Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 6

В результате получим — =рХ др дх — — рУ и — — рЕ. др др ду дг (21) Заметим, что полученные три - уравнения равновесия равносильны одному такому уравнению: Ир = р (Хпх + Уйу+ Хг1г). (22) Так как левая часть этого уравнения есть полный диференциал, то и правая его часть должна быть полным же диференциалом. Отсюда заключаем: равновесие жидкости возможно лишь в том случае, когда действующая на нее объемная сила (Х, У, Е) такова, что выражение Хдх+ ГФу+ЯсЬ имеет интегрирующий множитель; для существования же последнего, как выше было отмечено, необходимо и достаточно, чтобы Точно так же суммы проекций всех сил на оси ОУ и ОЕ соответственно будут в случае, когда плотность р постоянна, для равновесия жидкости необходимо, чтобы выражение ХоЬ+ г'ау+ЕсЬе было полным диференциалом.

Для этого в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы д1' М дХ дХ дЛ' дУ де ду дх де. ду дх ' Обратимса тенерь к применению полученных нами уравнений равновесия жидкой массы. е2. Зависимость между давлением атмосферы и вн моря. Предположим, что рассматриваемая жидкая с собой атмосферу. Давление атмосферы на уровне обозначим через р, а на высоте л — через р.

Соотв ности воздуха пусть будут ро и р. В силу уравнени щего газообразное состояние, будем иметь (уравн — — Р.Т, Р Ро Р Ро где ее †газов постоянная, а Т вЂ абсолютн тем ложия, что температура есть линейная функция от Т=Т вЂ” ~е, где 1 — постоянный коэфициент. В таком случае Р Принимая еще во внимание, что проекцйи силы тя к единице массы, будут Х=О, 1"=О и Е= — д; мы сможем третье уравнение системы (21) написать др РК ае ~(~,— э ) ' Отсюда 1и = — ~ Г о То Искомая зависимость между давлением р и высо 'ье р — ро(1 ) И. Свободная поверхность жидносл1и во еращаюиье сном сосуде.

Применим уравнение (22) к исследованию принимает свободная поверхность жидкости, заключен ческий сосуд, вращающийся около своей геометрическ 32 щенной вертикально. Ось вращения мы примем за ось ОЕ, которую направим вверх. Оси ОХ и ОУ предположим вращающимися вместе с сосудом. Рассмотрим какой-иибудь жидкий элемент, координаты которого пусть будут х, у и з, а масса Ыт. Проекции силы веса элемента на координатные оси будут О, О и — уЫт. Если обозначим буквой г расстояние элемента от оси Ол,, то его центробежнаялсила будет аогбт, а ее проекции на оси будут аз.Мт и маунт. Здесь через м обозначена угловая скорость вращения сосуда.

Эту скорость мы примем постоянной. Проекции объемных сил, отнесенных к единице массы, представятся так: Х=мох, У=мяу, л=— Тогда уравнение (22) примет вид лр = Ф г (хох + уф)) я>И2, где. р — плотность жидкости (плотность жидкости постоянна). Отсюда щор р = — (хо+уо) — да+ соней 2 р УР Р(х, у, у') = О, общий интеграл которого есть Ф(х,у, С)=О, (24) то особым решением (23) называетса всякое выражение у =ф(х), которое, удовлетворяя уравнению (23), не может быть получено из общего интеграла (24) ни при каких частных значениях произвольной постоянной С. Особые решения; известные уже Лейбницу и Иоганну Бернулли, считались долгое время парадоксальными. Лаплас и в особенности Лагранж разъяснили их истинную природу. Они лали два способа нахождения особых решений диференциальных уравнений первого порядка. Первый способ †спос Лагранжа †требу знания общего интеграла.

Второй способ †спос Лапласа †это не требует. В дальнейшем мы рассмотрим только первый из этих способов. Решая уравнение (23) относительно у', а (24) относительно у, получим у' = ср (», у) (25) и у=/(х, С). (26) На свободной поверхности жидкости давление р равно атмосферному и есть величина постоянная. Мы видим поэтому, что поверхность жидкости есть параболоид вращения. й 14. Особые интегралы диференцнальных уравнений первого по ядка.

Если дано авнение (23) 3 з ою. ю, о о о лв 33 Так как выражение (26) есть общий интеграл уравнения (25), то после подстановки значения у из (26) в уравнение (25) будем иметь тождество = — и 1х, У(х, С)). дС Г'(х, С)=0. д Таким образом особое решение мы можем получить, исключая параметр С иэ равенств ( С ) д» 0 Ру Мы предположили, что уравнение (24) решено относительно у. Если оно решено быть не может, то, диференцируя его по переменной С, получим дф д» гС дс+ д . „,, =О, ...,да дФ дФ д» дС дФ и условие — =0 'приводит к двум: д» дС дФ ' дФ вЂ” = 0 или — = со.

дС д» В этом случае особое решение может быть получено исключением параметра С в каждой из двух систем: — =0 дФ дС 1) Ф(х,у, С)=0 и и дФ вЂ” = СО. д» 2) Ф(х, у, С)=0 и Надо заметить, однако, что в числе полученных решений могут заключатьси не только особые, но и частные решения, а иногда даже и такие выражения, которые данному диференциальному уравнению 34 Посмотрим, ие может ли выражение (26) удовлетворить уравнению (25), если рассматривать С как функцию от х и если это возможно, то какова должна быть эта функция. Считая С зависящим от х, подставни у из (26) в (25); тогда получим д г(х, С) + ' — = т 1х,.г (х, С)1. д дУ(х, С) дС Но из тождества (27) следует, что 7"(х, С) =и(х,Дх, С)1, а потому д дх д»(х, С) дС дС д — =О, т.

