Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 3

Требуется найти зависимость между величиной Р и временем г. Заметив, что скорость прироста выражается производной — — в ЛР Ж обовначив положительный коэфициент пропорциональности буквой Ф, будем иметь — =йР иР лг в случае прироста н ЛР— = — 'нР лг в случае убывания. Отделяя в первом уравнении переменные, находим Р =М, откуда, интегрируя, получим Р = Сеь".

Но так как в силу начального условия при 1=0 имеем Р=Рв. то С=Р и Р о Для случая убывания будем иметь Р =Р е-"'. — о л. Диференииальное уравнение растворения твердых тел. Предположим, что прн постоянной температуре скорость растворения твердого тела в жиляости пропорциональна количеству этого вещества, еще могущего раствориться в жидкости до насыщения последней (предполагается, что, во-первых, вещества, входящие в раствор, химически не действуют друг иа друга, и, во-вторых, раствор еще далек от насыщения, так как иначе линейный закон для скорости растворения непри- меним). Пусть Р— количество вещества, дающее насыщенный раствор, и х — количество уже растворившегося вещества. Тогда получаем дифереициальное уравнение Их — =я(Р— х), аг где я — известный из опыта коэфипиент пропорциональности, а 1— время.

Отделение переменных и ватем интегрирование дают х= Р+ Се-т. Но х = О в начальный момент при ~ = О; поэтому С= — Р, и окончательно, х = Р (1 — е-ги). с1О= — й(Т вЂ” Т ) И; адесь я — коэфициент пропорциональности; знак минус поставлен потому„ что потеря тепла й(Š— величина отрицательная. Но, с другой стороны, имеем СС= тс(Т вЂ” Т), где т — масса тела, а с — его теплоемкость. Допуская, что тепло- емкость есть величина, не зависящая от температуры, найдем дО= дТ.

тссг Т = — 'я (Т вЂ” Те) с(с. Следовательно, Отделив переменные и проинтегрировав это уравнение, получим М Т Ть+ Се Если в начальный момент (при ~= О) температура Т= Т,, то С= Т,— Т Т = Т + ( Т, — Ть) е 4. Усовнение времени, необходимого для истечения воды через отверстие в дне резгрвуара.

Предположим, что из резервуара, имеющего форму параллелепипеда с плошздью основания Я (фиг. 1), истекает вода через малое круглое отверстие АВ, проделанное в дне. В начальный момент У=О высота уровня воды пусть была й. В течение времени Ш через отверстие пройдет объем воды, равный сыэггг. Полученное решение дает зависимость количества растворившегося вещества от времени 1. 8.

Диференциальное уравнение температуры охлилсдаюгкегося тела. Пусть Т вЂ” температура тела, а Тс — температура окружающей среды и Т) Т. По известному закону Ньютона бесконечно малое количество теплоты с((с, отданное телом в течение бесконечно малого промежутка времени сИ, пропорционально разности температур тела и окружающей среды: За тот же промежуток времени Ж уровень воды в резервуаре понизится на — дг. Очевидно, что Фиг. 1. Отделив переменные в полученном нами диференциальном уравнении и проинтегрировав его, получим 5 13 да — -+ с.

ея Г д Первоначальная высота воды в резервуаре была равна Ь, т. е. з = й при ~=0. Следовательно, С= ав г' а' Приняв это во внимание, получим окончательно = —;.-~/ -",Ь'й — ~' ) истечения Т воды из резервуара найдем из условия, окончания истечения величина а = О.

Приняв зто, Время полного что н момент получим Я /2Л Цг г'2 аю г д ам Г'йа где %' — первоначальный обьем воды в резервуаре. Необходимо заметить, что последнее равенство является грубым приближением, так как при малых з величину а нельзя считать не зависящей от а. ЕСЛИ, НаПрИМЕр, Л = 3 ай 5= 200 ЛГт; м = 1,25 Ма1 а = об25, тО г' 2. 200 1тз Т= =- 3 мнн. 20,2 сек. 0,625 1,25 ° 1Тб,з В случае, когда горизонтальные сечения резервуара изменяются, будем иметь о =у"(з), и наше диференциальное уравнение напишется так: — УМ ею У 2н Ж = — — -=.г1з. 1Та ' т) Зависимостью а от высоты уровня волы в резервуаре в дальнейшем пренебрегаем, т. е.

