Фейнман - 08. Квантовая механика I (Р. Фейнман, Р. Лейтон. М. Сэндс - Фейнмановские лекции по физике), страница 6

1.8. Вероятность обнаружить электрон в счетчике В! тогда будет даваться формулой (1.16). Предположим, однако, что у «снаряда» спин направлен вверх, а у «мишени» вЂ” вниз. У электрона, попавшего в счетчик йт, спин может оказаться либо направленным вверх, либо — вниз, и, измеряя этот спин, мы можем сказать, выскочил ли этот алек- трон из бомбардирующего пучка или же из мишени. Зги две возможности показаны на фиг. 1.9; в принципе они различимы, и поэтому интерференции не получится, просто сложатся две вероятности. Все это верно и тогда, когда оба первоначальных спина перевернуты, т.

е. если спин слева смотрит вниз, а спин справа — вверх. Наконец, если электроны вылетают случайно (например. они вылетают иа накаленной вольфрамовой нити полностью неполяризованным пучком), то с равной вероятностью каждый отдельный электрон вылетит либо спином вверх, либо спином вниз. Если мы не собираемся в нашем опыте измерять в какой-нибудь точке спин электронов, то получается то, что называют экспериментом с неполяризованными частицами. Результат этого эксперимента лучше всего подсчитать, перечислив все мыслимые возможности, как это сделано в табл. 1.1. Для каждой различимой альтернативы отдельно подсчитана вероятность.

Тогда полная вероятность есть сумма всех отдельных вероятностей. Заметьте, что для неполяризованных пучков результаз кри О =- я/2 составляет половину классического результата для независимых частиц. Поведение тождественных частиц приводит ко многим интересным следствиям; в следующей главе мы обсудим нх поподробнее. Главе ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ з ЕВозе-частицы и ф! рми-$$$$$ т$$$ Л $н'т$$нпв5$ !" $$$'. $зо,"$$'-"в4'$ $$$о' "., ф 1. Воге- $аоьпмИь! $и фе1$з$н-чаетнт$ци $$,'1Х$$! $ $$зн$! ! б$$зг $акю$ч,! "$о $!.П$$ $$ !о но! Л $$! $..$ !!!!!'$$! $1в$! $$$ч$ $( б$. Е$$е$$т$$,.$$Э$ $,: '$$2$$$$$$ $ вт.$с й 6.'$К$$$$к$$$! $г. о$! Е 7.11р$$$$$$$$$$,$э !« :$! !!!!!!'!' н! ' !вью.

н$$е$'ю$" н!и $1об$ $$з.$ а "$П $$$$$ о.$э!.$! $!'р$$$$в$$ $$'." $1, г;$. б$2 !а!,$,$ «Пр:ыюо$ ! г ! $:!!!!*' $'$$'$$' " $$$$:$ 1в$п $ В предыдущей главе мы начали рассматривать особые правила, по которым происходит интерференция в процессах с двумя лзождвстввнными частицами. Тождественнъгнн мы считаем такие частицы, которые, подобно электронам, никак невозможно отличить друг от друга. Если в процессе имеютсн две тождественные частицы, то замена той, которая повернула к счетчику, на другую — это неотличаемая альтернатива, которая, как и во всех случаях неотличимых альтернатив, интерферирует с первоначальным случаем, когда обмена не было. Амплитудой события тогда служит сумма двух интерферирующнх амплитуд, и существенно, что в одних случаях интерференция происходит в фазе, а в других — в нрол$$$вофазе.

Представим, что сталкиваются две частицы а и Ь и частица а рассеивается в направлепии1, а частица Ь вЂ” в направлении 2 (фиг. 2.$,а). Пусть ((О) будет амплитуда этого процесса; тогда вероятность Р, наблк$дения подобного события пропорциональна ( 1 (О) ~ '. Конечно, могло случиться, что частица Ь рассеялась в счетчик 1, а частица а направилась в счетчик 2 (фиг. 2.$, б). Если считать, что никаких специальных направлений, определяемых спином или чем-то подобным, в опыте нет, то вероятность Р, этого события можно просто записать в виде )1(я — О) ~ ', потому что этот процесс попросту эквивалентен первому процессу, в котором счетчик 1 поставили под углом (я — О).

