Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 8

ау' ах Переписав (28) в форме — = — найдем !+у'е а ' агс!ну' = — + С. а Но в силу второго иа граничных условий С=О. Значит и' = !н —. а Отсюда х у = — а 1п соз— ибо новая произвольная постоянная тоже равна нулю на основании первого граничного условия. Уравнение цепной линии равного сопротивления можно записать в виде й е' соз — = 1. (29) Оно найдено Кориолисом и опубликовано им в первом томе журнала Лиувнлля („)опгпа! де юа!!глупа!!ппез ршез е! арр!!йпйез"). Кривая, изображающая уравнение (29), состоит из ветвей, расположенных в интер- Фиг. 13. бесчисленного множества равных валах (4л — 1) —, (4и+.1) — ~, где г" обозначает площадь того поперечного сечения, центр тяжести которого по сравнению с центрами тяжести прочих сечений занимает самое низкое положение.

В втой точке поместим начало координат. Теперь мы сможем написать граничные условия: при х = О имеем у = О и !и а = у' = О. Далее получим Т= Л~= — = — . следовательно Н Ига соз а дх 1 Но так как 4г=~/1+у'аах, то у = — '„(1+у ), '(28) эти ветви отделены друг от друга интервалами где л — целое число. яа яат Одна из ветвей, заключенная в интервале ( — — †) п елена на фиг. 13. Прямые яа еа х= — — и х=— 2 2 служат для нее асимптотами. 2 17.

Лииейиые дифереициальиые уравнения высших порядков. Уравнение вида у'"'+Р.' "+Р '"-"+" + . у'+Р =а, (ЗО) коэфи1 е Р Р ° ° °, Р „Р и ~ которого су фуикции,>л от аргумента х„называется неоднородным линейным диференциал ьным уравнением л-го порядка.

. Уравиеиие л<~>+Р>з1э >>+Раз<в э>+ .. ° + Р, . а~ +Риз=О (31) коэфициенты Р, которого те же, что и (ЗО), а Я=О, называется о д и о р од н ы м у р а в и е н и е и и-го порядка, с о о т в е т с т в у ю щ и и уравнению (ЗО). Уравнения (ЗО) и (31) представляют частные случаи уравнения вида Р (х, у, у', у",..., уоо) = О, (32) когда функция у и ее производные настолько малы, что высшими их степеиями по сравнению с первой можно пренебречь. В этом случае уравнение (32) переходит в (30) или (31).

Интегрирование уравнений (30) и (31) основано на нескольких положениях, которые мы приводим. 1. Если известно какое-либо частное решение уе уравнения (30), то нахождение его общего интеграла сводится к нахождению общего интеграла уравнения (31). Действительно, полагая в (30) у=э+уз, где я есть новая неизвестная функция, находим Но так как по условию у~ш+Р,у," >+... +Р„уз=<~, то имеем Ф">+Рф"-'>+...

+Р,р=О. Таким образом нахождение функции у свелось к нахождению функции г из уравнения (31), 2. Если з„зз,..., га суть частные решении уравнен и я (31), т о и а= С,х,+Сэва+ ° .. +С,з», (33) где С„Си..., Сь — произвольные постоянные, будет его решением. По условию имеем тожтества: ',Я'+ Р! '„" "+... +»„, = О, ' Заменим в уравнении (31) г его выражением 133).

Получим +... + Рхг~) =О тождественно. А зто и значит, что (33) есть решение (31). 3. Функции г„г,..., г назовем линейно-независимыми в том случае, когда между ними не существует линейной зависимости вида а,г, +ляг,+... +ляг,— — О, где ам ая,..., аь суть какие либо постоянные козфициенты, йе равные одновременно нулю. Если известно и линейно-независимых решений !! 2~' ' '! э уравнения 13 1), т о е г о о б щ и й интеграл есть г = С «, + С га+ ...

