Фейнман - 08. Квантовая механика I (Р. Фейнман, Р. Лейтон. М. Сэндс - Фейнмановские лекции по физике), страница 9

Невозможно установить, следует ли на самом деле электромагнитное поле описывать в виде квантуемого гармонического осциллятора или же аадавать количество фотонов в каждом состоянии. Оба взгляда на вещи оказываются математически тождественными. В будущем мы сможем с равным правом говорить либо о числе фотонов в некотором состоянии в ящике, либо о номере уровня энергии, связанного с некоторым типом колебаний электромагнитного поля. Зто два способа говорить об одном и том же. То же относится и к фотонам в пустом пространстве.

Они эквивалентны колебаниям полости, стенка которой отошли на бесконечность. Мы подсчитали среднюю энергию произвольного частного типа колебаний в ящике при температуре Т; чтобы получить закон излучения абсолютно черного тела, остается узнать только одно: сколько типов колебаний бывает при каждой энергии. (Мы предполагаем, что для каждого типа колебаний найдутся такие атомы в ящике — или в его стенках,— у которых есть уровни энергии, способные приводить к излучению этого типа колебаний, тан что каждый тип может прийти в тепловое равновесие.) Закон излучения абсолютно черного тела обычно формулируют, укааывая, сколько энергии в единице объема уносится светом в малом интервале частот от ео до ю + Лоо. Так что нам нужно знать, сколько тппов колебаний с частотой в интервале Лоо имеется в ящике.

Хоти вопрос этот то и дело возникает в квантовой механике, это все же чисто классический вопрос, касающийся стоячих волн. Ответ мы получим только для прямоугольного ящика. Для произвольного ящика выходит то же, только выкладки куда сложней. Нзс еще оудет интересовать ящкь, размеры которого намного созыве длины световых волн. В этом случае типов колебаний будет мириады и мириады; в каждом малом интервале частот Лн их окажется очень много, так что можно будет говорить об их «среднем число» в каждом интервале Лы при частоте ю. Начнем с того, что спросим сеоя, сколько типов колебаний бывает в одномерном случае — у волн в натянутой струне.

Вы знаете, что каждый тип колебаний — это синусоида, кривая, обращающаяся на обоих концах в нуль; иначе говоря, на всей длине линии (фиг. 2.8) должно укладываться целое число полуволн. Мы предпочитаем пользоваться волновым числом й = 2л/Л; обозначая волновое число у-го типа колебаний через йм получаем 1л й,=— / ~2.34) где у — целое. Промежуток бй между последовательными ти- пами равен бн =)— )от = —— Нам удобно выбрать столь болыпое И, что в малом интервале Лй оказывается множество типов колебаний. Ф и г.

Х.л. т'инн оогоноих ооон на отрегке. Обозначив число типов колебаний в интервале ЛЙ через ЛЛ, имеем (2.35) Физики-теоретики, занимающиеся квантовой механикой, обычно предпочитают говорить, что типов колеоаний вдвое меньше; они ш«шут ЛМ =,— ЛЙ. (2. 36) И вот почему. Им обычно больше нравится мыслить на языке бегущих волн — идущих направо (с и поло'кительными) и идущих налево (с Й отрвгцательнымп). Но «ыш колебаний», илп «собственное колебание»,— это стоя сая волна. т.

е. сумма двух волн, бегущих каждая в своем направлении. Иными слонами, они считают, что каждая стоячая волна вклкжает два различных фотонных «состоянкя». Поэтому если предпочесть под Л)( подразумевать число фотонных состояний с данным Й (где теперь уже Й может быть и положительным, и отрицательным), то то1да ЛМ окажется вдвое меньпзе.

(Все интегралы теперь нужно будет брать от Й = — оо до Й = — + со, и обв«ее число состояний вплоть до любого заданного абсолютного значения Й получится таким, как надо.) Конечно, стоячие волны мы тогда не сможем хорошо описывать, но подсчет типов колебаний будет идти согласованно. Теперь наши результаты мы обобщим на три измерения. Стоячая волна в прямоугольном ящике должна обладать целым числом полуволн вдоль каждой оси.

Случай двух измерений дан на фиг. 2.9. Каждое направление и частота волны описываются сд и е. х.у. т'ини стоячих волн е двух и»хелен ихх. вектором волнового числа Й. Его х-, р- и з-компоненты должны удовлетворять уравнениям типа (2.34). Стало быть, мы имеем Й= —, Й= — ' в )уй Г, * х б у с Йх в интервале ЛЙ„как н преп<де, х Число типов колебаний равно то же и с ЛЙ, и с ЛЙ,. Если обозначить через Л'.1((Й) число таких типов колебаний, в которых векторное волновое число к обладает х-компонентой в интервале от Й„до Й„+ ЛЙ„, у-компонентой в интервале от Й доЙ +ЛЙ и з-компонентои в интервале от Й, до Й, + ЛЙ„то Л91 ()«) =-, ~,' Л Й„ЛЙ ЛЙ». ~ х~у.~х (2.37) 1 $с ! =- — .

(2.39) Значит, в интервал частот Ло» попадают все моды, отвечающие векторам к, величина которых меняется от Й до Й + ЛЙ независимо от направления. «Объем в Й-пространстве> между Й и Й + ЛЙ вЂ” это сферический слой, объем которого равен 4пй«ЛЙ. Количество собственных колебаний (мод) тогда равно (2.40) 11роизведение Ь, Л 1; — это объем (У ящика. Итак, мы пришли к важному результату, что для высоких частот (длин волн, меньших, чем габариты полости) число мод (типов колебаний) в полости пропорционально ее объему И и «объему в Й-пространстве» ЛЙ»ЛЙ ЛЙ,. Этот результат то и дело появляется то в одной, то в другой задаче, и его стоит запомнит>к ЛЯ()г) =)У вЂ” „, .

(2.38) Хоть мы этого и не доказали, результат не зависит от формы ящика. Теперь мы применим этот результат для того, чтобы найти число фотонных мод для фотонов с частотами в интервале Ло». Нас интересует всего-навсего энергия разных собственных колебаний, а не направления самих волн. Мы хотим знать число собственных колебаний в данном интервале частот. В вакууме величина Й связана с частотой формулой Однако раз нас интересуют частоты, то надо подставить А=о!/с, и мы получаем (йпР с (2.41) Но адесь возникает одно усложнение.

Если мы говорим о собственных колебаниях электромагнитной волны, то каждому данному волновому вектору )г может соответствовать любая из двух поляризаций (перпендикулнрных другдругу). Поскольку эти собственные колебания независимы, то нужно (для света) удвоить их число. И мы илзеем ггсогат Л)1 (ее) = —;,—, (для каста). (2.42) Мы показали уже (см. (2.33)), что каждое собственное колебание (мода, тип козюоаний, «соггояние») обладает в среднем энергией с Лт я!!и> =.— е" "' — 1 Умножая это на число собственных колебаний, мы получаелг энергию ЛЕ, которой обладают собственные колебания. го !,4 г,з О8 ог О ! 2 Л 4 5 и 7 8 вт,гкт Ф и г. л.го.

Спектр чостосп излрч вчв в полосиси при тепловом равновесии !спектр визсолкипно чсрноео ит.сиг!. яввсв ердлнипо>и» тви еглиюи и с !" "— г !в=все ПГ!. ов , и е. и~рис ! си екгиш иос~чоиниим мвв ютел м !па'!'ев'!с',.зт!"зт-' 4 жэзз лежащие в интервале Лю: йгз ргззЛа г з яззз (2.43) ф 6. 'Кидкыгз зе.лттз Жидкий гелий при низких температурах обладает рядом странных свойств, на подроопое описание которых у нас, к сожалению, не хватает времени. Многие из ннх просто связаны с тем„что атом гелия — это бозе-частица.

Одно из зтнх свойств— жидкий гелий течет без какого бы то ни было вязкого сопротивления. Это в действительности та самая «сухая» вода, о которой мы говорили в одк<гй из прежних глав (при условии, что скорости достаточно низки). Причина здесь зот е чем. Чтобы жидкость обладала вязкостью, вней должны быть внутренние потери энергив; надо, чтобы одна из частей жидкости могла двигаться не так, как оставлгаяся жидкость. Это означает, что должна быть возмоя;ность выбивать нокоторые атомы в состояния, отличные от тех, в которых пребывают другие атомы.

Но при достаточно низких температурах, когда тепловое движение становится очень слабым, все атомы стремятся попасть в одни и те же условия. Так, если некоторые из пих движутся в одну сторону, то и все атомы пытаются двигаться все вместе таким же образом. Это своего рода жесткость по отношению к движению, и такое даня ение трудно разбить на неправильные турбулентные части, как это было бы, скаязем, с независимыми частицами. Итак, в жидкости бозе-частиц есть сильное стремление к тому, чтобы все атомы перешли в одно состояние,— стремление, представляемое множителем )г и + 1, полученным нами ранее.

(А в бутылке жидкого гелия и, конечно, очень большое число!) Это движение не происходит при высоких температурах, потому по тогда тепловой энергии хватает на то, чтобы перевести разные атомы во всевозможные различные высшие состояния. Но при достаточном понижении температуры внезапно наступает момент, когда все атомы гелия стремятся оказаться в одном и том яге состоянии. Гелий становится сверхтекучим. Кстати, Это и есть закон для спектра частот излучения абсолютно черного тела, найденный нами уже однажды в гл. 41 (вып.

4). Спектр этот вычерчен на фиг. 2.10. Вы теперь видите, что ответ зависит от того факта, что фотоны являются бозе-частицами — частицами, имеющими тенденцию собираться всем вместе в одном и том же состоянии (амплитуда такого поведения велика). Вы помните, что именно Лланк, изучавший спектр абсолютно черного тела (который представлял загадку для классической физики) и открывший формулу (2.43), положил тем самым начало квантовой механике.

это явление возникает лишь у изотопа гелия с атомным весом 4. Отдельные атомы изотопа гелия с атомным весом 3 суть ферми- частицы, и жидкость здесь самая обычная. Поскольку сверхтекучесть бывает лишь у Не«, то со всей очевидностью этот эффект квантовомеханический, вызываемый бозевской природой а-частицы. ф '«. Луг«н«1«»м иаирета Ферми-частицы ведут себя совершенно иначе. Посмозркм что произойдет, если мы попытаемся поместить две ферми частицы в одно и то же состояние.