Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 4

Обозначая результат интегрирования буквой У, получим Но д +д У +д др дУ дУ дх ду ду Вычитая это равенство из 18), имеем ( д ) 19) В этом уравнении все известио, кроме функции У. Из него можно будет определить У вЂ” У, а стало быть и У, в том лишь случае, когда выражение дУ М вЂ”вЂ” ау необходимо и достаточно, чтобы имели место соотношения: дМ дтт' дЛ дР дМ дР ду дх' да ду ' дг дх' (1О) 7. Рабогва сил, имеющих потенциал.

Если точка движется под действием силы Р, проекцчи которой иа координатные оси равны Х, У и Я, и проходит элементарный путь бг, то работа ИТ, совершаемая силой Р на прот:женки этого пути, определяется равенством ЫТ= Хбх+ Гау+ ЯсЫ, где Ых, Ыу и Ыз — проекции пути ~Ь иа координатные оси. Работа вообще зависит от длииы пройденного пути. Но существует весьма 19 есть функция от одного только у. Чтобы проверить это обстоятельство, продифереицируем рассматриваемое выражелие по х. Мы получим ( ду) дФ ( ду) дМ (дх) дФ дМ дх дх дх дх ду дх ду в силу условия 17). Следовательно, М вЂ” — не зависит от х и есть дУ ау функция одного у.

Теперь имеем У вЂ” У= ~ (М вЂ” — У) бу, откуда находим У. Сказанное можно распростраиить на случай многих переменных. Можно доказать, что для нахождения функции У из уравнения лс1 = М бх-»- Д~~у+ ~~д важный случай, когда для вычисления работы нет необходимости знать, по котоРомУ нз пУтей Яп Яз илн Я (фнг, 4) пеРеместилась точка, а достаточно знать только ее начальное положение М, и конечное М,. Это тот случай, когда проекции Х, г и Я силы являются частными производными от некоторой функции У соответственно по х, у н л, т.

е. Х= — г= — и дУ дУ дУ дх ' ду дг Функция У называется потенциальной или силовой функцией, а сила ) — силой, имеющей потенциал. В этом случае 81 йт ~Ш=Хах+ Ыу+Ъ1л н, следовательно, ЮТ=бУ. Интегрируя это равенство от начального положения точки М, до конечного М, находим т= Уа — У,. Фиг. 4. Это значит, что работа силы, имею- щей однозначный потенциал, не зависит от формы траектории н равна разности между значениями потенциальной функции в конечной и в начальной точках. Заметим, что проекции Х, г' н л.

силы, имеющей потенциал, должны удовлетворять условияч: дХ д) дХ дх д)' дх и ду дх ' дл дх дл ду ' Мы видим, что свойства полного диференциала находят себе ближайшее приложение в учении о работе. $ 9. Уравнения, левая часть которых есть полный днференцнал. Если дано уравнение ЛИх+)Иу=О, левая часть которого есть полный диференциал некоторой функции У, то будем иметь аУ= О, откуда общий интеграл У = сопз1. П р н м е р 1. 13хту + !и у) дх + (ха+ — + сову) ду = О. у Здесь М = Зхеу + 1н у, М = ха + — + соя уй дМ 1 ддГ 1 у — = Зла+ — н — = Зхт+ —. ду у дх у' дМ дог Стало быть — —, а следовательно, из уравнения ду дх ' дУ= 13хту+ 1ну) дх+ (ха+ — + сову) ду у можно найти функцию У.

20 Рассматривая у как постоянное, находим сначала У ~ (Зхту+ 1пу) ох = »ау+ х1пу, затем Ну = — Нх + — Ну = (Зхзу+ 1пу) ох+ (х'+ — ) йу ар ау I хт дх ду у и, далее, л(У вЂ” У) созуну и У вЂ” (г=з(пу, У = хзу+ х1пу+ з1пу. т. е. Общий интеграл хзу+ х1пу+ з)пу = С. П ри м е р 2. (2ху+»а+у») их + (ха+ 2уг+ хг) лу+(уз+ 2»х+ ху-1- + соз г) яг = О.

