Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 10

25.Диференяиальноеуравнениепродолене- ! ° ~ го изгиба; прямой брус постоянного поперечного сечения. Прелположим, что прямой брус постоянного поперечного сечения закреплен Р концом А неподвижно (фиг. 21) и подвергается действию сжимающей силы Р, приложенной к другому концу О. При некотором вначении силы Р брус изогнется. Произойдет такназываемый п родоп ьн ы й изгиб. То значение силы Р, при котором начинается искривление оси бруса, называют критическим. Поставим себе целью найти это значение. Принимая во внимание, что изгибающий момент в каком-нибудь сечении 8 будет равен Ру (фиг. 21), мы можем диференциальное уравнение упругой линии 1б написать в виде Е!у« = — Ру, Фиг.

21. где знак минус удержан потому, что кривая обращена в точке 8 выпуклостью в сторону положительных ординат и потому производная у" должна быть отрицательной. Предполагаем при этом, что изгиб достаточно мал для того, чтобы можно было воспользоваться приближенным уравнением упругой линии. Р Полагая — =та мы перепишем полученное уравнение в виде Е! ,«+ теу О б7 Задача, таким образом, приводится к интегрированию простого диференциального уравнения второго порядка. Его характеристическое уравнение ге+та=О имеет корни: г,=тг и ге — — — т1.

Общий интеграл у = А соз тх+ В з!и тх, где А и  — произвольные постоянные. Лля их определения имеем условия: 1) при х = О ордината у = О; вто дает А = О; 2) при х = 1, в силу заделки конца, касательная к изогнутой оси параллельна оси ОХ; это значит, что у' = О. Но у' = Втсоз тх; следовательно, Вт соз т1 = О. Если допустим, что В=О, то получимуравнение оси в виде у=О, т, е. имеем прямолинейную форму равновесия. Если допустим, что Вл-О то соз т1= О, т. е.

т1= 2пк ='- —, где и — произвольное целое О число. Принимая т1 = — ~или 1 агг — = — ~, на- 2 1~ г' Е1 1 ходим втЕ1 Р== 41г Это равенство дает найденное еще Эйлером значение критической силы. Мы здесь не будем останавливаться ни на значениях критической силы при другех способах закрепления концов, ни на пределах применимости формулы Эйлера. 26. ЙшЯеренциальное уравнение продольного изгиба; прямой брус с утолщением в средней части. Предположим, что брус ОА (фиг. 22) с утолщением в средней части сжимается с обоих своих концов одинаковыми по величине, но противоположно направленными силами (величина каждой силы равна Р).

Если изгиб достаточно мал, Фиг. 22. то, выбрав точку О за начало и расположив оси так, как указано на чертеже, получим уравнение Е1,уе= — Ру или у" +т,'у=Π— для участка 1 Е1гуе= — Ру или у" +т„'у=Π— для участка П. Здесь т, '= — и т' = —. Общие интегралы написанных уравне- Е1~ г Е!ь ' ний будут: у=А солт х+Вз!птгх и у=Ссозтх+Оз!пт х.

Условия для определения постоянных А, В, С и О таковы: при х= О будет у= О, т. е. А= О; при х= а орлинаты обоих участков совпадают, т. е. Вз!пт,а= Ссозтьа+Оа!па а; (44) 58 кроме того, изогнутая ось в точке В имеет в чзстях 1 и Еу обшую касательную (производные от ординат равны), что дает: Вт,сов т,а= — Ст. в!итти+От совт а. (45) При х=а+К т. е, в середине стержня, касательная параллельна оси ОХ, откуда — С з!п тг (а+ д) + О сов тг (а+ д) = О. (46) Обозначим через )' ордянату изогнутой оси для х = а+О, тогда С сов тв (а+ О)+ О в!п т (а+ О) =у; (47) (48) <а!Рси 1я т,а ° 1я тяО = — '.

Р=Е1т, = Е1,т . Фиг. 23. для леревянного круглого бруса ') указанных на фиг. 23 размеров имеем 1,= — =201 см; 1,= 4 — — 804 см; Вту — =2 и 1я400тг 13600тг=2. яеь Яб,ббь, 1 1г Отсюда наименьший положительный корень тг = 0,0019. При Е = 100 000 нг!смг критическая сила Р = 100 000 804 0,0019г = 285,7 нг.

27. Уравнение деформации бруса, лежащего на унругом основании. Представим себе очень длинный приаматический брус, лежаший на горизонтальном упругом основании (прогон на упругом настиле, железнодорожная-шпала). Пусть на этот брус действует вертикальная сила Р, приложенная в средней точке бруса О. Принимая зту точку за начало, направим ось ОХ по оси бруса, а ось ОК вЂ” вертикально вверх. Изгибаемый брус предположим прикрепленным к основанию. Это значит, иго отнесенное к единице длины давление р, передаваемое от бруса' т) А. Рта по1се, О!е Тгаййгай бег Яап!еп Ье1 чегапдег!!снеп Яиегвснпйг, Ее!1. Н1г Ма1Ь.

