Фейнман - 08. Квантовая механика I (Р. Фейнман, Р. Лейтон. М. Сэндс - Фейнмановские лекции по физике), страница 7

о.о. Двойное роеееяние в близ- кие конечнне еоетояния. Пусть у нас была бы только частица а; тогда у нее была бы определенная амплитуда рассеяния в направлении 1, скажем (1 1 а). Л частица Ь сама по ь себе обладала бы амплитудой (2 ~ Ь) того, что приземление произойдет в направлении 2. Если частицы не тождественны, то амплитуда того, что в одно и то же время произойдут оба рассеяния, равна попросту произведению <1 ~ а> <2 ! Ь>. Вероятность же такого события тогда равна )<1(й><2~Ь>~г, что также равняется (<1(а>)г)<2~Ь>~г.

Чтобы сократить запись, мы иногда будем полагать <1!а>=а„<2!Ь>=Ь,. Тогда вероятность двойного рассеяния есть !й !'1Ьг!г. Могло бы также случиться, что частица Ъ рассеялась в направлении 1, а частица а — в направления 2. Амплитуда такого процесса была бы равна <2~а><1) Ь>, а вероятность такого события равна )<2~а><1) и>!'=(а,~')Ь„~г.

Представим себе теперь, что имеется пара крошечных счетчиков, которые ловят рассеянные частицы. Вероятность Р, того, что они засекут сразу обе частицы, равна просто Ра — — 1ат ( г ! Ьч ! г+ ) ах! ~ Ьч ~ г. 12.31 Положим теперь, что направления 1 и 2 очень близки. Будем считать, что а с изменением направления меняется плавно, Зо тогда а, и а«при сближении направлений 1 и 2 должны приближаться друг к другу. При достаточном сближеник амплитуды а, и а, сравняются, н можно будет положить а, = а, н обозначить каждую из них просто а; точно так же мы положим и 6, — — Ь, =-- 6. Тогда получим Р, = 2 ( а ( ' ( Ь ! -'.

(2.4) Теперь, однако, предположим, что а и Ь вЂ” тождественные бозе-частицы. Тогда процесс перехода а в состояние 1, а Ь в состояние 2 нельзя будет отличить от обменного процесса, в котором Ь переходит в 2, а а — в 1. В этом случае амплитуды двух различных процессов могут пнтерферировать. Полная амплитуда того, что в каждом из счетчиков появится по частице, равна (! ~ а) (2! 6) '-(2,' а', (1; 6), (2.5) и вероятность того, что ими будет зарегистрирована пара, дается квадратом модуля этой амплитуды: Р, = ~ а,Ъ« -'; а«Ь, !» == 4 ) а )» ) Ь ! '. (2.6) В итоге выясняется, что вдвое более вероятно обнаружить две идентичныв бозе-частицы, рассеянные в одно и то я<е состояние, по сравнению с расчетом, проводимым в предположении, что частицы различны.

Хотя мы считали, что частицы наблюдаются двумя разными счетчиками,— это несущественно. В этом можно убедиться следующим образом. Вообразим себе, что оба направления 1 и 2 привели бы частицы в один и тот»не маленький счетчик, который находится на каком-то расстоянии. Мы определим накравление 1, говоря, что оно смотрит в элемент поверхности гь», счетчика. !!вправление же 2 смотрит в элемент поверхности дд'« счетчика. (Считается, что счетчик представляет собой поверхность, поперечную к линии рассеяния.) Теперь уя«е нельзя говорить о вероятности того, что частица направится точно в каком-то направлении нли в определенную точку пространства.

Это невозможно — шанс зарегистрировать любое фиксированное направление равен нулю. Коли уж нам хочется точности, то куя«но так определить наши амплитуды, чтобы онн давали вероятность попадания на единицу нло«цеди счетчика. Пусть у нас была бы только одна частица а; она бы имела определенную амплитуду рассеяния в направлении 1. Пусть(1 ~ а) = аг определяется как амплитуда того, что а рассеется в единицу нлои(ади счетчика, расположенного в направлении 1. Иными словамн, мы выбираем масштаб а„и говорим, что она «нормирована» так, что вероятность того, что а рассеется в элемент илои)ади аоы равна ((1(а)(»НЯ =(а (»дд.

(2.7) Если вся площадь нашего счетчика АЮ и мы заставим аБ, странствовать по этой площади, то полная вероятность того, что частица а рассеется в счетчик, будет ~ ( ~,)'дЯ,. (2.8) аз Как и прежде, мы хотим считать счетчик настолько малым, что амплитуда а, на его поверхности не очень меняется; зна. чит, а, будет постоянным числом, и мы обозначим его через а. Тогда вероятность того, что частица а рассеялась куда-то в счетчик, равна р =(а) АЯ.

(2. 9) Таким же способом мы придем к выводу, что частица Ь (когда она одна) рассеивается в элемент площади г(Я, с вероятностью ! Ь,('дЯ,. (Мы говорим оЯ,„а не ИЯ, в расчете на то, что лози'е частицам а и Ь будет разрешено двигаться в разных направлениях.) Опять положим Ь, равным постоянной амплитуде Ь; тогда вероятность того, что частица Ь будет зарегистрирована счетчиком, равна (2.10) Когда же имеются две частицы, то вероятность рассеяния а в сБ и Ь в сЬУ будет ( еА (' юг бааз = ~ а 1 ' 1 Ь | ' ЬУА8, (2 11) Если нам нужна вероятность того, что обе частицы (и а, и Ь) попали в счетчик, мы должны будем проинтегрировать оЯ, и аБ по всей площади ЬЯ; получится Р,=)а(з(Ь!'(Ля)з. (2.12) Заметим, кстати, что это равно просто р, рь в точности так, как если бы мы предположили, что частицы а и Ь действуют независимо друг от друга.

Однако, когда две частицы тождественны, имеются две неразличимые возможности для каждой пары элементов поверхности гЬУ, и д5,. Частица а, попадающая в гьу„и частица Ь, попадающая в сЬУ„неотличимы от а в Ыг и от Ь в Юз, так что амплитуды этих процессов будут интерферировать. (Когда у иас были две разли юные частицы, то, хотя мы на самом деле не заботились о том, какая из них куда попадает в счетчике, мы все же в принципе могли это уанать; так что интерференции не было. А для тождественных частиц мы и в принципе не можем этого сделать.) Мы должны тогда написать, что вероятность того, 37 что пара частиц очутится в Маги сакэ, есть | а, Ь + а, Ьг | э Ы8 аЯ . (2 13) Однако сейчас, интегрируя по поверхности счетчика, нужно быть осторожным.

Пустив а(Я, и сЮ страяствовать по всей площади ЛЮ, мы бы сосчитали каждую часть площади дважды, поскольку в (2.13) входит все, что может случиться * с каждой парой элементов поверхности ЯЮ, и ЯЯю Но интеграл можно все равно подсчитать, если учесть двукратный счет, разделив результат пополам. Тогда мы получим, что Рэ для тождественных бозе-частиц есть Р (бозе) = — (4| а| э | Ь ( э(ЛЯ)э) = 2| а|э |Ь! э(ЛЯ)э. (2.14) И опять зто ровно вдвое болыпе того, что мы получили в (2.12) для различимых частиц.

Если вообразить на мгяовение, что мы откуда-то знали, что канал Ъ уже послал свою частицу в своем направлении, то можно сказать, что веролтносгяь того, что вторая частица направится в ту же сторону, вдвое больше того, чего можно было бы ожидать, если бы мы посчитали зто событие независимым. Таково уж свойство бозе-частиц, что если есть одна частица в каких-то условиях, то вероятность поставить в те же условия вторую вдвое больше, чем если бы первой там не было.

Этот факт часто формулируют так: если уже имеется одна бозе-частица в данном состоянии, то амплитуда того, что туда же, ей на голову, можно будет поместить вторую, в )/ 2 раз больше, чем если бы первой там не было. (Это неподходящий способ формулировать результат с той физической точки зрения, какую мы избрали, но, если зто правило последовательно применять, оно все же приводит к верному результату.) ф 3.

Сосэмоянмя с ть бозе-частпицамт Распространим каш результат на тот случай, когда имеются п частиц. Вообразим случай, изображенный на фиг. 2.4. Есть и частиц а, Ь, с,..., которые рассеиваются в направлениях 1, 2, 3,..., и. Все п направлений смотрят в небольшой счетчик, который стоит где-то поодаль. Нак и в предыдущем параграфе, выберем нормировку всех амплитуд так, чтобы вероятность того, что каждая частица, действуя по отдельности, попадет в * Перестановка нЯ, я нЯэ в (2.11) приведат к другому событию, так что оба элемента поверхяостй обязаны пройтись по всей площади счетчика. В (2.13) мы рассматриваем ЗЯ, я нЯ, как нару к включаем все, что может случиться. Если интегралы опять включают все, что случится, когДа ЗЯг и нЯэ поменЯютсЯ местами, то все считаетсЯ ДважДы. Ф и з.

З.а. Рассеяние и частиц е близкие конечяие состояния. элемент поверхности Ю счет- чика, была равна )( ))ясЖ Сперва предположим, что частицы все различимы, тогда вероятность того, что и частиц будут одновременно С зарегистрированы в в разных элементах поверхности, будет равна (агЬ сз )ЯсМзЫяН8я (2 15) а — 1 Ь вЂ” 2 с 3 а 1 Ъ вЂ” 3 с — 2 а — 2 Ь вЂ” 1 с — 3 а — 2 Ь 3 с 1 а- 3 Ь.— 1 с 2 а — 3 Ь 2 с — 1 Опять примем, что амплитуды не зависят от того, где в счетчике расположен элемент с1Я (он считается малым), и обозначим их просто а, Ь, с, ....

Вероятность (2.15) обратится в ) а ) Я ) Ь ( Я ) с ( Я ... сйз йБ с)Яя .... (2.16) Прогокяя каждый элемент с18 по всей поверхности ЛЯ счетчика, получаем, что Р„(разные) — вероятность одновременно зарегистрировать п разных частиц — равна Рк(Разные) = )а)Я(Ь|Я(с)Я ... (ЛЯ)". (2.17) Это просто произведение вероятностей попаданий в счетчик как<лей из частиц по отдельности.

Все они действуют независимо — вероятность попасть для одной из них не аависит от того, сколько других туда попало. Теперь предположим, что все эти частицы — идентичные бозе-частицы. Для каждой совокупности направлений 1, 2, 3, ... существует много неразличимых возможностей. Если бы, скажем, частиц было только три, появились бы следующие возможности: Возникает шесть различных комбинаций. А если частиц и, то будет п! разных, хотя и пе отличимых друг от друга, комбинаций; их амплитуды положено складывать. Вероятность того, что и частиц будут зарегистрированы в п элементах поверхности, тогда будет равна ',а,Ь,с,...