Условия (З) в данном случае имеют место, что нетрудно проверить. Ищем функцию У, определяемую равеяствсм яУ= (2ху+ »а+у») их+(хт+ 2уг+ хг) ау+ (ут+ 2»»+ ху+ ссз ») я». Считая у и г постоянными, находим интеграл У= ~ (2ху+ »я+у») Нх = хту+ хгз+хую Диференцируя, имеем яУ= (2ху+ »а+у») ох+(ха+ хг) ну+ (2»х+ ху) яг. Вычитая лУ нз ИУ, получим и (У вЂ” У) = 2у»оу+ (у'+ соз г) г(». Считая г постоянным, находим интеграл И'= ~ 2у»я» =утг.

Далее, я Б' = 2у»яу + утя». Вычитаем е)Р из п(У вЂ” У); находим о (У вЂ” Ъ' — %') = соз»е», т. е. У вЂ” 1' — 'йг = з(п г. прн условии дМ дМ ду дх что — = гИ. Так как при составлении втой про- дУ дх у рассматривался как постоянная, то Отсюда следует, 'неводной аргумент н У(х, у) = ) М 1х+ ч (у). (11) Отсюда У= И+ %'+з1пг= »ту+хат+»у»+уз»+з(пг. Общий 1интеграл хту+ х»з+ хуг + уз»+ з1п г = С. Кромщ указанного сейчас приема дадиы еще один способ отыскания ФУЮнцщи по ее полному диференциалу.

Пусть дано 'р Ы = ~ Аг(хо, у) ау+ Ф (х ). Но формула (11а) дает Ф(хо) = (у(хооуо) ' Подставив последние два выражения в (11), найдем (о(хо у) = У (хоо уо) + ~ М (хо у) ах+ ~ А! (хоо у) а!у. Жо Ро Таким'же образом можно получить формулу ао Р (о(х у) = (г(хо, уо)+ ~ М(х, уо) оух+ ~ Аг(х, у) с(у. Жо Ро Аналогичная формула для случая трех переменных но(У= М г(х+ й!г(у+ Р г(з будет (12) (12а) У(х, у, з) = У (х„уо зо)+ / М(х, у, з) с(к+ Жо Р о + ) оо)(хо, у, з) Уу+ ~ Р (хо, уо, з) от' . Ро оо П р и и е р 3.

Проните1рнровать уравнение (2х а!ну — у соа х+ !п х) дх+ (ха сову — !ну — з!п х) Лу = О. дМ дФ Так как — =2хсозу — ссзх= —, то левая часть уравнения есть пол- У дх ' ный диференцнаа функции У. Согласно (12), полагая .со = уо = О. имеем оо Р (у= У(0, 0) + ~ (2х а!пу — уссах+!пх) дх — ~ !пуоГу, о о т. е. У=(у(0, О)+(ааа!пу — уа!пх+х!пх — х) ~ — у1пу~ . интеграл Ха З!ну — у а!п х + х !п х — х — у1пу + у = С, Общий где ~= — У(0, 0) =О. Здесь хо — некоторое фиксированное значение х.

Точно также найдем (о'(х, у) = ~ Ж(х, у) ооу + ф (х), Ро где у — также некоторое фикоированное значение у. Полагая в (11) н в (11а) х =хо и сравнивая результаты, найдем % 1О. О методах интегрирования диференциальных уравнений первоГо порядка. Рассмотренные нами выше уравнения с отделяющимися переменными и полными диференциалами представляют собой два простейших типа уравнений первого порядка. При интегрировании прочих типов уравнений первого порядка обычно стараются сперва привести их к одному из этих двух основных типов. Для достижения этой цели существуют два метода: 1) отделение переменных и 2) метод интегрирующего множители. Сначала мы познакомим читателя с двумя типами уравнений — однородными и линейными, в которых можно произвести отделение переменных в общем виде.

Затем вкратце изложим метод интегрирующего множителя и дадим ряд примеров на применение этого метода. ф 11. Однородные уравнения. Функция «1х, у) называется однороднойй функцией этих переменных порядка т, если при любом 1 справедливо тождество «(гх, 1у) = — 1 «Гх, у). Полагая в этом тождестве 1= —, находим 1 х' «1х,у)=х'"«(1, Я. Отметим, что «(1, †) зависит только от одной переменной — .

ут У х) х з1ы подчеркнем это обстоятельство, введя обозначение Однородная функция характеризуется, таким образом, тождеством «(х, у) = х'"е ( — ) . Например, функция «(х, у) =лэ+хеу — узеч =хе(1+ — — — е~) =,хз«(1, — ) х х" ) ' ~'х) — однородная, третьего измерения. Если в диференциальном уравнении М пех + Дг е1у = О коэфициенты М и ДГ суть однородные функции одного и того же измерения, то уравнение называют однородным. Переменные могут быть в нем отделены подстановкой у= 1х, где 1 — новая переменная.

В самом деле, если М и М вЂ” однородные функции измерения т, то М=хму(~), еч'= "'ф( — ), и дифереициальнпе уравнение можно написать так: у(У) х-~-,®гу=о. ! Но У =ь' и ь(у =хам+Их. Поэтому уравнение будет Ь(в)+1~(в)~ х+х~(г) А =О или н.с ф (г) аг х т (г) + г( (г) — +— = О. Здесь переменные отделены.

Интегрируя, получим у'(г) о'г 1пх+ ~,(„+„,(б — — С, Эго есть общий интеграл. П р и и е р. (хь — ху) ну +уь ах = О. полагая у=гх(ау=хат+вал), после подстановки и сокращения на х' получим (1 — Г)хги .~- Гах = О или — -(- ~ — — !)(и = О. Ах /1 Интегрирование дает 1пх+1и à — Г= 1и С или У у = Сее. 8. Отражательнал поверхность. Определим форму зеркала, отражающего все лучи, исходящие нз данной точки О, параллельно. данному направлению ОХ. ПриИ уе(ь .5) предположим, что ОМ есть один из лучей, отражаемых по йаправлению МР (~ ОХ.

А к Д' Поверхность зер- кала пересекает плоФиг. 5. скость чертежа по некоторой кривой, проходящей через точку М. Нормаль к кривой в этой точке будет биссектрисой ,/ ОМР, т. е. линией М(;ь; касательная к искомой кривой — АМ. Обозначив координаты точки М через х и у, будем иметь ОА = ОЯ = ОМ = ф' х'+уэ, а из треугольника ДГМАь у=(у'хв-)-уз+ х)(па. Но 1 а = — „У; следовательно, уах=д хя-(-уе+х)Ыу. Мы получили однородное диференциальное уравнение.

Чтобы отделить переменные в нем, положим х=ву; тогда Ах=уаг+Иу. После подстановки и сокращения на у получим уж=)'1.+в Ау; — ау у У1+ ~' Интегрирование дает 1пу = 1и (1+ )Г1-(- ГЯ) +1и С, или уа = СЯ+ 2Сх. Искомая кривая — парабола, в фокусе которой помещается источник света. Отражательивя поверхность †параболо вращения. ф 12. Линейные уравнения первого порядка.

Так называют уравнения вила у'+Ру= К (1З» в которых козфициенты Р и 1~ суть функции только от х. Применим к его интегрированию способ Эйлера †спос введения произвольных функций. Положим у=ив, где и и о — некоторые неизвестные функции от х. Внося значение у в уравнение (13), получим и'о+и(о'+ Ро) = 1Е'. Функцию о выберем твк, чтобы о'+ Ро= О; откуда и=) Це™т(к+С и, следовательно, общий интеграл — ~~ С~ ( +С] (14) П р и м ер.

у'+ — = — . у сов х 1+х 1+х ' Полагая у = ив, имеем о 1 сев х и'е+ и(и'+ — ) 1+х) 1+х ' Выбираем функцию в так, чтобы о ии йх в'+ = О, т. е. 1+х ' о 1+х' 1 Отсюда о =, следовательно, 1+х ' ли — сев х, йх и = в1п х -+ С, яьяк+ С 1+х Я. Диференциальлое уравнение силы переменного тока в случае, когда в цепи есть свмоиндукцин и омичеекое сопротивление. Предполрлтим, что в цепи, омическое сопротивление которой равно ать, сила в таком случае и'о= 1,ь.

,Из зтих двух уравнений мы определим функции и и о. Частное решение (С= О) первого уравнения будет 1по+~ Рт(х=О или о=е Подстановка о во второе уравнение дает т1и = Ь~е т Нх, тока 1 возбуждается злектродвижущей силой Е. Сймоиндукция равна Е. Пусть известно, что электродвижущая сила меняется по закону Е = Ео з!п а1, (15) где Е и а — постоянные. Требуется определить силу тока в момент 1, зная, что в момент 1=0 она равна нулю: 1о=О.