е. либо — „— =О, либо — г(х, С)=0. Первое из дх дх этих предположений приводит к тому, что С есть постоянное и, следовательно, выражение у=г"(х, С) представляет собой общий интеграл. На основании же второго предположения заключаем: если выражение у = г"(х, С) удовлетворяет уравнению (25) в предположении, что С есть функция от х, т. е. если оно представляет собой особое решение, то С должно быть опреде:.ено из равенства вовсе не удовлетвориют. Поэтому н е о б х о д и м а п о в е р к а п о л ученных выражений подстановкой; если окажется, что испытуемое выражение уравнению (23) не удовлетворяет, то его откидываем, если же удовлетворяет, то для решения вопроса о том, есть ли оно особое решение или частное, надо еще его подставить в уравнение Ф(х,у, С)=0, являющееся общим интегралом, и посмотреть, удовлетворяется ли это уравнение постоянным вначением С или нет.

В первом случае имеем дело с частным, а в о втором — с особым решен нем. В 25 нами указывалось, что геометрической интерпретацией особого решения является огибающая семейства интегральных кривых. Из изложенного выше видно, что способ получения особого интеграла с помощью общего решения таков же, как и способ получения уран. нения огибающей по данному уравнению семейства огибаемых кривых. В последнем случае, так же как и при отыскании особого решения, исключаем параметр С семейства из уравнений у=у(х, С) и д — 7(х, С)=0. Отсюла следует, что особое решение геометрически представляется огибающей семейства интегральных кривых.

П р и и е р. Если предложено найти особое решение уравнения ук~!+( «) ~ — ау « вЂ” ах= О, общий интеграл которого есть Ф (х,у, С) ии (х — С)э+ уэ — аС О, где С вЂ” постоянная интегрирования, то составляем уравнение г) дФ вЂ” ги — 2 (х — С) — а = О дС и исключаем С из полученной системы двух уравнений. Из — = О находим дФ дС а С = х+ —. Внося это значение С в выражение общего интеграла получаем 2' 1 уравнение аэ уэ — ах — — = О, 4 являющееся искомым особым интегралом данного уравнения.

В этом примере общий интеграл геометрически изображается семейством окружностей перемевного радиуса, имеющих центры на оси х-ов, а особое решение дает огибающую этого семейства — параболу. 14. Уравнение кривой, равноосвещенной источником света. Предположии, что цилиндрическая поверхность весьма малой высоты осве. щается источником света О (фиг. 7), рзсположенным в плоскости, пеРпендикУлЯРной к обРазУющнм 'цилиндРа.

Обозначйм кое степень освещения поверхности, удаленной от источника на расстояние, равное дФ г) Второе возможное уравнение — ии2у = со вообще не дает интеграла ду— данного уравнения. единице, при условии, что лучи света нормальны к поверхности. В таком случае степень освещения злементариой площадки М будет г=ге % з1и ч г Рр ь з!и в но известно, что') з!по= . Следовательно, г$/ ге+ ~ — ) откуда ага ив Ф' 'и' Г~ ~— азг Дз Ь' или Интегрируя, находим Ь'з ге агсз!и — =20+С или гз= ле з1п(20+С). О зь29 в ге= — соз29 'ге= — — е з~п29 ге=- — е соз29 Ре го .

Ре в а л Фиг. 8. 1 ) Это следует из известной формулы 10 Ч =г: ~ — р где Ч вЂ” угол между / дг'1 — ~дзР радиусом-вектором и касательной к кривой. 36 где г †расстоян пло- щадки от источника' О, Х а <р †уг между радиусом-вектором г и касательной Т в точке М к направляющей цилиндра.

Найдем форму втой Фиг. 7. направляющей для слу- чая, когда степень освещения всех точек поверхности цилиндра одна и та же и равна л. Поместим в точке О полюс полярной системы координат и обозначим буквой 0 угол между осью ОХ и радиусом-вектором г. Согласно условию имеем Фиг. 9 ГЛАВА П. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. 5 15. Диференциальные уравнения вида у(") =у(х). Переписав уравнение у(") 1(х) в виде >т!у(о->)1 =у'(х)>ух и интегрируя его, получим у("-'! = ~ У'(х)>2х+С,=а,(х)+Со Таким же образом будем иметь и далее: У(>-о)= ~ а,(х)е>х+Сх+Ся —— а.

(х)+Сх+Со, у(л о)= ~ а, (х)с(х+ — +Сх+ Со=аз(А)+ — +Сох+ Са С>хл-> Сох" о .! "( )+1 ° 2 3...(л — 1)+1 ° 2 ° 3...(л — 2) +.'' + л ! + где а,(х) = ~ у(х)>2х, ао(х) = ~ а,(х) е>х, 3Ч Интегральные кривые суть лемнискаты.

На фиг. 8 показаны кривые, Зл соответствующие значениям С, равным О, —, н и —. Кроме общего интеграла это диференциальное уравнение имеет особое решение. Его мы получим, ис- Чавпиоо!иеои>в ключая параметр С из йго системы — — з1п(20+ го + С)=0 и — соз (20+ доойой + С) = О. Так как соз (20+ С) = 0> то з1п(20+ С)=1 и, следовательно, го=— Ро Последнее равенство представляет особое решение и геометрически выражается окружностью радиуса — Эта окружго л ность огибает семейство лемнискат, представляемых общим интегралом (фиг.