Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 9

мой себе. Гиря начнет колебаться в вертикальном направлении. Чтобы написать диференциальное уравнение движения гири, рассмотрим те силы, которые приложены к ней в тот момент, когда центр ее тяжести находится на некотором расстоянии у от своего начального положения О. Эти силы таковы: 1) вес гири ~ (действует сверху вниз); 2) сила упругости стержня, стремящаяся уничтожить статическое удлинение 1; вта сила равна ьг и действует снизу вверх; 3) сила упругости стержня, стремящаяся уничтожить удлинение у; зта сила равна — и ЕГу действует также снизу вверх. .

Направим ось ОУ вертикально вниа. Лиференциальное уравнение движения гири будет О Ъ 4, (О+Еру) 60 или — „„+й-у=о, ~У т где йг= —. (ПРи этом мы не пРинимаем во внимание веса самого ЕЕе стержня.) Мы видим теперь, что гиря будет совершать около точки гармони- ./ОЕ ческое колебательное движение 78. ПеРиод колебаний Т=2и аг! У' ЕЕй ат а амплитуда ьт'=~l аг+ —,=Х (потому что а=1 и а=О); число колебаний в минуту 60 30 /ЕЕй и = — = — ьт! Т= Г 20. ЛиЧзвРенциальное уРавнение колебаний груза, подвешен о к горизонглальному стержню. Предположим, что к середине стержня (фиг.

17), лежащего на двух 3 опорах, подвешен грув Я. ( Этот грув вызовет „статический" прогиб ЩВ Р 48Е!' где Š— длина стержня, !— момент инерции поперечного сечения относительно его нейтральной оси, а Е— Фиг. ]7. модуль Юнга стержня. Дадим стержню дополнительный прогиб у. для этого придется 48Е7ч к его середине приложить дополнительную силу — з. Мгновенно отняв эту силу, предоставим стержень самому себе (не сообщая ему начальной скорости); стержень начнет колебаться.

Рассмотрим силы, приложенные к серелине стержня в тот момент, когда она находится на расстоянии у от своего начального положения О. Эти силы таковы: 1) груз 9, действующий сверху вниз; 2) сила упругости стержня, стремящаяся уничтожить статический прогиб Е„она равна О и направлена снизу вверх; 3) сила упругости стержня, стремящаяся уничтожить прогиб у.

Эта сила равна — и направлена снизу вверх. Направляя 48ЕЕу Еь ось ОУ сверху вниз, имеем диференциальное уравнение колебания «гг или — — „у+йгу= о, где йа~ —. 48Е!д 51 Середина стержня совершает около точки О гармонические колебания с периодом т= — ~— 8Е1я и амплитудой Я= р. Число колебаний в минуту 60 120 ГЪЕ!д =т= ЕУ ОЕ 21. Диференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Колебания скрученного вала. Пусть точка М(х, у) массы т движется в плоскости ХОГ под действием силы Р. Обозначив проекции силы на координатные оси буквами Х и 1; будем иметь два диференциальных уравнения движения точки: йгх лгу т — =Х и т — =1; .вгг йгг Воспользуемся нми для составления диференцнального уравнения вращения тела вокруг неподвижной оси. Помножив обе части первого уравнения на у, а второго на х, вычтем из второго результата первый. Мы получим лгу егх ~ т(х —,— у — ~=хУ вЂ” уХ или т — (х — — у — ) — ху' -Х дгг Егг ) вг~ йг " ог) Вводя полярные координаты, будем иметь х=рсозб и у= рз1п0, где р — радиус-вектор точки М, а 0 — угол, образуемый им с осью ОХ.

йу йх вВ Будем иметь х — — у — =ра —. ве йг ег ' И /зла~ Следовательно, т — (рз — ) =ху — уХ. Предположим теперь что дг ~ иг)— > движение есть вращение точки вокруг оси, проходящей через начало координат. В таком случае радиус-вектор р †постоян. Полученное уравнение перепишется так: ег Ф~ тог — = хУ вЂ” уХ. В случае вращения твер— дого тела вокруг оси нетрудно теперь получить диференциальное уравнение Фиг. 18. 1 да вж = где 1 — момент инерции тела относительно оси вращения, а М вЂ” вращающий момент. В виде приложения рассмотрим уравнение колебаний скрученного вала. Представим себе круглый вал, одним концом заделанный неподвижно (фиг. 18).