И вам могло бы показаться, что азвнаитуда второго процесса равна просто 1 (я — О). Но это не обязательно так, потому что в ней мог стоять Ю и: ».1. Л>»» Ло»Г»ВНВВ»>с»1»»»»'>»»В*» Ч>»>»>»»»в >В>О»В» прьэвььы а и б нерве.»ивовы. произвольнып фазовый множитель. Иначе говоря, амплитуда могла бы быть такой: е>»1 (и — О). Ведь и такая амплитуда все еще приводит к вероятности Р-.

равной ( 1 (>>т — О) ! '. Посмотрим тсперь, что случается, если частвпы а иЬ окззываютгя идентичными. Тогда два разных процесса, показанных на двух частях фиг. 2.1, уже нельзя друг от друга отличивь. Существует амплитуда того, что а или Ь попадает в счетчик 2, тогда как оставшаяся частица попадает в счетчик 2. Эта амплитуда есть сумма амплитуд двух процессов, пока;жввых яа фпг. 2.Е Если первую мы обозначим 1(О), то вторав Г>удет в"1(п — - О), и теперь уже фазовын множитель очень важен, потому что мы собираемся складывать амплитуды.

Предположим, что мы обязаны умножать амплитуду на некий фазовый мнои;итель всякий раз, когда две частицы обмениваются ролями. Еглп они еще раз обменяются ими, то множитель появится еще раз. По при этом мы снова возвратимся к первому процессу. Фазовый множитель. взятый дважды, должен вернуть нас к т<>му, с чего мы начали,— его квадрат должен быть равен единице. Есть только две возможности: еа равно либо + >, либо — 1.

Обмен приводит ко вкладу в амплитуду стем же знаком или ко вкладу с противоположным знаком. И оба случая встречаются в природе, каждый для своего класса частиц. Частицы, интерферирующие с положительным знаком, называются бозе-частицами, а те, которые интерферируют с отрицательным знаком, имояу>отся ферми-частицами. Ферми-частицы — это электрон, мюои, оба нейтрино, нуклоны и барионы.

Стало быть, амплитуда рассея- ния тождественных частиц имеет вид для бозе-частиц: (Амплитуда процесса) + (Амплитуда обмена); для ферми-частиц: (Амплитуда процесса) — (Амплитуда обмена). (2.1) (2.2) Для частиц со спинам (скажем, электронов) возникает добавочное усложнение. Нужно указывать не только местоположение частиц, но и направление их спиноз. Только в том случае, когда частицы идентичны и их снинозые состояния тоже идентичны, только тогда при обмене частицами амплитуды интерферируют. А вели вас интересует рассеяние неполяризованных пучков, являющихся смесью различных спиновых состояний, то нужны еще выкладки и сверх этого.

Интересная проблема возникает при наличии двух или больше тесно связанных частиц. К примеру, в а-частице сидят четыре частицы: два нейтрона и два протона. И когда рассеиваются две а-частпцы, может представиться несколько возможностей. Может случиться, что кри рассеянии обнарунтится конечная амплитуда того, что один из нейтронов перескочит от одной а-частицы к другой, а нейтрон из другой а-частицы перейдет к первой, так что две а-частицы после рассеяния оказываются не первоначальными частицами — произошел обмен парой нейтронов (фиг. 2.2).

Амплитуда рассеяния с обменом парой нейтронов будет интерферировать с амплитудой рассеяния без такого обмена, и интерференция должна иметь знак минус, потому что состоялся обмен ферми-частицами. С другой стороны, если относительная энергия двух а-частиц так мала, что оки находятся сравнительно далеко друг от друга (скажем, из-за кулаковского отталкивания) и вероятность обмена любыми внутренними частицами оказывается незначительной, в зтом случае а-частицу можно считать простейшим объектом, не задумываясь о деталях ее внутреннего строения. В этих условиях в амплитуду рассеяния войдут только два члена.

Либо обмена вовсе нет, либо при рассеянии происходит обмен всеми четырьмя нуклоками. Поскольку и протоны, и нейтроны в а-частице — это ферми-частицы, обмен л|обой парой меняет знак амплитуды рассеяния. Пока внутри а-частиц нет никаких изменений, обмен двумя а-частицами означает то же самое, что обмен четырьмя парами ферми-частиц. Каждая пара меняет знак, и в итоге амплитуды складываются со знаком плюс.

Так что а-частица ведет себя как боае-частица. Значит, правило состоит в том, что сложные объекты в тех обстоятельствах, когда их можно считать неделимыми объектами, ведут себя как бозе- или ферми-частицы, смотря по тому, содержится ли в них четное или нечетное число ферми-частиц. ь ь р 3 В' И ".' % в ~ 2 Д Ю кС„' Ю ~И ) $ 9 ~й 3 М 5ЭЗ Все элементарные ферми-частицы, о которых мы упоминали (такие, как электрон, протон, нейтрон и т. д.), обладают саином 1 = '/,.

Если несколько таких ферми-частиц образует сложный объект, общий вх спин может быть либо целым, либо полуцелым. К примеру, у самого распространенного изотопа гелия Не', в котором два протояа и два яейтрона, спин равен нулю, а у11', в котором протонов три, а нейтронов четыре, спин равен з/,. Позже мы выучим правила сложения моментов количества двимгения, а пока просто заметим, что всякий сложный объект с иолуцелмм спином имитирует ферми-частицу, тогда как всякий сложный объект с цкзым спином имитирует бозе-частицу.

Интересно, отчего так получается? Отчего частицы с полу- целым спином суть ферми-частицы, чьи амплитуды складываются со знаком минус, а частицы с целым олином суть бозе-частицы, чьи амплитуды складываются с положительным знаком? Мы просим прощения за то, что неспособиьг элементарно объясснить вам это. Но объяснение существует, его нашел Паули, основываясь па сложных доводах квантовой теории поля и теории относительности.

Он показал, что эти факты с необходимостью связаны друг с другом; но мы не в состоянии найти способ воспроизвести его аргументы на элементарном уровне. Это, видимо, одно пз немногих мест в физике, когда правило формулируется очень нросто, хотя столь нге простого объяснения ему не найдено. Объяснение коренится глубоко в релятивистской квантовой механике. По-видимому, это означает, что мы до конца не понимаем лежащего в его основе принципа.

Будем считать его пока одним из законов Вселенной. ф л. Состпоянтя с двумя боне настнцаэгн "Теперь мы хотели бы обсудить интересное следствие из правила сложения для бозе-частиц. Оно касается поведения этих частиц, когда их не одна, а несколько. Начнем с рассмотрения случая рассеяния двух бозе-частиц на двух различных рассепвателях. Нас интересуют не детали механизма рассеяния, а лишь одно: что происходит с рассеянными частицами. Пусть перед нами случай, показанный на фиг. 2.3. Частица а, рассеявшись, оказалась в состоянии 1. Под состоянием мы подразумеваем данное направление и энергию или какие-нибудь другие заданные условия. Частица Ь рассеялась в состояние 2. Предположим, что состояния 1 и 2 почти одинаковы. (На самом же деле мы хотели бы получить амплитуду того, что две частицы рассеялись в одном и том же направлении или в одно и то же состояние, но лучше будет, если мы сперва подумаем над тем, чтб произойдет, если состояния будут почти одинаковыми, а затем выведем отсюда, чтб бывает при их полном совпадении.) Ф и г .