+ Со«э, где С„Са,..., ф— произвольные постоянные. Рассматриваемое выражение г, будучи согласно предыдущему решением уравнения (31), является в то же время его общим интегралом, так как содержит и произвольных постоянных '). 5 18. Однородные линейные дифереициальные уравнения с постояннымн козфицнентами. Рассмотрим уравнение «ой+А,г1"-О+А.г("-э)+... +А„,г'+А„«=О (35) с постоянными козфициентами, и будем искать его частные решения в виде г — стх ! где г — не зависящий от х параметр.

Образуя производные г'=ге'и, г"= гте', ..., «ОО =г е™х и подставляя их значения и значение г в уравнение (35), мы после сокращенкя на егх получим алгебраическое уравнение г"'+А!с"-з+Адг -а+... +А„тг+А„=О, (36) называемое характеристическим. Могут быть три случая. !) Строгое доказательство этого предложения см., например, ! у р с а, Курс математического анализа, т. Рь ч.

11. 1. Корни характеристического уравнения веществен йыы и различны. Если эти корни суть числа г„г,..., г„, то мы имеем л частных решений: е"'*, е""",..., е""х, и общий интеграл будет «=С,е' +С.е" +... +С„е"их. (37) 2. Среди вещественных корней уравнения (38) есть равные между собой, Если, например, г,=г =... =га, то выражение (37) принимает вид «='Ае"' + Саь е"ау +Се+ее"а+а +... +С„е"и', где А= С,+Се+... + Са. Это выражение содержит не и, а только п — и+1 произвольных постоянных, а потому перестает быть общим интегралом.

Исследуя этот случай, положим для краткости «(ю+А,«("-')+ ..+А„,«'+А «=Г(«). (38) Тогда Г(е"х)=(г" +А,ю -'+... +А„,г+А„)е"х или Г(е ) = е™ф(г), где Ф(г) =г" + А,г"-'+... + А„,г+А„г. Диференцируя по параметру г, мы получим: Г (е~х) егх [хф (г) + ф (г)] —,Г(е' ) = егх [хеф(г)+ 2хф' (г)+Фа(г)], —,„а Г(е"*) = е'х [хаф(г)+ йх"-'Ф'(г)+... +Ф(а) (г)]. 1 Составим теперь л-ую производную от (38) по переменной г( будем иметь (39) даГ(«) да (хоэ] 1 да («("-»],, да« д,а = д„а +Аг дга + '+'1 дга' т. е. и поэтому — — Г (ха«ах) даГ(егх) дга Если теперь значку х давать последовательно значения 1, 2, 3,..., х, то равенства (39) можно переписать так: Г(хе'х) = е' [хф(г)+Ф'(г)], Г (хяе"х) = е"х [хеф (г) + 2хф' (г) + ф" (г)], (4 ') Г(хае™) = е х [хаф(г)+ лха-' Ф' (г) (-... + Ф(") (г)]. Если в правой части этого равенства изменить порядок диференх цирования, то оно принимает вид Если же число г есть корень характеристического уравнения крат- ности Д+ 1, то Ф(г) = О, Ф'(г) = О, Ф" (г) = О, ...

и ФОО(г) =О. Вследствие этого правые части равенств (40) обращаются в нули, откуда следует, что Р(хе" ) = О, Г(хге"*) =О, ..., Р(хье"") = О. А это виачит, что кроме решения е"н существуют еще решения хе"', хзе™,... и хае"'. Вследствие этого общий интеграл напишется так: л =(С +Сх+ Саха+ ... +Сьь,хь)е"*+ +Се+ е ьЬь +... +С„е о, 3. Среди корней характеристического уравнения встречаются комплексные.

Если коэфициеиты А„А„..., А„— вещественны (что мы предполагаем) и корень г, = а+ 11г, то, как известно, существует корень гз= а — гр. Этим двум корням соответствуют част- иые интегралы е<"ьгг1* и е("-гг1*, которые, применив формулу Эйлера, можно представить в виде е *(соз рх-~-1 1п рх) и "*(соз рх — г з1п Зх). .Общий иитеграл тогда будет л = (С, + Се) е'* соз Зх+(С,г — Сз1) е™ з1п 18х+ Сае"'*+... -~- С„е'ее или л = Г,е' соз 1)х+ Гге"* з1п 11х+ Сзе"'*+... + С„е"ч*, где С,+Са — Г„и С,1 — Сз(=Гз.

