Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения

Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 5

DJVU-файл Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 5 Математический анализ (2552): Книга - 3 семестрЮ.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения: Математический анализ - DJVU, страница 5 (2552) - СтудИзба2019-05-08СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 5 - страница

Известно, что для силы тока 1 и сопротивления Р потеря напряжения равна Р ° 1. Для цепи же с самоиндукцией Е потеря напряжения с(1 равна Š—. Поэтому полная потеря напряжения во всей цепи будет с(с Е РЕ+Š—. с(1 лс ' (16) Но, так как кс кс (с(1 = Ее (Ро(лог — Е сей о!) е з!п аЖ= то лс 1= Рс ",,(й (Р зсп и! — Еа соз а1) + Се Рс+ айЕй Принимая во внимание, что 1=1о=О в, момент 1=0, находим ЕоЕа С= —.

Рй+ айЕй ' Поэтому кс 1= о (Р з!и а1 — Еа соз а1+ Еае г' ). Заменяя электродвижущую силу Е ее значением из (15), мы видим, что нахождение силы тока 1 приводится к интегрированию линейного диференциального уравнения первого порядка Л1 Р Ео — + — 1= — 'з!Па1, ог Е Е в котором коэфициенты Р= — и Я = — з!пад Общий. его интеграл Р Ео 1. согласно (10) будет 1=е ь "— '- "е г з!паЬИ+С~. !" Е-.," Это равенство представляет частный интеграл уравнения (16). Представим его в более удобном для вычисления виде.

Полагая отвлеченЕа ное число — =!на (угол чс называется смещением фа аы), полуРми (шс — т) чим Рз!паа — Еасоза(= =Рк 1+!айра!!! (а1 — су) = сой т = ~/'Рй+айЕйз!п(а1 — с), что дает Ю 1 ЕоЕае Ео й!и (аг — В) Ь Рй+ айЕй ~/ Рй ! ай1й Сила тона, как показывает это равенство, состоит из двух частей: нс первая имеет характер затухания (множитель е г'); вторая — характер периодический (множитель зш (а1 — су)). Пусть Е„= Ее= 650Н, самоиндукция 1=0,0937 Н, сопротивление 77= — 4,58 О н частота у=60 Нл.

В таком случае круговая частота е = 2яу= = 120 ° 3,14 376,8 и Ео 7 =18,89А; тяр= — =7,71; Уг77з + езу.з с мещеине фаз Ч = 82ь38', отношение — =48,9. Вследствие этого сила тока Е 7=1889 ~ —.' е ' +з!п(ег — 71~. Г 35,3 — аа,зз ~ 35,59 Первое слагаемое суммы, стоящей в скобках, имеющее в моьент Г=О значение, баизкое к единице, с течением времени весьма быстро убывает и вдальиейшем силу тока можно считать меняющейся согласно формуле 7= 18,89 з(п (мг — Ч) ампер. В 18. Интегрирующий множитель. Рассмотренные выше диферен- циальные уравнения — однородное и линейные первого порядка — пред- ставляют типы уравнений, интегрируемых методом отделения перемен- ных.

Сейчас мы остановимся еще вкратце на применении к интегриро- ванию уравнений метода интегрирующего множителя. Сущ- ность этого метода состоит в том, чтобы на йти такой множитель, после умножения на который левая часть уравнения Е(х, у, у') = О с т а н о в и т с я п о л н ы м д и ф е р е н ц и а л о м. И если это достигнуто, то далее применяется прием, изложенный в 9 9. Пусть дано уравнение ММх+1тгду= О, чтобы левая часть уравнения рМ г(х+ р7тт г(у = О была полным диференциалом. Согласно сказанному в 9 8 множитель р должен удовлетворять условию — = —, которое можно пвред(рм) д(,ай) ду дх писать в виде д дх 1(д д )' др д~ дйГ дМ (18) Мм видим, что искомый множитель р удовлетворяет уравнению (18) с частными производными, и чтобы его найти, надо это уравнение проинтегрировать.