считаем а ие зависящим от а. 14 Здесь е — коэфициент, величина которого зависит от диамет ра отверстия и от высоты уровня воды ') в резервуаре, ю — площздь отверстия, а о — скорость истечения воды. Как долазывается в курсах гидравлики, скоросгь о истечения из резервуаров воды со свободной поверхностью равна ~Т2на, где и— ускорение силы тяжести, а з — высота 8 уровня истекающей воды. Поэтому количество воды, вытекшей за промежуток времени Ж, будет аю ~Г2у'Ш. После интегрирования получим " у(») еи )»2у „~ )С» В течение времени аг через от- верстие АВ площадью и рройдет объем жидкости ем)г 2ьь(» — »,) агф и поэтому — 5 а» = ем )гс 2у(» — »,) йг, или — 'г' 2дЖ = — — =--- —.

у" » — »,' Фиг. 2. с(и = й» вЂ” й», = — аг», откуда 5+5, 1= 5 Полагая» — », = и, получим 5г аи а» = — — -. Вследствие этого . = 5-(-5, 5г аи — — )/2уШ= 5 5+5г 7 и а отсюда а ,~ )Си 5+ )'2д Т= —— 5+5, 5, ь Выполняя интегрирование, найдем 55г е' 2Л ° (5+5г) УК' где буква,'~ й ооозначена начальная разность уровней. Если 5=5,=100 мг; /г=2,5 м; и=с,5 мс с=0,62, го будем иметь Т= 114,5 сек. б. Диференцаальное уравнение движения грузоподьемных вагонеток. В виде более сложного примера рассмотрим движение механизма, известного под названием бремсберга и служащего для подъема и опускания грузов.

Механизм этот состоит из двух вагонеток М, и Мг, соединенных канатом, перекинутым через блок О (фиг. 3). Вагонетки 15 ь т= — — ~ й,— ' У(») 1 е У(») еи 3~ 2у,~ 3» еа ~/2й,~ у" » о б. Уравнение времени, необходимого для установления сдинакоенх уровней жидкости в сообщающихся сосудах. Положим, что оба сосуда имеют форму параллелепипедов, у которых площади оснований 5 и 5, (фиг. 2). Количество жидкости, теряемое сосудом 1„ равно количеству жидкости, получаемому сосудом П. Поэтому — 5с(» =5, й»„ отсюда д» вЂ” а» = — — а».

5+ 54 г движутся по рельсам, уложенным на плоскостях АВ и АС, наклоненных под одним и тем же углом а к горизонтальной плоскости. Пренебрегая силами сопротивления и считая рельсы гладкими поверхностями, мы можем сказать, что вся система движется под действием силы тяжести. Эта сила имеет потенциал, и к движению системы грузов поэтому можно применить известное из механики уравнение ',' =и-~-ь, а=1 называемое интегралом живой силы. Буквы т, и оа обозначают массу и скорость точки (части) М, системы.

Левая часть равенства выражает живую силу системы. Буквой У обозначена потенциальная функция сил тяжести; Ь вЂ” постоянная. Фиг. 3. Пусть а есть расстояние от начала координат О до центра тяжести тележки М,. Если ь — длина всего каната, то расстояние от начала О до центра тяжести тележки Мя равно ь' — а. В таком случае абсолют- на ная величина скорости тележки М и части каната ОМ равна 1 1 лг ' так же как и абсолютная величина скорости тележки М и части каната ОМ,. Вследствие этого живая сила всей нашей системы г лата Сй 2 2 ~ г+ а+У +~~ )~ ~ЛГ~ 1=1 = — (гл,+лг, +д1.) ( — ), где гл, и гла — массы тележек, а д — масса единицы длины каната.

Теперь найдем потенциальную функцию Удейстзующих сил тяжести, приняв во внимание, что дУ дУ дУ вЂ” =Х вЂ” = У и — =Я. дх ' д да где Х, У и Я вЂ” проекции силы тяжести на координатные оси. Начнем с определения потенцяальной функции У, для силы тяжести тележки М.. 1б Вес тележки М, равен >л>д; его проекции на координатные оси будут Х,=О, 1",=т,г и У, =О, откуда У> У, = ~ т,ес!у = т,гу = т>дг з1п а. в Таким же способом получим, что Уа — — т й(!.— г) япа. Вес элемента а>а каната равен >уг>1а. Его потенциальная функция равна >глуа>а=>глав!пас!в, где е — расстояние от начала координат до элемента >~а, а у — его ордината, Потенциальная функция веса всей части ОМ, каната в г> Ув = дд в! п а ~ а>га = >ув в1п и ° —.

Таким же способом получим, что потенциальная функция веса части ОМ каната (>. — 8)в У =>уз в1па Так как У=О>+с>в+У +У4, то интеграл живой силы нашей системы запишется так: =кв!па!(т,— тв !!с)в+чав!-1-кв1па(та1.+ 2 )+ь. глв ч Для Ьпределения Ь воспользуемся начальными условиями: при в=О >!г .

пусть будет в=О и — „=О. Отсюда найдем, что Ь = — л яп а ~таУ. + — ). >!1Р 2 Следовательчо, 2 (т, + тв + Ф) ! — „) = л в1п а !(т — т. — ф) г + >уз~). Если введем обозначения Ьв= и 2лв= т, — тв — еС т>+тв+ 4Ь ' / >!г тв 4лв то бУдем иметь ~ — „) = — в(г+Ьвгв), а после отделениЯ пеРеменных лег = лз>д 2 1> Ьвгв + г >!е Положим теперь Ьаг+1=за; в таком случае =лат.

УИ вЂ” ! Интегрирование дает 1п(в+1/вв — 1) = не+С или 1п(у~1+Ьвг+Ь у' г ) =не+ С. В силу начальных условий С= 0> а значит !>'1+ Ь'г+ Ь )/ г = е"'. 2 в . вю. ю. о, о вч>> а Умножение обеих частей последнего равенства на )/1+АЬ вЂ” л ~/ г дает е-ш= у' 1+ Рз — й )Гг; теперь вычтем это равенство из предыдушего. После возведения результата в квадрат получим / еш — е-"~~а 1 йэг=~ ) т. е. з= — зпел1 2 )1 ',' Ф ч 1 — ~ — ч~з~,эл~ л При числовых данных для каждого момента ~ можно вычислить расстояние г, пользуясь таблицами гиперболических функций.

$8. О полных диференциалах. Рассмотрим выражение или М г1х+ Ийу ив м — лх+ — Иу. дУ дУ дх ду Так как величины дх и Ыу совершенно произвольны, то последнее равенство возможно лишь в том случае, когда М= — и Лг= —. дУ дУ дх ду ' Диференцируя первое из этих равенств по у, а второе по х, имеем дМ даУ дМ даУ ду дхду дх ду дх ' Но так как де у дау Докажем второе положение.

Пусть дМ дФ ду дх ' дгГ дМ то дх ду ' 18 МЫх+ Лгг1у, в котором М= р(х, у) и йГ=ф(х, у), и выясним, при каком условии оно представляет собой полный диференциал от некоторой функции У и как эту функцию найти. Для этого докажем два положения: 1) е с л и в ы р а ж е н и е М йс+ М~Уу е с т ь п о л н ы й д и ф еренциал некоторой функции У, то имеет место соотношение дМ дХ ду дх ' 2) если имеет место это соотношение, то всегда можно найти такую функцию У, для которой наше выражение служит полным диференциал ом.

Начнем с доказательства первого положения. По условию ЛЫх+ДГЫу=лУ. Но известно, что У= — Ь+ ау. дУ дУ дх ду Стало быть Покажем, что из уравнения ~Ш = М Ы с + Жду (8) всегда можно найти функцию Ы Прежде всего будем интегрировать выражение Мбх, рассматривая у как постоянное.