Закрутим другой конец его на угол О. Для этого придется приложить к этому концу закручивающий момент М, причем МЕ 0= —, где 1.— длина вала, Π— модуль сдвига, 1,— полярный мо- У мент инерции сечения вала. 52 и е=е+ — 0 н е 2я Здесь л есть значение е при 0=0, Ь вЂ” высота хода винта (шаг). Составим диференциальное уравнение движения винта в гайке, которую будем считать неподвижной.

Если м есть угловая скорость вращения винта, то проекции на координатные оси скорости точки О будут: ау де Лм — =ах и дг сЬ' 2я ' ах аг тле à — время. Вследствие етого квалрат скорости точки Я оз = аз(ха+уз+ —,) = аз(гз+ — ). Можно доказать, что живая сила винта равна Вслед затем крутящий момент отнимем. Вал начнет колебаться. Диференциальное уравнение его колебаний будет 1 — = — — д0 или — +УЕВ=0 агз 01 лез ага 4гг з Ы„ где йз= —. Полученное уравнение есть уравнение гармонического П. колебательного движения 18. Вал будет колебаться, и период колебаний Т= 2я ~ —. Г 1г.

У а~,. В тех случаях, когда период 'собственных колебаний вала блиаок к периоду создаваемых в нем колебаний, могут возникнуть, вследствие резонанса (см. стр. 60), напряжении, опасные для целости вала. 22. Ли4еренциальное уравнение движении винлга в неподвижной гайке. Предположим, что винт подвергается действию сил Р„Р, Р, ..., Р„н реакции гайки, Пренебрегая силами трения по сравнению с действием внешних сил, будем полагать, что реакции гайки нормальны к поверхности винта. Пусть г, 0 и е обозначают цилиндрические координаты какой-нибудь точки Я винтовой линии., В таком случае, принимая ось винта за ось ОЕ, для этой точки имеем х=г созй, у=г з1п0 где М вЂ мас винта, а р — его радиус инерции относительно оси врашения.

Принимая во внимание, что работа сил реакций равна нулю, мы видим, что диференциальное уравнение изменения живой силы будет иметь вид 8 ~'~~"'(рз ( " )1= ~~~(ХИх+ УИУ+лае) причем правая часть представляет сумму элементарных работ внешних сил. Воспользовавшись вышеприведенными выражениями проекций скорости точки Я, можно полученному уравнению придать вид ~~ + 4тФ) Ф Л'Е( У )+ 2в Х Это есть диференциальное уравнение движения винта в неподвижной гайке; силами трения мы пренебрегли. Интересно отметить тот случай, когда вращение винта будет равномерным.

Случай этот будет иметь место тогда, когда сумма моментов внешних сил относительно оси вращения и сумма проекций этих сил на ту же ось связаны соотношением тогда 23. Уравнение затухающих колебаний Рассмотрим случай движения точки под действием силы, притягивающей точку к неподвижному центру при наличии сопротивления среды, пропорционального скорости точки. Если коэфициент пропорциональности обозначим 2йт (й > О), то диференциильное уравнение движения точки можно будет написать в виде аах Нх ш — = — йзгих — 2йги— ага аг или — +2й — + йзх = О. аэх ах ага аг Это линейное однородное диференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэфициентами.

Характеристическое уравнение его ге+ 2йг + йа = О Тогда ре-ы з1п (р ~- а1), 1 причем р = — р' азаз+ (а+ай)е и 1ни =— Ф а+аа ' 143) 54 дает корни г1 = — й+ Г'йз — йа и и = — й — у'йу — йа. Прежде всего рассмотрим наиболее важный случай, когда корни каракт еристи ч еского уравнения ком пленены„т. е.

когда йз — йз~ О. Полагая йа — йз=аз, будем иметь г,= — й+Ы, г,= = — й — мй и общий интеграл х=е-"'(С, созмг+Сэз1п а1). Произвольные постоянные С, и Сз определятся из условия, что в момент Ф = О начальное положение точки определялось абсциссой х = а, а начальная скорость — = а. Фх щ В силу первого условия С,=а.

Образуя производную -ье — = е-"' 1 — С й соз аа — Сзй з1п о~а — С а з1п ма+ Сзм соз мг) и подчиная ее второму условию, получим Са= —.Таким образом а+ ай а+ ай к=е-ь'(асов ек+ ~ з1пек). в Правую часть этого равенства можно представить в иной форме, полагая е+ аа а = р ьйп рй — = р соз р.. Ив равенства (43) следует, что движение имеет колебательный ха2я 2е рактер. Период колебаний Т= — ===.