Но так как интегрирование уравнения (18) с частными производными есть задача, вообще говоря, более сложная, чем интегрирование данного уравнения (17), то на первый взглнд выходит, что, отыскивая интегрирующий множитель, мы только усложнили задачу. Но дело в том, что для нахождения р надо знать только частное решение уравнения (18), и поэтому вопрос в некоторых случаях.ста новится легко разрешимым. Чтобы покааать, как он именно решается, остановимся на каком либо частном случае отыскания интегрирующего множителя. Относительно этого множителя сделаем такое предположение: пусть он будет левая часть которого не есть полный диференциал.

Будем искать такой множитель р =о(х,у), функцией только от х, и посмотрим, при каком условии уравнение (17) может иметь такой интегрирующий множитель. Если )з = е (х), то — = О дн ду и уравнение (18) можно представить в виде Так как здесь левая часть равенства есть функция только от одного х, то и правая должна быть тоже функцией только от х.

В этом именно и заклю- чается условие того, что уравнение (17) имеет интегрирующий множи- тель, являющийся функцией только от х. Сам множитель, как это не- трудно видеть, р. = е Мы, конечно, могли бы относительно множителя (э поставить и другие требования; например, чтобы он был функцией только от у, либо только от х+у, либо от хэ — у и т. п. Каждое из этих требований привело бы нас к специальному условию, аналогичному тому, которое мы нашли в разобранном случае.

Прим е р. (2у+хуз) Фх+(х+ хэуэ) ду = О. Для этого уравнения дМ М = 2у + ху", ЗГ = х + хэуь — = 2 + Зхуэ ду дйГ 1 Г дМ дй1 1+ хуэ 1 дх У ЗГ ~ ду дх/ х+хэуэ г ' Мы видим, что для него существует интегрирующий множитель, зависящий только от х, и этот множитель Г-* е 1пе Н=е =е =х. Умножая иа него наше уравнение, получим (2ху + хауз) дх + (ха+ хэуэ) ду = О. Левая часть этого уравнения есть полный диферевциал, что нетрудно проверить. Интегрировать его можно по способу, изложенному в З 9. Но проще переписать наше уравнение в форме 2ху дх + хэ ду + — (Зхэу" дх + Зуэхэ ду) = О, 1 3 или у)+ 3 1 а затем интегрировать.

Общий интеграл его будет Зхэу+ х'уз = С. Для линейного уравнения первого порядка у'+ у — О=о имеем дг=1 и М=Ру — (г. 1 ГдМ д)Е~ Выражение — ( — — — )=Р есть функция только от х. СледоваФ(, ду дх) тельно, интегрирующий множитель 1 Рех )ь =е В дальнейшем нам придется встретиться с условием существования интегрирующего множителя для выражения М г(х + )(Г ду + Р аг, (19) коэфициенты М, И и Р которого зависят от аргументов х, у и е. Обозначив этот множитель буквой )ь и умножая на него рассматривае. мое выражение, мы получим полный диференциал д()= йМНх+)ьИау+)ьРйв, по отношению к которому должны иметь место условия (10), т.

е. д (ь)Ч) д (иР) д (рР) д (иМ) д (НМ) д (Вд)) — — — — и Се ду ' дх де ду дх эти равенства в раскрытом виде будут: / дУ дР1 ди ди ) ~ — — — ~~=Р— — М- —, (, де ду,) ду де ' ! дР дМ~ ди ди р~ — — — )=М вЂ” — Р— '(,дх дх.! де дх' ГдМ д)Ч~ ди дм )ь( — — — ~= М вЂ” — М вЂ”. (,ду дх~ дх ду' Умножая ия соответственно на М, М и Р и складывая результаты, находим Полученное равенство выражает условие, н е о б х о д и и о е для того, чтобы выражение (19) имело интегрирующий множитель. Будучи необходимым условием, оно в то же время и достаточно; на выяснении его достаточности мы здесь, однако, останавливаться не будем.

