Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения

Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 7

DJVU-файл Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 7 Математический анализ (2552): Книга - 3 семестрЮ.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения: Математический анализ - DJVU, страница 7 (2552) - СтудИзба2019-05-08СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 7 - страница

9). Последнее выражение для у представляет собой общий интеграл уравнения у(Ю = г"(х). еб. Диференниальное уравнение упругой лилии. К числу урзннений рассмотренного, вида относится известное в сопротивлении мзтериалов приближенное уравнение упругой линии (эластической кривой). Если брус изгибается внешними силами и пы обозначим через Е— модуль Юнга материала, из которого он сделан, через г' — момент инерции поперечного сечения бруса относительно его нейтральной оси, через р — радиускривизныизогнутойосибруса (упругойлинии) в.точке, через которую проходит взятое сечение, и через М вЂ” изгибающий момент внешних снл, расположенных справа (или зелена) от.взятого сечения, то, как известно, — = М.

Е1 Р (1 + угБ й Принимая во внимание, что р = „ и полагая М у(х), где буквой х обозначено расстояние сечения от начала координат, мы получаем диференциальное уравнение упругой линии Е/уе =Дх). Бще Яков Бернулли занимался это11 кривой и ему она обязана своим названием. В тех случаях, когда прогиб бруса незначителен, тангенс угла наклона касательной к упругой линии с осью х-ов (т. е.

у') весьма мал и его квадратом по сравнению с единицей можно пренебречь; мы можем написать приближенное, но вполне пригодное лля практических целей, уравнение 3 ЕУуа =у (х), представляющее частный случай рассмотренного в начале х — — ~-1 параграфа вида уравнений. 1 Решим следующую задачу. Брус длиной 1, одним концом заделанный в стену, изгибается: силой Р, приложенной к друФиг. 10. гому концу А (фиг. 10), и равномерно распределенной нагрузкой интенсивности а нг/л. Найдем уравнение его изогнутой оси и прогиб. Изгибающий момент в некотором сечении б: от силы Р равен Рх, от сплошной нагрузки равен — гух.

Общий изгибающий момент 1 2 М Р. +,хв 1 2 Вследствие втога дифереициальиое уравнение упругой линии будет Е!уи = — Рх — — г1хг, 33 где момент взят со анзком минус потому, что как сила Р, так и нагрузка пх делает в сечении Я изгиб, обращенный выпукаостью вверх. Двукратное интегрирование дает Рх дх Е1у' = — — — — — + С 2 6 Произвольные постоянные С и С, определятся из условия, что в заделанном копие, т.

е. при х= 1, и ордината у и производная у' равны нулю (так как в точке В касательная к упругой линии совпадает с осью ОЛ); это дает дза уравнения: рр чр рр О= — —,— — '+С и О= — — — — — '+С1+С 2 6 6 24 и нз которых РР дй ,,ге С= —,+ — и С= —— 2 + 6 1 3 3 Уравнение изогнутой оси теперь будет рхз я,е, ртг ' яя, рр — ~х — — — —, б 24 ~2 ' 61 3 б м Если в нем положим х=О, то получим прогиб в точке А: е— 3 ф 16.

Гиперболические функции. В приложениях показательные функции часто встречаются в комбинациях ее+ е — к ек — е — е 2 2 Вследствие этого эти комбинации получили особые названия. Первую называют гиперболическим косинусомчобозначая его через спх(созйурх), а вторую — гиперболическим синусом, обозначая его через зй х(з!ялур х). Таким образом имеем ех+ е-х ех е-е ей х= - — — и зпх= 2 Эти обозначения и названия введены по аналогии с известныии формулами Эйлера для тригонометрических функциИ ех1+ е — х1 ее~ — е — кг соз х= — — и з1п х= 2 Исходя из равенств, определяющих зп х и сп х, можно развить теорию гиперболических функций.

Формулы ее весьма схожи с формулами обыкновенной тригонометрии. Нетрудно проверить, что сЬ ( — х) = сп х, ап ( — х) = — зп х; сп х1 = соз х, зп х1 = 1 з1п х; спз х — з'пз х = 1. Рассматривают также гиперболические тангенс и котангенс, определяя ил с помощью равенств зих сех бз х = — и с1п х = — „. сп к ав х ' Графики функций з!г х, сгг х, !1г х и с!!г х представлены на фиг. 11, Теорема сложения для гиперболических функций имеет вид с!т (х+у) = с!г х . с!г у+ згг х в!г у, з!г(х+у)=ай х с!гу+зпу.

с!г х. Фнг. 1!. ,Нетрудно видеть, что в!г 2х=2з!г х си х, с!г 2х = г!га х+ з!гв х; гГ Ф гГ и' 1 — зй х=с!г х, — сггх=з!г х, — !!г х=— агх . ' гвх ' 4х с!га х гг 1 — с1!г х = — —. а!ге х ' В приложениях приходится рассматривать и обратные гиперболические функции. Если положим сйх=и и в!гх=о, то х=и,Агс!ги= =Ага!го '). Из этих двух функций первая двузначна, а вторая одно- ва+ е-е ее — е-е значна.

Решая уравнения — =и и — =о относительно е*, находим ее=и - рг ив — 1 н ее=о -1/оп+1, откуда х = !и (и -+ !/ йв †.1) и х = !и (о + "р' ов + 1). Следовательно, Агсйи=!п(и-+- р'й1) н Агв!то=!п(о+ !го'+1) ') Зван Аг происходит от слова „агеа" — площадь. В первой из этих двух формул допустимы перед корнем оба знака. Во второй †толь один, ибо при отрицательном знаке логарифм перестает быть вещественным.

1б. Уравнение цепной линии, Вели из четырех величин х у, у' и у" в состав диференциальиого уравнении второго порядка входят только две, то оно может иметь один из следующих видов: г(х, у")=О, у'(у, у")=О и у(у', у")=О. Мы сейчас рассмотрим диференциальное уравнение цепной линии, представляющее частиый случай последнего вида. Задачу о цепной линии можно формулировать так. Тяжелая гибкая нить постоииного поперечного сечения при- г креплеиа в точках А и В.

Опре- Т делить кривую провисаиия нити 9 И (фиг. 12). Обозначим: натяжение 4 нити в нижней ее точке С бук- 1 8 2 вой Н, а в какой-либо точке М вЂ букв Т; вес единицы длины нити — через л. Ось ОУ направим вверх пц вертикали, про- 12 Е~ ходящей через О1 начало О выберем иа расстоянии — =а ниже Н Фиг. 12.

е точки С. При таком выборе осей координат уравнения равновесия части СМ=г нити будут иметь вид — Н+Тсозе О, Тз1пе=па, где а = Т, х. Из этих уравнений имеем 2па=у' = ~ . Дифереицируя это равен- Н ство, получим ч г'1+У'. У = — 1 Н здесь принято во внимание, что з ~аи у'1+угЯ Переписав полученное уравнение в виде . — = — Ак =— е» )/ 1+у'~ Н а н затем интегрируя его, найдем 1п(у'+)~ Г+у'~)= — +1п С, или Но у'=О при х=О. Это значит, что С= — 1, т. е. у'+)/1+уз= е и е е =е" . Далее находим 2у' = е" — е ~, а отсюла у= —, (е" + +е е)+См Но так как у=а прв х=О, то С,=О и Ж а Х у= — (ее+е е) =асЬ вЂ”. 2 а' (а) ? чх х? у'= — и у= — -) а, Н а т. е. получаем параболу. Еще Галилей принимал кривую провисания нити за параболу. И только Гюйгенсу улзлось распознать ее истинную форму. Н В состав уравнения (а) входит коэфициент а = —.

Коэфициент е эгот неизвестен ввиду того, что величина Н неизвестна. рассмотрим способ его определения лля случая, когла известны: длина нити з, +ез = 2е, длина пролета Е? + 1., = 2А, разность ординат й? — й, = = 2??. ??е Н Из соотношения 1яа= — имеем е= — 1па, Н е а Х вЂ” (е е — е ~) или е = а зЬ вЂ”. Ввиду этого 2 и й? ?'.? е =а зЬ вЂ” и е =азЬ вЂ”, а и 2е = а(зЬ вЂ” '+ зЬ вЂ” '). а ах (Ь) Из уравнения цепной линии (а) имеем: й?=асЬ вЂ”, й =асЬ— ?'.? ?'.? а а 2й = а (сЬ вЂ” ' — сЬ вЂ” ? ) .

а а ?' (с) Возводя равенства (Ь) и (с) в квадрат и затем вычитая, находим 2 (ев — /Р) = аа |сЬ вЂ” ° сЬ = -+ зЬ вЂ” ° зЬ вЂ” — 1~ . У.„Ьг й? Ц а а а а Если примем во внимание, что сЬи ° сЬо+зЬи ° зЬ.о=сЬ(и+о) и сЬ2и=1+2зЬзи, то будем иметь 2(ез — йэ) = аз(сЬ вЂ” — 1) = 2а' зйз =, а ) а ' 42 Это и есть уравнение кривой провисания нити (цепиой линии). Если прогиб нити незначителен, то можно принять приближенно, что длина СЛ4= г =х. В таком случае откуда й а Это трансцендентное относительно а уравнение может быть решено при помощи таблиц гиперболических функций.

Его можно также решить графически, найдя точку пересечения, отличную от начала координат, кривой у=впх и прямой р' аг — Лг у= — к. й Абсцисса точки пересечения даст величину —. ь' а Если, например, 2о = 120 м, 26 = 80 м, 2Л =10 м, то — = 1,49 Рвов х Дг ув3600 — 25 й 40 а й — ° з11 — = 1,49, или — = 1,49, вЬх й а ' ' х й где х = —. а ' Пользуясь таблнвамн гиперболических фувкций, подбираем такой аргумент х и такой впх, отношение которых было бы равно 1,49. Находим, что если онх й х = 1,61, то вй х = 2,401 и — = 1,49. Таким образом х = — = 1,61, х а а = — = 24,2. Если примем д = 10 кг, то Н = аа = 242 кг, й 1,6! гу.

уравнение висящей гибкой нити равного сопротивления. Отыскивая уравнение цепной линии, мы предполагали, что поперечные размеры нити (провода) повсюду одни и те же. Допустим теперь, что площадь поперечного сечения нити в разных ее местах изменяется пропорционально натяжению. В этом случае, очевидно, напряжения в различных сечениях нити по величине будут одинаковы и она называется нитью равного сопротивления.

Обозначим буквой р плотность, а через Р— переменную плошадь поперечного сечения нити. Тогда уравнения равновесия представятся в виде — Н+Тсова=О и Тв1па — ~ раей=О, о где Н, Т и и имеют те же значения, что и рзньше. Теперь будем иметь в Ну'= ~ррав, причем у'=1па. о И, далее, Нувах = г Бй. Одинаковое для всех сечений найряжение обозначим буквой Мы получим Н= Ге!с и Т= Е7, где а= —. Таким образом задача опять приводится к уравнению Л Р вида У(у, у')=О.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее