется среди других, с математической точки зрения возможных моделей особой простотой и гармонией, Однако в любой гиперболической системе, по крайней мере приближенно, сохраняется резкость сигналов в смысле обобщенного принципа Гюйгенса (см.

8 !5, п. 3). Поэтому этот обобщенный принцип важен для понимания передачи сигналов с математической точки зрения. Это становится особенно ясным, если учесть, что справедливость принципа Гюйгенса в лучшем случае является весьма неустойчивым свойством дифференциального оператора; это свойство нарушается сколь угодно малым изменением коэффициентов оператора. Поэтому нам кажется, что обобщенный принцип Гюйгепса надо рассматривать как правильное отражение физической реальности. ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ ~'7 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ИЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ф 1. Основные определения и понягпия 1. Введение.

В этом приложении мы рассмотрим понятие „обобщенной функции" ') или распределения. Применение этих обобщенных ') Противоречащий пример для пространства семи измерений был недавно построен Штельмахером 11]. ') Адамар отождествлял справедливость принципа Гюйгекса с равенством нулю логарифмического члена в его выражении для фундаментального решения с нечетным числом л пространственных переменных. В нашеИ интерпретации принцип Гюйгенса означает, что ряд (44) з ья 15 не содеригит членов с функцией Хевисайда н ее интегралами.

') Термин,распределения" указывает, чго обобщенные функции, такие, как дельта-функция Дирака н ее производные, могут быль истолкованы как 7чй <. Основные определенна п лонлгнл функций в предыдущих главах будет обосновано здесь с более общей точки зрения. Необходимо понимзть. что слово „функция" может означать вектор-функцию с й компонентами. Рассматриваемые ф> нкции могут принимать комплексные значения, но независимая переменная х всегда есть действительный и-мерный вектор. Многое из того, что составляет содержание этой теории, уже давно играло взжную роль з физической литературе и некоторых других работах ').

Но систематическое изучение этого вопроса началось только с момента выхода обширной книги Лорана Шварца [1]; этой теории посвящено множество работ '); некоторые из них явлено идут в направлении изучения тонких вопросов з). В этом приложении внимание сосредоточено на элементарных основах теории в той мере, в какой это необходимо для проведенного здесь исследования линейных дифференциальных уравнений.

Мы опускаем подробное рассмотрение обычно излагаемых приложений к теории преобразования Фурье (см., однако, 9 4, п. 4). 2. Идеальные элементы. „Распределения" удобнее всего вводить как идеальные элементы в функционалы<ых пространствах. Одним из основных математических построений является расширение данного множества или „пространства" о некоторых математических объектов с помощью дополнительных новых „идеальных элементов", которые не являются элементами исходного множества 3 и определяются не дескриптпвно, а с помощью некоторых соотношений, таких, что в расширенном множестве 5 сохраняются прен<ние правила для основных операций.

Целью этого расширения является снятие ограничений, налагаемых на элементы исходного множества 5. Так, например, в проектнвной геометрии идеальные элементы, а именно „бесконечно удаленные точки", определяются пучками параллельных прямых. В других случаях идеа.чьные элементы вводятся с помощью пополнения исходного множества Б по некоторой норме; распределения масс, днполей и т. д., сосредоточенных в точках, на крнвых нли на поверхностях. Однако термин .обобщенные функции' кажется более соответствующим той роли, которую играет э<о понятие в связи с дифференциальными уравнениями и с математическим анализом вообще. Лейс<вптельно, роль обобщенных функций аналогична роли обычных функций, почти так же, как роль действительных чисел аналогична роли рациональных чисел.

') Например, стоят обратить внимание на статью Соболева [1], которая намного опередила теперешний поток литературы. ') См., например, < ельфанд н Шилов [1]. Следует упомянуть еще вышедшую недавно небольшую книгу Лзйтхнлла, где особое внимание обращается на теорию преобразования Фурье. Книга Лайтхнлла отчасти продолжает раб<ну Темпла, См. Лайтхнлл [2] н Теипл [Ц, а также литературу, цитируемую в этих работах. ') См., напрпл<ер, серию работ Эренпрейса [1]. Приложение к гл.

И 760 при этом используется „сильный" предельный переход. Например, действительные числа определяются как') сходящиеся последовательности рациональных чисел г„, такие, что норма [г„— г [ стремится к нулю, если л и ш стремятся к бесконечности. Функции, интегрируемые по Лебегу, или функции, интегрируемые с квадратом, тзкже можно определить с помощью последовательностей непрерывных функций у„[к), для которых в соответствующих областях прострзпства к интегралы ( [у„—,ум[Их или ~ [у„— ум['г[х стремятся к нулю, Функции в гильбертовых пространствах — это идез,аьные элементы, заданные как последовательности достаточно гладких функций у,, для которых основная положительно определенная квадратичная форма О[ге — у' ) стремится к нулю.

В этих примерах расширенное пространство 5 — полное, т. е. его нельзя расширить, пополняя по той же самой норме. В противоположность этому данное ншке определение обобщенных функций не будет введено путем пополнения по некоторой норме т). Обобщенные функции вводится для того, чтобы рзсширить область применения элементарного анализа за счет снятия весьма стеснительных условий дифференцируемости. Выделение операций над обобщенными функциями как особого рода объектами вместо использования приемов, свойственных тем или иным разделам анализа [это впервые было проделано Лораном Нлварцем [1]), оказалось весьма плодотворной идеей; более того, рассматривая эти обьекты как „функции", можно существенно упростить некоторые рассужденияз), которые в противном случае были бы очень сложными. Для целей этой книги достаточно ввести обобщенные функции [как в гл.

Н1, 5 4), применяя линейные дифференциальные операторы к непрерывным функциям и задавая некоторые правила действий над ними. Однако полезно привести два других определения и доказать ') Часто желание дать дескрнптивное определение идеальных элементов приводило к таким логическим вывертам, как утверждение; „Действительное число есть дедекиндово сечение в множестве рациональных чисел". По-ви. двмому, мало что мо нно выиграть, пытаясь заменить определение идеальныя объектов с помощью соотношений леснриптивиыми определениями. ') Это,слабое определение". Надо, однако, заметить, что для обобщенных функций можно дать также „сильное" определение с помощью сходи- мости по некоторой норме [см, замечание ниже, в ф 4, и. 4). Связь между слабым и сильным расширениями и их эквивалентность была указана Фрндрихсом [4]. ') См., например, Гельфанд и Шилов [1].

Получаемые таким путем фор. мальные упрощения не должны создавать иллюзию, что тем самым устраняется самое существо свойственных этому вопросу трудностей; трудностй эти только изолируются и выясняются. Часто подлинная трудность переносится на последний этап задачи, когда надо понять, в каком смысле результат, полученный в терминах обобщенных функций, можно выразить с помощью обычных функций. З И Основные определения и понятая 761 эквивалентность всех трех определений.

Прежде чем сделать это (в 3 2, п. 3), мы напомним и дополним некоторые обозначения из гл. Н1. 3. Обозначения и определения. Пусть даны два вектора у, з; мы будем считать, что у < з, если одна нз компонент вектора у меньше, а остальные не больше, чем соответствующие компоненты вектора з, Как и в гл.

Н1, э 3, через г мы будем обозначать вектор с а целыми неотрицате чьными компонентами гп ..., г„, а через !г!— сумму г, + ... + г„; иногда мы будем писать ( — 1)' вместо ( — 1)"!. Иногда мы будем через г + 1 обозначать вектор с компонентами г,+1, и т. д. Кроме того, г-ьсо означает, что все компоненты вектора г стремятся к бесконечности.

Как и в э 3, мы положим г1= г,! га!... г,!. Для любого вектора 1 в п-мерном пространстве 1' определяется как произведение 1,' 1зо... ";„. Через 9", ГУ',,7* мы будем обозначать прямоугольные') области в пространстве х, например область — а ( х, < А или все пространство. Обычно через г, гт ' и т. д, мы будем обозначать соответствующие замкнутые области. Скалярное произведение (К, И) двух функций К и И, как обычно, определяется как интеграл от функции аИ по основной области Д, которая может совпадать со всем пространством. Череа й"=В,'~ ... В„'л мы обозначим оператор дифференцирования, причем О, обозначает д/дх,; через (л, мы обозначаем соответствующий оператор лпфференцирования, если хотим подчеркнуть, что независимым переменным является вектор я. Иногда полезно обозначать операторы интегрирования символами 0~, В ' и т.

дл при этом не всегда будут указываться нижние пределы соответствующих, интегралов. Через С' (или С ) мы будем обозначать пространство функций ф, для которых производные 0'ф (или Оеф при всех р) непрерывны, или по крайней мере кусочно-непрерывны. Наконец, мы напомним определение максимум-нормы ((Т!), соответственно г-максимум-нормы ),'р!1, для функции о в области гг'! она равна верхней грани в области су модуля (Т), соответственно модулей всех производных ~В о~ при г' ~ г. 4. Повторное интегрирование.

Пусть я — точкз-параметр в прямоугольнике у, скажем 0 ( х, ( 1; в области х и. л пространствах, ') То, что область й прямоугольная, удобно, но несущественно. Приложение и гл И которую мы обозначим Е, положим еу, (х; е) = а (х; л) = — —, (е — х); 1 вне этой области положим и,(х; х) = О. Тогда дчя любой непрерывной функции й(х), которая обращается в нуль на Е прп больших значениях [х[, мы положим 0(е)= — ~ ... ~ е),(х; е) й(х)йх; (2) согласно элементарным правилам анализа, мы имеем Пе"л а(в) =- уг(з), 6. Линейные функционалы и операторы.

Билинейная форма. Напомним общее понятие линейного функционала Л [ее], который определен для функций ее(х), заданных в основной области ег и, кроме того, принадлежащих некоторому линейному „пространству" >ь> основных функций ее; например, а> может быть множеством функций, каждая нз которых непрерывна в некоторой подобласти П' области ,~ и равна нулю вне йу '. Основное свойство линейного функционала выражается ~ождеством Л [е>р>+ етое] = с,Л [ее>] + +е,Л [та] для любых двух основных функций и,, р п произвольных постоянных с, и е,.

Отаода в предположении непрерывности функционала (см. п. 6) следует тождество Л [ф (х)[ = ~ Л [у (х; ()] е(;-, ф(.)=Х.(х ')"' (4) если (4') и если основная функция ~е(х;:,) непрерывно зависит от параметра ч в пространстве "„в котором ведется интегрирование. Если функционал Л [:у(х); у] зависит не только от основной функции 1е(х), но и от параметра у, то Л представляет собой линейный операиеор, илн линейное г>реобразование, Л[у(х); у]=м(у) функции ч> (х) в и (у) (иногда это кратко обозначаетсч как Л [е] = е>).

Обычно мы рассматриваем случаи, когда переменная у изменяется в пределах той же об>ласти,ф, что и переменная х. Если можно образовать скалярное произведение функции ш(у)= = Л[1>] и основной функции ф(у) над областью еу, то это произведение (о>, 'т) — Ь [>'»] = (Л [ч" [, ч>) ~ Л [т (х) у] ф (у) Иу я 763 б д бсяовиьгв ояределеяяя и понятия называется билинейной формой, или билинейным функционалом, связанным с оператором Л.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4990
Авторов
на СтудИзбе
468
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее