Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 7

9). Последнее выражение для у представляет собой общий интеграл уравнения у(Ю = г"(х). еб. Диференниальное уравнение упругой лилии. К числу урзннений рассмотренного, вида относится известное в сопротивлении мзтериалов приближенное уравнение упругой линии (эластической кривой). Если брус изгибается внешними силами и пы обозначим через Е— модуль Юнга материала, из которого он сделан, через г' — момент инерции поперечного сечения бруса относительно его нейтральной оси, через р — радиускривизныизогнутойосибруса (упругойлинии) в.точке, через которую проходит взятое сечение, и через М вЂ” изгибающий момент внешних снл, расположенных справа (или зелена) от.взятого сечения, то, как известно, — = М.

Е1 Р (1 + угБ й Принимая во внимание, что р = „ и полагая М у(х), где буквой х обозначено расстояние сечения от начала координат, мы получаем диференциальное уравнение упругой линии Е/уе =Дх). Бще Яков Бернулли занимался это11 кривой и ему она обязана своим названием. В тех случаях, когда прогиб бруса незначителен, тангенс угла наклона касательной к упругой линии с осью х-ов (т. е.

у') весьма мал и его квадратом по сравнению с единицей можно пренебречь; мы можем написать приближенное, но вполне пригодное лля практических целей, уравнение 3 ЕУуа =у (х), представляющее частный случай рассмотренного в начале х — — ~-1 параграфа вида уравнений. 1 Решим следующую задачу. Брус длиной 1, одним концом заделанный в стену, изгибается: силой Р, приложенной к друФиг. 10. гому концу А (фиг. 10), и равномерно распределенной нагрузкой интенсивности а нг/л. Найдем уравнение его изогнутой оси и прогиб. Изгибающий момент в некотором сечении б: от силы Р равен Рх, от сплошной нагрузки равен — гух.

Общий изгибающий момент 1 2 М Р. +,хв 1 2 Вследствие втога дифереициальиое уравнение упругой линии будет Е!уи = — Рх — — г1хг, 33 где момент взят со анзком минус потому, что как сила Р, так и нагрузка пх делает в сечении Я изгиб, обращенный выпукаостью вверх. Двукратное интегрирование дает Рх дх Е1у' = — — — — — + С 2 6 Произвольные постоянные С и С, определятся из условия, что в заделанном копие, т.

е. при х= 1, и ордината у и производная у' равны нулю (так как в точке В касательная к упругой линии совпадает с осью ОЛ); это дает дза уравнения: рр чр рр О= — —,— — '+С и О= — — — — — '+С1+С 2 6 6 24 и нз которых РР дй ,,ге С= —,+ — и С= —— 2 + 6 1 3 3 Уравнение изогнутой оси теперь будет рхз я,е, ртг ' яя, рр — ~х — — — —, б 24 ~2 ' 61 3 б м Если в нем положим х=О, то получим прогиб в точке А: е— 3 ф 16.

Гиперболические функции. В приложениях показательные функции часто встречаются в комбинациях ее+ е — к ек — е — е 2 2 Вследствие этого эти комбинации получили особые названия. Первую называют гиперболическим косинусомчобозначая его через спх(созйурх), а вторую — гиперболическим синусом, обозначая его через зй х(з!ялур х). Таким образом имеем ех+ е-х ех е-е ей х= - — — и зпх= 2 Эти обозначения и названия введены по аналогии с известныии формулами Эйлера для тригонометрических функциИ ех1+ е — х1 ее~ — е — кг соз х= — — и з1п х= 2 Исходя из равенств, определяющих зп х и сп х, можно развить теорию гиперболических функций.

Формулы ее весьма схожи с формулами обыкновенной тригонометрии. Нетрудно проверить, что сЬ ( — х) = сп х, ап ( — х) = — зп х; сп х1 = соз х, зп х1 = 1 з1п х; спз х — з'пз х = 1. Рассматривают также гиперболические тангенс и котангенс, определяя ил с помощью равенств зих сех бз х = — и с1п х = — „. сп к ав х ' Графики функций з!г х, сгг х, !1г х и с!!г х представлены на фиг. 11, Теорема сложения для гиперболических функций имеет вид с!т (х+у) = с!г х . с!г у+ згг х в!г у, з!г(х+у)=ай х с!гу+зпу.

с!г х. Фнг. 1!. ,Нетрудно видеть, что в!г 2х=2з!г х си х, с!г 2х = г!га х+ з!гв х; гГ Ф гГ и' 1 — зй х=с!г х, — сггх=з!г х, — !!г х=— агх . ' гвх ' 4х с!га х гг 1 — с1!г х = — —. а!ге х ' В приложениях приходится рассматривать и обратные гиперболические функции. Если положим сйх=и и в!гх=о, то х=и,Агс!ги= =Ага!го '). Из этих двух функций первая двузначна, а вторая одно- ва+ е-е ее — е-е значна.

Решая уравнения — =и и — =о относительно е*, находим ее=и - рг ив — 1 н ее=о -1/оп+1, откуда х = !и (и -+ !/ йв †.1) и х = !и (о + "р' ов + 1). Следовательно, Агсйи=!п(и-+- р'й1) н Агв!то=!п(о+ !го'+1) ') Зван Аг происходит от слова „агеа" — площадь. В первой из этих двух формул допустимы перед корнем оба знака. Во второй †толь один, ибо при отрицательном знаке логарифм перестает быть вещественным.

1б. Уравнение цепной линии, Вели из четырех величин х у, у' и у" в состав диференциальиого уравнении второго порядка входят только две, то оно может иметь один из следующих видов: г(х, у")=О, у'(у, у")=О и у(у', у")=О. Мы сейчас рассмотрим диференциальное уравнение цепной линии, представляющее частиый случай последнего вида. Задачу о цепной линии можно формулировать так. Тяжелая гибкая нить постоииного поперечного сечения при- г креплеиа в точках А и В.

Опре- Т делить кривую провисаиия нити 9 И (фиг. 12). Обозначим: натяжение 4 нити в нижней ее точке С бук- 1 8 2 вой Н, а в какой-либо точке М вЂ букв Т; вес единицы длины нити — через л. Ось ОУ направим вверх пц вертикали, про- 12 Е~ ходящей через О1 начало О выберем иа расстоянии — =а ниже Н Фиг. 12.

е точки С. При таком выборе осей координат уравнения равновесия части СМ=г нити будут иметь вид — Н+Тсозе О, Тз1пе=па, где а = Т, х. Из этих уравнений имеем 2па=у' = ~ . Дифереицируя это равен- Н ство, получим ч г'1+У'. У = — 1 Н здесь принято во внимание, что з ~аи у'1+угЯ Переписав полученное уравнение в виде . — = — Ак =— е» )/ 1+у'~ Н а н затем интегрируя его, найдем 1п(у'+)~ Г+у'~)= — +1п С, или Но у'=О при х=О. Это значит, что С= — 1, т. е. у'+)/1+уз= е и е е =е" . Далее находим 2у' = е" — е ~, а отсюла у= —, (е" + +е е)+См Но так как у=а прв х=О, то С,=О и Ж а Х у= — (ее+е е) =асЬ вЂ”. 2 а' (а) ? чх х? у'= — и у= — -) а, Н а т. е. получаем параболу. Еще Галилей принимал кривую провисания нити за параболу. И только Гюйгенсу улзлось распознать ее истинную форму. Н В состав уравнения (а) входит коэфициент а = —.

Коэфициент е эгот неизвестен ввиду того, что величина Н неизвестна. рассмотрим способ его определения лля случая, когла известны: длина нити з, +ез = 2е, длина пролета Е? + 1., = 2А, разность ординат й? — й, = = 2??. ??е Н Из соотношения 1яа= — имеем е= — 1па, Н е а Х вЂ” (е е — е ~) или е = а зЬ вЂ”. Ввиду этого 2 и й? ?'.? е =а зЬ вЂ” и е =азЬ вЂ”, а и 2е = а(зЬ вЂ” '+ зЬ вЂ” '). а ах (Ь) Из уравнения цепной линии (а) имеем: й?=асЬ вЂ”, й =асЬ— ?'.? ?'.? а а 2й = а (сЬ вЂ” ' — сЬ вЂ” ? ) .

а а ?' (с) Возводя равенства (Ь) и (с) в квадрат и затем вычитая, находим 2 (ев — /Р) = аа |сЬ вЂ” ° сЬ = -+ зЬ вЂ” ° зЬ вЂ” — 1~ . У.„Ьг й? Ц а а а а Если примем во внимание, что сЬи ° сЬо+зЬи ° зЬ.о=сЬ(и+о) и сЬ2и=1+2зЬзи, то будем иметь 2(ез — йэ) = аз(сЬ вЂ” — 1) = 2а' зйз =, а ) а ' 42 Это и есть уравнение кривой провисания нити (цепиой линии). Если прогиб нити незначителен, то можно принять приближенно, что длина СЛ4= г =х. В таком случае откуда й а Это трансцендентное относительно а уравнение может быть решено при помощи таблиц гиперболических функций.

Его можно также решить графически, найдя точку пересечения, отличную от начала координат, кривой у=впх и прямой р' аг — Лг у= — к. й Абсцисса точки пересечения даст величину —. ь' а Если, например, 2о = 120 м, 26 = 80 м, 2Л =10 м, то — = 1,49 Рвов х Дг ув3600 — 25 й 40 а й — ° з11 — = 1,49, или — = 1,49, вЬх й а ' ' х й где х = —. а ' Пользуясь таблнвамн гиперболических фувкций, подбираем такой аргумент х и такой впх, отношение которых было бы равно 1,49. Находим, что если онх й х = 1,61, то вй х = 2,401 и — = 1,49. Таким образом х = — = 1,61, х а а = — = 24,2. Если примем д = 10 кг, то Н = аа = 242 кг, й 1,6! гу.

уравнение висящей гибкой нити равного сопротивления. Отыскивая уравнение цепной линии, мы предполагали, что поперечные размеры нити (провода) повсюду одни и те же. Допустим теперь, что площадь поперечного сечения нити в разных ее местах изменяется пропорционально натяжению. В этом случае, очевидно, напряжения в различных сечениях нити по величине будут одинаковы и она называется нитью равного сопротивления.

Обозначим буквой р плотность, а через Р— переменную плошадь поперечного сечения нити. Тогда уравнения равновесия представятся в виде — Н+Тсова=О и Тв1па — ~ раей=О, о где Н, Т и и имеют те же значения, что и рзньше. Теперь будем иметь в Ну'= ~ррав, причем у'=1па. о И, далее, Нувах = г Бй. Одинаковое для всех сечений найряжение обозначим буквой Мы получим Н= Ге!с и Т= Е7, где а= —. Таким образом задача опять приводится к уравнению Л Р вида У(у, у')=О.