Если среди корней характеристического уравнения 'есть двукрат- иый комплексный корень г, =гв=а+рг, то будет также и двукрат- ный г =г, = а — Згд В этом случае общий иитеграл л = 1(С, + Сах) соз рх+(Сз+ Сьх) з1п рх1 е + С е~' + ° . ° + С„е е . Нетрудно найти также форму общего интеграла в случае существования комплексных корней, кратность которых превышает два. П р и м е р. еее — Зе"'+ бг" — 12г'+ 8е О. Характеристическое уравнение ге — Зге + бег в 12г + 8 = О дает корни: гг= 1, ге=2, гз-21 и ге= — 2д Общий иитеграл е = С,ее+ Сгеге+ Сге се+ С„е-гье. Но так каа е™ = сов 2х.+.1 а1п 2х, то общий интеграл е = Сгее+ Сгеге+ Ге соз 2х+ Ге з! и 2х, где Гз = Сз + Со а Г, = Сзг — Сед 1В.

Уравнение гармонического колебательного движения. Предполо- жим, что точка массы т двигается прямолинейно под действием силы р. агх Так как сила равна произведению массы т иа ускорение — „, (х — рас- стояние точки от начала координат, г †вре), то имеем дифереи- циальиое уравнение агх т — =Р ига прямолинейного движения точки.

Среди различных возможных случаев прямолинейного движения точки надлежит выделить как особо важный случай так называемое гармоническое колебательное дв и- жение. Такое движение совершает точка, притягиваемая к неподвижному центру. силой, пропорциональной расстоянию до него. Примем прямую, по которой движется точка, за ось ОХ (фиг. 14). Притягивающаа сила Р= — лзльх, где х — расстояние точки от неподвижного центра О, а вз — коэфициент, численно равный величине силы притяжения единицы массы, отстоящей от центра на единицу расстояния. Подставив это в написанное выше уравнение, мы получим диференциальное ура-- внение движения в 0 Р ш Х 'виде лзх и ~)т — — — лзльх.

Фиг. 14. Общий его интеграл х= С, созлг+С з1п'л1. (41) Произвольные постоянные могут быть определены, если заданы начальные условия. Пусть в момент г= О положение точки М опре- ех делалось абсциссой х=а, а начальная скорость была — =ц. Внося лг Фиг. 15. ях ях этн выражения х и — в уравнение (41) и в уравнение — „ ет = — С,А з!пят+С и созлг, полученное из (41) диференцироваиием, а мы найдем С =а и Сз= —. Тогда х= асов Н-1- — з1П Ы. а Интеграл этот представляют иногда в другой форме, полагая я а=1гз1п й и — =гссозр.

а= . 4 з, аю. ю. о. О ч .ва В таком случае (42) х=Я з1п(р+М), /" аь ал причем 1г'= у ае+ —, и гкв =— Величина 1с называется амплитудой, 1ь — начальной фа во» и й — частотой колебания. 2л Заменяя в уравнении (42) 1 на 1+ —, мы видим, что абсцисса х принимает прежнее значение. Отсюда заключаем: рассматриваемое дви- 2и жение есть периодическое и его период равен — . Зависимость между л' абсциссой х и временем 1 можно изобразить графически.

Откладывая значения переменной 1 иа оси абсцисс, а значения х — на оси ординат, получим синусоиду (фиг. 15). 19. Диференциальное уравнение колебании гири, подвеменной к вертикальному стержню. Предположим, что к вертикальному стержню длиной е подвешена гиря весом ьг (фиг. 16).

под влиянием веса гири стержень удлинится. Его „статиl ческое" удлинение ОЕ ЕЕ' где Š— модуль Юнга материала стержня, а Š— площадь его поперечного сечения. Ладим стержню некоторое дополнительное удлинение Х. Лля етого к нему придется приложить дополнительную силу, равную ЕгХ 1. Прекратив мгнов.нно действие втой силы и едост вим ги ю са- Р в Р Фиг. 16.