еО. Диференциальное уравнение силы тома при неременном сопротивлении цени. При интегрировании диференциального уравнения силы переменного тока мы в У рассматривали сопротивление )с как величину постоянную. Но в течение того периода времени, когда ток выключается, сопротивление )т является величиной переменной; пусть аависимость )с от времени может быть выражена формулой )сот д) ась~) Š— + — — =О. ас (т — ОЬ 1. (20) 29 где )с — начальное (постоянное) значение гс; т — промежуток времени до момента выключения и г — время. Диференциальное уравнение, соответствующее этому явлению, таково: Считая электродвижущую силу Е постоянной, будем искать решение этого уравнения, удовлетворяющее условию 1 =1е = — при 1= О.

но Применим метод интегрирующего множителя. Для данного случая нат при Р= — этот множитель (' — г) 1 г гвг — — иц — и дв и. е р=е =е = (с — К) г' . Уравнение (20) после умножения на р принимает вид и,. т (с — 1) л . — „+ — '(т — С) г' .1= — (т — С) Е 1 У или но Яа —. ~(т — 1) г .1) = — (т — 1) откуда дб г Вд~ 1 (т — 1) ь ~ — Г(т — С) г ° И+С~. ~,!' Е Если -- ф т, то, выполнив квадратуру, получим нв Е н; —,(т — )+С( — 1) '. В силу начальных условий, полагая в этом равенстве 1=0, нахо- Ла Ет дим 1в = — + Ст ь . И, следовательно, Лй 1= (т — С)+ )3з — р 1 (1 — — ) г Если — = т, то после выполнения Е но преобразований будем иметь '=('-Й"-Ф" ('-Я 11. Уравнения равновесия жидкой массе. Предположим, что в сосуде У (фиг 6) содержится покоящаяся жидкость, частицы которой мы отнесем к координатной системе «,у, в.

Рассмотрим элемент жидкости, имеющий форму прямоугольного параллелепипедз, вершина М котоФиг. б. рого имеет координаты к, у и в, а ребра — ак, ау и ав — параллельны координатным. осям. Если буквой р обозначим плотность жидкости в точке М, то масса элемента будет равна рйкауйв. Будем рассматривать жидкость как деформируемое сплошное тело, которое в состоянии равновесия не испытывает ни касательных напряжений, ни натяжений, но может оказать и само испытывает только давления. Заметим, что термином жидкость в гидростатике и гидрой0 г динамике обозначают не только жидкость в общепринятом аначении ~того слова, но также и газообразные вещества.

Первые называют капельными жидкостями и считают, что сжимаеиостью их можно пренебречь, вторые же, в отличие от первых, названы сжимаемыми жидкостями. Из сказанного выше следует, что на грани параллелепипеда действуют нормальные к граням давления. Кроме этих сил, на параллелепипед могут действовать еще и объемные силы (например, сила тяжести). Если мы обозначим буквами Х, У и Е составляющие объемной силы, действующей на единицу массы, то проекции этой силы, приложенной к параллелепипеду, будут рХйхг1уг1г, р Мха й и рЫхоуг1г.

Пусть р есть давление жидкости в точке М. Оно является функцией от координат этой точки. Силы давления на грани МОЕЯ и ВСНК соответственно будут р У г и — (р + +, 'Ух) ду 1г. Сумма проекций на ось ОХ всех приложенных к параллелепипзду сил, как это нетрудно видеть, выразится так: р бу ггг — (р + — г1х) гну газ+ рХйхйуг1г, или после сокращений (РХ вЂ” др) ЫУЬ. (ру — ) дхИусЬ и (рŠ— «) ИгЫуИг. Составляя уравнения равновесия, мы приравняем эти суммы нулю.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее