Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 2

е. диференцнальное уравнение второго порядка и первой степени вида р (у, у, у") = о. й 4. Общий, чцстный н особый интегралы диференциильного уравнения. Проинтегрировать диференциальное уравнение л-го порядка г (л, у, у', у",..., убз)) = 0 (2) зго значит'найти для неизвестной функции такое выражение функция которое является частным интегралом. Общий интеграл (4) уравнения (2) (и-го порядка) содержит и произвольных постоянных величин и может получить бесчисленное множество значений, Это объясняется тем, что с помощью уравнения (2) можно описать целый класс физических явлений.

Для нахождения зависимостей, характеризующих какое-либо определенное физическое явление етого класса, т. е. для получения частного интеграла уравнения (2), мы должны определить все произвольные постоянные, входящие в его общий интеграл (4). Чтобы найти их, нам должны быть заданы дополнительные условия. Такие условия всегда и задаются (нли могут быть найдены иа эксперимента) и носят название н а ч а л ь н ы х и г р а н и ч и ы х у с л о в и й.

Этих условий лолжно быть стольно, у=У(х, С„Сз, ..., С„), (4) в состав которого вошли бы аргумент л и и произвольных постоян- ных С„С~ ..., С„и которое, будучи подставлено на место у в данное ) уравнение (2), обратило бы его в тождество. Выражение вида (4) называют общим интегралом (или об-)' щи м решен нем) уравнения (2). Если мы в общем интеграле произ- ~ вольным постоянным придадим какое-либо частное значение, то полу- чим так называемый частный интеграл (или ч астное ре- ш е н и е).

Так, например, для днференциального урзвнения второго порядка у" +у =О у = Сс соз х + Сз з!п х, содержащая две произвольные постоянные С, и Сз и удовлетворяющая урзв- иеикю (в чем нетрудно убедиться подстановкой), служит общим интегралом. йсая мы, наприиер, придадим величине Сз значение 2, а величине Сз — значе- ние — 3, то получим соотношение у= г. — зз)пх, сколько произвольных постоянных входит в состав общего интеграла (4) (т. е. такое число их, каков порядок диференциального уравнения) Полученное нами в б 1 уравнение Ыл = 2ГЛГ характеризует сОбой целый класс равнапеременных движений точки. Общий интеграл его л =та+ С. Чтобы получить зависимость между г и Г в одном вполне определенном движении, т.

е. для получения из этого общего ингеграла частного интеграла, мы должны казин-то образом определить произвольную постоянную С. Лля этого нам было дано начальное условие, т. е. мы знали, что в начале движения (прн Г=О) пройденный точкой путь был равен 0 (а=О). Подставив в выражение общего интеграла значения л и т из этого условия, нашли значение С' для нашего частного случая: С=О. Подставив же зто значение С в общий интеграл л = гт+С, мы получили частный интеграл г = га, дающий в конечной форме связь между л н Г для нашего частного случая.. !(роме общего интеграла, некоторые диференциальные уравнения имеют еще так называемые особые интегралы (решення).

Оии не могут быть получены иэ общего ингеграла нн при каких частных значениях произвольных постоянных и этим о "личаются от частных интегралов. Из общего интегрзла особые интегралы могут быть получены, если величины фф..., С„рассматривать не кзк постоянные, а как функции от х.

Подробнее об этом сказано ниже (стр. 10 и ЗЗ). й 5. Интегральные кривые диференциального уравнения. Интегралы диференциальиого уравнения можно интерпретировать геометрически. В выражении общего интеграла у = У(х, С„С, ..., С„) (4) аиференциального уравнения г" (х, у', у", ..., у1 )) = 0 (2). переменные х и у можно рассматривать как координаты точек плоских кривых, которые принято называть интегральными кривыми диференциального уравнения (2).

Входящие в выражение оощего интеграла (4) .. произвольные постоянные С„ Са, ..., С„ можно рассматривать как некоторые параметры. Тогда выражение (4) представит собой уравнение семейства интегральных кривых, изображающих частные интегралы уравнении (2), а само уравнение (2) будет диференциальным урзвнением всех его интегральных кривых. Число параметроа этого семейства равно числу произвольных постоянных в выражении общего интеграла (4) или порядку диференциального уравнения (2). Процесс получения частного интеграла из общего путем нахождения произвольных постоянных сводится с геоиетрвческой точки зрения к выбору из семейства интегральных кривых той, которая соответствует дополнительным (начальным, граничным) условиям, имеющим место для данного частного случая, Нахождение частгого интеграла уравнения, разобранного нами в б 1, .представляет собой выбор из сеь ейства парабол, заданного аналитически обпьим интегралом э=та+С, параболы, определяемой аначением параметра С, представляющего собой в данном случае расстояние от начала координат до пересечения искомой параболы с осью э.

Получив из начального условия величину С, мы нашли ту параболу, которая дает в графической форме зависимость между г и Г для нашего конкретного частного случая. Поскольку С в нашем случае оказалось равным нулю, то искомая парабола — та, которая касается оси Г в точке Г = О, Для каждой точки каждой интегральной кривой значения х, у и у' удовлетворяют данному диференциальному уравнению, а поэтому последнему удовлетворят также значения х, у и у', взятые в любой точке огибающей этого семейства интегральных кривых (так как каждан точка огибающей принадлежит одновременно какой-либо из огибаемых, т.

е. какой-либо интегральной кривой). Отсюда следует, что уравнение этой огибающей является также решением данного дибьеренциального уравнения. Особые интегралы геометрически представляют собой огибающие семейства интегральных кривых. Ниже мы рзссмотрим способы отыскания особых интегралов. Такое наглядное представление частных и особых интегралов помогает уяснить тот, указанный нами выше, факт, что особый интеграл не может быть получен из общего ни при каких значениях проиаволь.ных постоянных. Рассмотрим для примера диференциальное уравнение I уу уу' = — уг1 — уз~что можно записать так: — = — 1).

~/1 уь Его общий интеграл у= ='- г' 1 — (х — С)з кожно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых — кругов единичного радиуса с центрами иа оси л-ов. Каждый частный интеграл — одна из окружностей, а особые интегралы— огибающие этого семейства. В нашем случае эти огибающие — две прямые, проходящие параллельно оси х-ов на расстоянии единицы от нее, одна над, а другая под осью. Ил уравнения будут у Как нетрудно видеть, оба особые интеграла, удовлетворяя дифереициальному уравнению, ие принадлежат к семейству частных интегралов и поэтому ие могут быть получены из общего интеграла ни при каких значениях произвольных постоянных.

Для получения особого интеграла из общего, как указывалось выше, произвольные постоянные должны рассматриваться как некоторые функции от х. В нашем случае для получения особых интегралов у пз общего у = '- )' 1 — (х — С)з мы должны положить С равным х, т. е. считать произвольную постоянную С функцией от х (С = х). ф 6. замечание об интегрировании диференциальных уравнений. Число зилов диференцизльных уравнений, которые могут быть проинтегрированы в конечном виде, весьма невелико.

Скааанное относится ие только к уравнениям высших порядков, го даже к целому риду уравнений первого порядка. Это обстоятельство заставило нас 10 в настоящей книге ограничиться рассмотрением точько отдельных типов диференциальных уравнений, анакомя читателей с частными пригмани их интегрирования. Заметим, что вопрос об интегрировании диференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном аиде или нет. ГЛАВА Ь ДИФЕРЕНПИАДЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. й 7. Диференциальные уравнения с отделяющимися неременнымн. Если в состав диференциального уравнения первого порядка Р(х, у, у') = О производная у' входит в первой степени, то уравнение можно представить в виде о(х, у)+ф(х, у) ° у'=О или о (х, у) 0х + ф (х, у) ау = О, где коэфициенты о(х, у) и ф(х, у) при пх и пу являются функциями только от х и у.

Диференциальными уравнениями с отделяющимися п е р е м е н н ы м и называются уравнения вида о, (х) аа (у) Ых+ ф1 (х) ° фа (у) г(у =- О, .(5) в которых каждый из коэфициентов при диференцизлах представляет собой произведение двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая — только от у. Уравнения такого рода можно представить в виде Р а!х = О оу или Р г(х + (,) Ыу = О, получим уравнение с отделенными переменными 91(х) + Фа(У) ( О фт(х) та(у) (6) 11 где Р зависит только от х, а Π— только от у; таким образам получаем, что левая часть равенства зависит только от х и г(х, правая— от у и г(у.

В этом случае говорят, что переменные отделены д) уг от друга, и уравнение (5) называют урзвнением с отделенными 1ЕРЕМЕННЫМИ. Для того чтобы отделить переменные, разделим обе части уравнения (5) на произведение Интегрируя его, получаем общий интеграл в виде квадратур где С вЂ произвольн постоянная интегрирования. „Отделение переменных, †говор Лагранж, — по справедливости должно быть рассматриваемо как прекраснейшее средство, которое создали геометры для интегрирования уравнений первого порядка. В самом деле, после того как переменные в уравнении отделены, каждый член можно рассматризагь как частный диференциал, зависящий только от одной переменной. И тогда остается лишь взять интеграл от каждого члена, присоединив к результату произвольную постоянную".

К решению диференциальных уравнений с отделяющимися переменными приводятся очень многие физические задачи. Рассмотрим некоторые из этих задач. 1. Диференииальное уравнение непрерывного роста или убывания. Пусть известно, что скорость прироста (или убывания) некоторой величины пропэрпиональна наличному ее количеству (т. е. имеющемуся в данный момент 1). Пусть в начальный момент 1=0 величина была равна Р.