опа РЬув.', В. 46. 59 Уравнения (44), (46) и (47) дают С=гсов т,(а+ 5) и О =1в!п та(а+ 3). Внося эти значения в уравнение (45), находим Но — '='Втг —, полагая же г1 — =й, имеем т,= гл 1 1г тг 1т' 1 = т й, и уравнение (48) перепишется в виде 1дтвйа 1длг О=А. (49) Найдя из (49) величину тв, определим затем критическую силу по формуле ! ! ! Зм упругому основанию, может быть кэк полон<ительиым, так и отрицательным. Дифереициальное уравнение изогнутой оси бруса Е<' — = М. еэу а»э В курсах сопротивления материалов доказывается, что изгибающий <т<м момент М н величина напрвжения р связаны соотношением — э=р.

Поэтому Е! — = р. <!<у «л< (50) Обыкновенно предполагают, что давление в каждой точке пропорционально понижению у этой точки, т. е. что р=!еу, где а — коэфициент пропорциональности, определяемый опытным путем, Таким образом имеем <!<у Е! — = — йу, л»< причем знак минус берем потому, что положительным прогибам соответствуют направленные вниз отрицательные реакции. Если введем 'Г Г Ф обозначение а=1! —, то полученное диференциальное уравнение У 4Е1' представится в виде — + 4«еу = О. <!<у е»< Его характеристическое уравнение ге+ 4а' = 0 приводится к двум: га — 2аг+ 2«э = 0 и га+ 2аг+ 2«в = О, и дает корни: г,=а(1+!), гз=а(1 — !), гв= — а(1 — 1) и г,= — а(1+!!.

Общий интеграл будет у = е (С, соз «х+ Св з!и ах)+е-"а(С соз ах+С, з!пах). у=е-™(С совах+ С,з!п«х). Постоянные С и С, могут быть определены на основании следующих двух соображений. 1. В начале координат (при х = О) касательная к упругой линй% горизонтальна, т. е. у' = О. Но у' = «г-'а ! — С (соз ах+ з!пах) + С,(соз «х — з!пах)1, 60 При большин значениях х прогибыу должны быть весьма малы. Между тем множитель е"" при больших значениях х становится большим числом. Отсюда заключаем, что полученное для у выражение может удовлетворить требованию задачи лишь при условии, что С = С. = О.

В таком случае что при х= О дает О=а( — С,+С), т. е. С,=С„ и поэтому у = Сзе-а (соз ах+ зш ах). 2. В курсах сопротивлении материалов доказывается, что так называемая поперечная (перерезывающая) сила, представляющ4я сумму сил, действующих по одну сторону (справа или слева) от взятого сечения, а1у равна Е1 —.. В данном случае эта сила расположена справа от начала иле ' Р координат и, как это нетрудно непосредственно видеть, равна ††.

Образуя третью производную, мы найдем, что .Уат = 4Сза'е-" 'соз ах, что при х=О дает Р 4С Е!аз 2' 1 Р Ы т.е. С = —— 8Е!а4 ' ! н, таким образом, Ре- а у= — (соз ах+5!и ах). 8Е141 1-длина долны Прогиб получим, полагая здесь х=О. Он будет Р Фнг. 24. 8Е144 ' Приблизительное очертание упругой линии представлено на фиг. 24. Множитель е-" создает быстрое убывание высоты волн изогнутой оси бруса по мере удаления ог начала координат.

28. Диференциальноеуравнениеколебаний вала вследствие действия центробежных сил. Опыт показывает, что тонкий и длинный вал при большой скорости вращения способен выпучиваться и принимать искривленную форму. То значение угловой скорости, при котором может возникнуть подобного рода явление, называют критической скоростью вала. Вполне понятно, что определение ее величины имеет большое практическое значение. Пусть у есть прогиб вала, соответствующий абсписсе х. На элемент длиной йх будет действовать центробежная сила тану дх, где т — масса единицы длины вала, а и†угловая скорость его вращения.

Уподобив эту силу равномерно распределенной по длине вала нагрузке, положим р = тару и, воспользовавшись уравнением (50), получим а4у — = а'у ах4 где а= )/ Характеристическое уравнение г4 — а'=О дает корни: г=а г= — а г=а1 и г= — а1'. 1 ' 4 4 8 4 б! (51) 9 19. Неоднородные линейные диференциальные уравнения с постоянными коэфициеитами. Согласно сказанному в 9 17 общий интеграл неоднородного линейного дифереициального уравнения УО>1+Руш О+Рву™+ +Рку=1~ (30) с постоянными коэфициентами есть у =г+уо> где г — общий интеграл однородного уравнения гйй+Р,г<"-О+ Рег<"-е1+...

+Р„а= О, (31) а у — есть какое-либо частное решение уравнения (30). Если г„ ге, ..., г„ суть линейно-независимые частные решения уравнения (31), то общее решение уравнения (30) будет: у= С,г,+Саге+... + С„г„+уе, где С„С, ..., ф— произвольные постоянные. Прием нахождения частных решений уравнения (31) известен. Остается сказать о способе нахождения частного решения уе уравнения (30). В некоторых случаях это решение может быть найдено весьма просто по способу неопределенных коэфициентов. Отметим здесь несколько из этих случаев. 1. Последний член 1~ есть целый ми ого член степени лю.