Сравнивая его с пе- ~" » — ля' риодом Те= — своболнык колебаний, мы видим, что Т) Те. Скорость обращается в нуль периодически в моменты времени, отделенные прол межутками, равными —, в чем можно убедиться, образуя от(43) производную и приравнивая зту производную, т. е. скорость, нулю.

Для упрощении выкладок условимся время отсчитывать от одного из таких ех моментов. В таком случае будем иметь хе=а и — =о=О при ег 1= О. Придавая времени г значения я 2я Зя ~я — > 1з — ! ~а — э ° э г,=о, найдем, '«з (43) соответствующие значения абсциссы х: ь. х= — хе '" 4 8 Вк хз = хее Ьс х=а х= — хе м ! у Я г > Отсюда видно, что абсолютные значения абсцисс, т.е. последовательные отклонения колеблющейся точки от неподвижного центра, образуют л1 Фиг. 19.

х С е и+ Сае,с. бб бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем, ь равным е . Это есть случай так называемых затухающих колебаний. Закон изменения х в зависимости от времени представлен графически на фиг. 19. Рассмотрим случай, когда ла — яе>О. Корни г, и ге характеристического уравнения будут вещественны и оба отрицательны; Произвольные постоянные С, и С определяются на основании начальлх ных условий (х = и и — = и при 1 = 0). Значения постоянных, лг получаемые из этих условий, таковы: С = 1— Г1 Гг ае1 — а и Св= '2 Представив абсциссу х и скорость — в виде ах йг х = С ег 2 ~ 1 + — 2 е(п-"д г ~ С 1 ах Сг ° гг И= ='1 1 С вЂ” =о=г С еп211+ 2 2 е<"-'д21 1' 1 ,1 мы видим, что если — ) О, то ни абсцисса х ни скорость о ни разу Сг С1 не обращаютси в нуль.

Это значит, что точка приближается асимптотически к притягивающему центру, находясь все время с одной от него С стороны. Если — (О, то как х, так и о могут обратиться в нуль по l При наличии во внешней цепи самоиндукции1. будем иметь для нее У вЂ” а — „=Щ И лг где гс — сопротивление внешней цепи. Диференцируя последнее уравн ение по времени г и заменяя затем производную — через — — по- 1 лг С' 56 одному разу. Рассмотрим последний случай, когда )22 — й2=0. Характеристическое уравнение имеет двукратный отрицательный корень г, =ге= — й; общий интеграл будет .'42' Ь х = (С1 + Свг) е-ь'.

Произвольные постоянные определяются из тех же условий С1 = а и Са = и+ аЬ. В этом случае, так же как и в предыдущем, по истечении достаточно продолжительного времени точка будет сколь угодно близка от притягивающего центра. Колебательный разряд конденсатора, колебания магнитной стрелки гальванометра, колебания некоторых регуляторов паровых машин могут служить примерами затухающих колебаний. Движения соответствую- 2 2 щие случаям й — йв)0 и йэ — й2=0, имеют место при большом сопротивлении среды (например, движение магнитной стрелки при сильном успокоителе).

л4. Уравнение колебательного разряда конденсилгора. Представим себе, что конденсатор емкости С заряжен до потенциала У. Его заряд будет равен СУ. Сила тока в цепи, куда включен конденсатор, пусть будет Е Если в течение времени Ш потенциал конденсатора понизился на а'У, то имеем уравнение !<И = — СИ У. лучим диференциальное уравнениеьколебательного разряда конденсатора пь! !7 и! ! —, + — — + — = О. Ф-' !. а! ЬС Его называют уравнением Вильяма Томсона.

Если введем обозначения А' 1 — =2Ь и — =Ьз, ! Ь !С то найдем, что — + 2Ь вЂ”, + Ьа1 = О. Это уравнение затухающих колебаний. Вы- О Г воды, сделанные выше, могут быть приме- Фиг. 20. иены и здесь. 1!7г 1 Если Ьз ) Ьв, т. е. 4ь ) —, то колебаний нет: сила тока быстро растет от нуля, достигает некоторого максимума и затем постепенно исчезает (фиг. 20). Если Ьз ( Ьз, т. е. — †, то наступает один или несколько скачков: искра не представляет чего-нибудь цельного; при помощи быстро вращающегося зеркала она обнаруживается как периодическое явление.