Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 25

В случаях, когда угол а получается большим (фиг. 48,о), гзмеряют не его тангенс, а тангенс угла С7ТвМ, образованного прямой Т,Тв с прямой ТЯ, параллельной оси О'г. Нетрудно видеть, что тангенс этого угла равен (~М и что !яа=у = —. 1 ОМ ' П р и м е р. В виде примера приводим графическое интегрирование уравнения у" +05у'+ з!ну = О, заимствованное из книги Нот!,1)!е ВИегеп!!а16!е!сйппйеп без!пйеп!епгз'. Начальные условия тааовьп при х = 0 функция у = 0 и производная у' = 1. В таблице приведены соответствующие чертежу численные значения (фиг. 49).

и Уп г Уп в!пу„ Применяя описанный прием, мы можем получить иногда радиус кривизны столь длинным, что его построение и тем самым построение соответствующего центра кривизны в границах чертежа становится невозможным. В этом случае прием приближенного построения инте гральной кривой должен быть несколько видоизменен. 152 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 5,0 5,5 6,0 6,5 0 0,43 0,78 0,89 0,83 0,56 0,15 — 0,22 — 0,51 — 0,67 — 0,67 — 0,49 — 0,19 0,10 0 0,41 0,69 0,78 0,74 0,53 0,15 — 0,22 — 0,48 — 0,62 — 0,6 ' — Оч7 — 0,19 0,10 1 0,79 0,48 0,10 — 0,33 — 0,71 — 0,80 — 0,69 — 0,44 — 0,17 + 0,17 0,48 0,60 — 0,50 — 0,80 — 0,93 — 0,83 — 0,57 — ОЛ7 0,25 0,56 С,70 0,70 0,54 0,22 — 0,11 — 5,66 — 2,57 — 1,45 — 1,23 — 1,96 — 10,55 8,40 3,!8 2,02 1,45 1,88 6,05 — 14,4 Описав из произвольного центра С окружность радиусом, равным единице т'фиг.

47), проводим радиус СР параллельно касательной к кривой МаТ, положение которой в силу начальных .условий вполне определено. Вычислив по формуле т',171) радиус кривизны р, мы вместе 1 с тем будем знать и кривизну Ка — — — в точке Мт. И если радиус ре Ра велик, то кривизна Ка мала. Отложив на касательной МаТ отрезок Маттт= Ьг, мы в то же время построим касательную ') в точке Р к окружности С и иа ней отложим отрезок РД=Кабг.

Этот отрезок отложим в указанном на фигуре направлении — в случае, когда ра( О, и в противоположном — при ра ) О. Затем из точки Щ как из центра, опишем дугу радиусом Кабг и отметим точку й ее пересечения с окружностью центра С. Соединив точки гс и С и проведя из точки ттт прямую ЛгМт параллельно гтС, отложим на этой прямой отрезок ттгМт =ба.

Тогда точка М, будет служить концом дуги круга кривизны; отыскание ее не требовало нахождения центра кривизны Са. Доказать, что дуга МаМ, принадлежит кругу кривизны, можно, проведя МаСа ) Ма1тг' и М,Са 1 ММт соответственно в точках Ма и М,. Рассматривая подобие фигур, нетрудно будет показать, что МаСа=ра. Мы здесь предположили, что радиус кривизны велик в начальной точке М. Совершенно понятно, что сказанное можно применить к любой точке интегральной кривой. ') На чертеже линия РО не является касательной к окружности, так как иначе чертеж делается неясным. БИБЛИОГРАФИЯ.

А. Таблицы специальных функций. 1. Янке Э. и Э м де Ф., Таблицы специальных функций, ГОНТИ 1939,— четырехзначные таблицы для бесселевых, сферических, эллиитнческих и некоторых других функций; содержат большое количество справочного материала (формулы н графики). Особенно подробно представлены функции Бессели от комплексного аргумента. 2. Глазенап С. П., Математические и астрономические таблицы, Акад.

наук 1932, — кроме специальных функций дан целый ряд других, полезных при вычислениях, таблиц: натуральных логарифмов, логарифмов от логарифмов и др. 3. М 1 л н - Т о м с о н Л. М., Эллиптические функции Якоби, ЛИТВУ 1933,— пятизначные таблицы функций с разностями: зп л, сп и и бп и и полных эллиптических интегралов. 4. Самойлова-Яхо итона Н., Таблицы эллиптических интегралов ОНТИ 1935, — пятизначные. 5. Н а у а зЬ! Ке 1! сЬ !, 5!еЬеп- ппб шеЬгз!еВ!Ке Та1е!п бег Кге!з- ппб НурегбеЯппйыопеп ппб бе!ел Ргобпй!е зож!е бег Оапипа!пп!г!!опеп, Вег!!п !.

5рг!пбег 1926,— большие таблицы: круговых и гиперболических н им обратных функций, е*м и гамма-функций. 6. Н а у а зЬ ! Ке! 1 с Ь К Та!е1п бег Веэзе!зсЬеп, ТЬе!а-Коде!. ппб апбегег рппк!!опеп, Вегйп у. 3рг!пает 1930,— многозначные таблицы для бесселевых, сферических и тэта-функций. 7. Ро! ! п Е., Рогшп!ез е1 !аЫез ппшбг!Янез, РаНз Оап!Ыег-'тй!агз 1925,— содерлгат таблнцыкруговых и гиперболических (10 знаков) функций; снабжены большим справочным материалом (формулами) и изобилуют более мелкими 3!и х ю а вспомогательными таблицами, как-то: ех, —, (соз х) !', соз х, !3 Г (л + 1) и др.

х В. Руководства по интегрированию обыкновеняых диференциальных уравнений и специальным функциям. 1. Смирнов В. И,, Курс высшей математики, ОНТИ 1936, т.11,стр. 77 — 206, т 111, стр. 499 — 733. 2. Г у р с а Э., Курс математического анализа, ОНТИ 1936, т, П, стр.261 — 470, 432 — 491. 3. П и а д лг и о Г., Интегрирование диференциальных уравнений, ГТТИ 1933. 4. Горт В., Диференциальные уравнении, ГГТИ 1933.

5. Го г ей вель, Обыкновенные диференциальиые уравнения, ОНТИ 1936. 6. Крылов А. Н., О некоторых диференциальных уравнениях, имеющих приложение в технических вопросах, Акад. наук 1933. 154 7. Степанов В. В.г Курс обыкновенных днференциальных уравнений, ГОНТИ 1938. 8. То р н т о н - Ф р а й, Обыкновенные диференциальные уравнения, ОНТИ 1934.

9. Кузьмин Р. О., Бесселевы функции, ОНТИ 1935. 10. Сикорский Ю. С., Элементы теории эллиптических функций с приложениями к механике, ОНТИ 1935, С. Приближенные способы интегрирования диференциальных уравнений. Кроме указанных в общих курсах днференциальных уравнений: 1, Крыло в А. Н.

Лекции о приближенных вычислениях, Акад. наук 1933. 2. О иноков Г. В., Численное интегрирование диференциальных уравнений, ГТТИ 1932. 3. Головнин Д. Н., Графическая математика, ГНТИ 1931. 4. Крылов А. Н., О расчете балок, лежащих на упругом основании, Акад. наук 1931.. 5. Рунге С., Графические методы, ОКАТИ 1936, 6. Скарборо Дж., Численные методы анализа, ОНТИ 1936.

7. Франк М. Л., Графические методы интегрирования диференциааьных уравнений, ОНТИ 1934. 82, С. С н к о р с к в й. Обмкновеннме диференииальнме уравненз». Государственное издательство технико-теоретической литературм. 1940 г. Индекс Т 21 5.4, Иад, уд 148. Редактор Б. А. Нз слаб. Техн. редактор Е. Г. Шпа . Сдано в набоР 287!К 1%8 г. Подписано к печати 2811 8040 г.

ФоРмвт 60 Х 92Лз. Объем 4рз бУм. л., рз7ь печ. л., 12 авт. л., 12,6 Уч. авт..ач 60 000 тнн. знаков в печ. л, ТиРаж 7000 зкз. БУмага фабРикв .Сокол . Уполном. Главлита уд А-2794. цена книги 4 р. 60 к., переплет 1 р. 60 к. Иабрзио в 4.9 тип. вм. Евг. Соколовоб треста .Полвграфкнигз", Ленинград, пр. Краснмд Командиров, 29. Отбечагано с матрац в 1-й Обраацовой тип.

треста,Полюрафннзга'. Москва, Валова», 28. .