Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения

СОДЕРЖАНИЕ. Введение. 1. Понятие о диференциальном уравнении ......... ° 2. Порядок и степень диференциальиого уравнения 9 3. Диференциаллное уравнение как результат исключения произ. вольных постоянных 9 4. Общий, частный н особый интегралы диференциального уравнения 9 5. Интегральные кривые диферснпиального уравнения . 9 6. Замечание об интегрировании диференциальных уравнений Г л а в а 1. Диференциальные уравнения первого порядка. 7. Диференциальпые уравнения с отделяющимися переменными 8. О полных днфереициалах 9 9. уравнения, левая часть которых есть полный диференпиал 9 10. О методах интегрирования диференциальных уравнений первого порядка 9 11. Однородные уравнения 9 12.

Линейные уравнения первого порядка $13. Интегрирующий множитель . 9«14. Особые интегралы диференцнальиых уравнений первого на- рядна 11 18 29 38 37 39 45 62 74 79 84 91 96 108 111 113 1' л а в а 11. Диференциальные уравнения второго и высших порядков. 9 15. Диференцнальные уравнения вида у(э) =у(х) . 9 16. Гиперболические функции 17. Линейные диференциальные уравнения высших порядков .

9 18. Однородные линейные диференциальиые уравнения с постоянными коэфипиеитами 6 19. Неоднородные линейные диференциальные уравнения с постоянными коэфициептамн 9 20. Способ вариации произвольных постоял ых . 9 21. Уравнение Эйлера . Гааза 1!1. Эллиптические функции и функции Бесселя и связанные с ними задачи. 9 22. Эллиптические интегралы и эллиптичес«не фу«кцип Якоби . 9« 23. Эллиптические функции Венерштрасса % 24. Функцин дзета и сигма 9 25.

Вычисление эллиптических функций э 26. Интегрирование уравнений посредствоч степенных рядов 9 27. Ганка-фун«ции 9 28. Уравнение Бесселя; функции Бесселя . Г л а в а 1Ч. Интегрирование систем обыкновенных диференцнальных уравнений 9 29. Общий хол решения задачи .

1 9 30. Способ Эйлера интегрирования системы линейных однородных диференцнальных у равнений с постоянными коэфициентами ° 1 Глава Ч. Приближенные методы интегрирования днференциальных уравнений. 9 31. 0 способах отыскания приближенных решении . 9 32. Способ Пикара вычислен, я кнтегралов лиференциальных уравнений первого порядка 9 33.

Способ Ручгг-Кутта вычисления иктегралов диференпиального уравнения первого порядка в 34. Способ Рунге-Кутта вычисления интегралов системы двух уравнений первого порядка или одного уравнения второго порядка 5 35. Способ Рунге-Кутта вычисления интегралов системы двух уравнений второго порядка .

5 36. Лиференпиальиое уран~ение „веревочной" кривой 5 37. Интегрирование уравнения у" =у 1л) о помощью веревочной кривой 5 38. Графический способ интегрирования диференниальных уравнений второго порядка при помощи кругов кривизны Библиография 132 138 141 144 146 149 154 ф 1. Понятие о диференциальном урнвнении. Всякое физическое явление характеризуется одной или несколькими величинами, измерить которые непосредственно удается далеко не всегда.

Часто приходится довольствоваться измерением не тех величин, которые нас интересуют, а других, связанных с первыми определенными соотношениями. Соотношения эти могут быть представлены в конечной или диференциальной формах. Обычно бывает легче установить зависимость между диференциалами зависимых друг от друга величин, чем между самыми этими величинами. Объясняется это тем, что, оперируя с весьма малыми количествами, мы можем делать допущения, упрощающие аадачу установления зависимости между этими количествами и не отражающиеся на результате благодаря предельному переходу. Получаемые после выполнения предельного перехода зависимости содержат производные рассматриваемых величин и носят название диференциальных уравнений.

Так как нашей конечной ценно является получение зависимости в конечной форме, при которой, измерив одну величину, можно определить и другую, зависящую от первой, то, составив диференциальное уравнение и получив, таким образом, зависимость между величинами в диференциальной форме, мы должны еще решить задачу о преобразовании полученной зависимости: представление ее в конечной форме. Эга задача носит название интегрирования диференциального уравнения. Поясним сказанное на примере из кинематики. Пусть требуется установить зависимость между путем г, пройденным некоторой точкой, и временеи г, причем точка эта движется неравномерно, т.

е. ее скорость э есть функция времени = ~й). Так как нзт возможности непосредственно найти зависимость между з и 1, то попытаемся установить ее для элемента пути и элемента времени. Для этого обозначим весьма малый промежуток времени через мг и соответствующий этому промежутку времени путь через Ьг. Для такого — весьма малого — промежутка времени сделаем допущение, чтолвижение равномерное, т. е. что скорость постоянна; тогда Написанное равенство только приближенное; оно станет точным, если мы перейдем к пределу, полагая, что дг' стремится к нулю. Делая это, получим уже точное равенство лз дг' откуда Нэ = и ~й или гааз = э (1) Ж.

Мы установили зависимость между диференциаламн с1г и гО и получили простейшее диференциальное уравнение. Пусть нам быдо известно, что э(1) = 2П тогда наше диференциальное уравнение запишется так: гЬ = 2Ш или — = 21. лэ лг Для получения зависимости межлу з и 1 в конечной форме проинтегрируем его. Получим; Произвольная постоянная С, представляющая собой начальный путь, может быть найдена лишь в том случае, если известно значение величины з для какого-либо момента времени 1.

Например, если известно, что э = О при 1 = О, то и С= О. Следовательно, лля этого случая э = Р. й 2. Порядок и степень диференциального уравнения. Найленное э предыдущем параграфе лнфереициальиое уравнение содержит в себе лэ аргумент 1 и произволную — от неизвестной функции э по аргументу П лг В более общем случае в состав диференц иального уравнения могут войти не только аргумент и производная от неизвестной функции по аргументу, н о и сама не и заест иа я функция, т. е. диф ере нци ально е уравнение может иметь в ид Е (х, у , у' ) = О, ки гле х — аргумент, у — функпия. а у = — „- — производная от у по х.

Уравнение (1), содержащее произэолную первого порядка, назыззется диференциальным уравнением первого порядка. Вообще: порядком лиференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящея в его состав. Общий внд лиференциального уравнения и-го порядка таков: Е(х, у, у', у",..., у1Ш) = О. (2) Степенью диференциальиого уравнения называют высшую степень производной высшего порядка, входящей в данное уравнение. Например, уравнение 1Х (у"')з+ ху'у" — (х+ — ) (упк = О к) — третьего порядка и второй степени'). т) Понятие степени лифереициазьного урзвнеяия ие играет сколько- нибудь заметной роли в теории этих уравнений.

дз дзз дх„, дх"' д'з д'е') О дхз ах" 1 дх дх Г/хм ха,...,х, з, —, дзз > дхддх Здесь х„хя, ..., х обозначают незйвисимые переменные, а я — функцию этих переменных. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только обыкновенных диференцизльных урзвнений. В 3. Днференцнальное уравнение как результат нсклшчения произвольных постоянных. В й 1 было сказано, что диференциальное уравнение может быть получено как результат отыскания зависимости между диференциалами двух фнзяческих величин. Покажем, что к диференциальному уравнению можно также прийти путем и с кл юч е н и я п о с т о я н н ы х из уравнения, выражающего связь между этими величинами в конечной форме.

Пусть дано уравнение 14) в котором С„ Сз, ..., С„ обозначают какие-либо постоянные и притом произвольные величины. Требуется составить диференциальное уравнение, в которое не входили бы постоянные С„ Ся, ..., С„ и которое бы выражало связь между х, у и производными от у по х. Для этого продиференцировав и раз по х уравнение (4), получим: у" = 1е1х, С„С, ..., С„), У<Ю =Ут"У(х, Сп С,, С„). Мы получили систему, состоящую из (и+1)-го уравнения, считая в том числе и данное уравнение (4). Возьмем какие-либо и из урзвненнй втой системы и, презполагзя, что эти и уравнений разрешимы относительно постоянных С„ С, ..., С„, определим значения этих постоянных в зависимости от переменной х, функции у и ее производных по х.

Подставляя найденные значения величин Ся Ся, ..., С„ в оставшееся (и + 1)-е уравнение, мы получим зависимость Г(х, у', у", ..., уш>) = О, 12) т. е. получим обыкновенное диференциальное уравнение и-го порядка. П р и и с р, Исключить постоянные С, и Сз нз уравнения у — Сааза + С езх Уравнение (2), в котором неизвестная функция зависит только о одного аргумента, называется обыкновенным диференциалья ы м у р а в н е н и е и. Если же неизвестная функция, входящая в диференциальное уравнение, зависит от нескольких аргументов, то уравнеяие называется диференциальным уравнением в частных и р о и з в о д н ы х. Общий вяд такого уравнения: Так как для нсключеяня двух величин Сг н Сз надо иметь трн уравнения,.

то, продиференцировав заданное уравнение два раза по к, будем иметь систему: у = С,е™ + Сзезх у' = 2С,етх + ЗС етх н у" = 4Сге™+9Сет . Исключение иостоянных Ст и Сз проще всего произвести так. Помножим первое уравнение иа 6, второе на — 5 и результаты сложим с третьим, Получим у" — 5у'+ бу = О, т.