Фейнман - 08. Квантовая механика I (Р. Фейнман, Р. Лейтон. М. Сэндс - Фейнмановские лекции по физике), страница 8

+а,Ь,с,... + н т. л.+~'ИЯ,ЫЯзс(8з ... И„. (2.18) И снова мы предположим, что все направления столь близки друг к другу, что можно будет положить а, = а, =... ... =а„== а н то же сделать с Ь, с,...; вероятность (2.18) обратится в )и! аЬС ... ~з аяг д$з ... сБ„. (2.1 9) Когда каждый элемент с!Я прогоняют по площади ЛЯ счетчика, то всякое мыслимое произведение элементов поверхности считается п! раз; учтем это, разделив на п!, и получим Р„(бозе) =- —, !и! адс...

!з (ЛБ)"., Р (созе) = п)! аЬс, . ~ з (ЛЯ)". (2.20) Сравнивая это с (2 17), видим, что вероятность совместного счета п бозе-частиц в и! раз больше, чем получилось бы з предположении, что все частицы различимьь Все это можно подытожить так: Р„(бозе) = и! Р„(разные). (2.21) Итак, вероятность в случае бозе-частиц в п! раз больше, чем вы получнлн бы, считая, что частицы действовали незаввсимо. Мы лучше поймем, что зто значит, если спросим: чему равна вероятность того, что бозе-частица перейдет в некоторое состояние. в котором ухсе находятся п других частиц? Обозначим добавленную частицу буквой ш.

Если всего, включая ш. имеется (п + 1) частиц, то (2.20) ооращаегся в Р„, г (бозе) =(и+1) 1 )аЬс...и~! 'з (ЛЯ)з+з. (2,22) Это можно записать так: Р„,г (бозе) = ((п+ 1) ! ш ! зЛЯ п! ) адс... 1з (ЛБ)", (2.23) нли Р„е, (бозе) = (и+ 1) ) ю) зЛ8Р„(бозе). Этот результат можно истолковать следующим образом. Число ~ ш ~ зЛ5 — это вероятность заполучить в счетчик частицу ш, если никаких других частиц нет; Р„(бозе) — это шанс того, что там уже есть и других бозе-частиц.

Значит, (2.23) говорит нам, что когда у нас уже есть н других идентичных друг другу бозе-частиц, то вероятность того, что ви)в одна частица придет в то же состояние, усиливается в (н + 1) раз. Вероятность получить еще один бозон там, где уже есть.их и штук, в (н+ 1) раз больше той, какая была бы, если бы там раныпе ничего не было. Наличие других частиц увеличивает вероятность заполучить егде одну. й 4.

Излучение, и гсоглогг1егггге Яогггонов Повсюду в наших рассуждениях шла речь о процессе, похожем на рассеяние а-частиц. Но это необязательно; можно было бы ~оворить и о создании частиц, например об излучении света. При излучении света «создается» фотон.

В этом случае уже не нужны на фиг. 2.4 входящие линии; могкно просто считать, что есть п атомов а, Ь, с,..., излучающих свет (фиг. 2.5). Значит, наш результат можно сформулировать н так: вероятность того, что атом ивлучит фотон в некотором конечном состоянии, увеличивается в (и + 1) раг, если в этом состоянии уэке есть п фотонов. Многим болыпе нравится высказывать этот результат иначе; они говорят, что амплитуда испускания фотона увеличивается в Ър'и + 1 раз, если уже имеется в наличии и фотонов. Разумеется, это просто другой способ сказать то же самое. если только иметь в виду, что эту амплитуду для получения вероятности надо просто возвести в квадрат.

В квантовой механике справедливо в общем случае утверждение о том, что амплитуда получения состояния т из любого другого состояния ср комплексно сопряжена амплитуде получения ср из 2 (2.24) Мы разберемся в этом чуть позже, а пока просто предположим, что на самолг деле это так. Тогда этим можно воспользоваться, чтобы понять, как фотоны рассеиваются илп поглощаготся иэ Ф н о.

2.о. Оврооооонио и Эготоноо о авионах состояниях. данного состояния. Мы знаем, что амплитуда того, по фотон прибавится к какому-то состоянию, скажем к ~, в котором уже находится п фотонов, равна бп+ 1 ~ п) = Р' и-+ 1а, (2.25) где а = (1 ( а) — амплитуда, когда пет других фотонов. Если воспользоваться формулой (2.24), то амплитуда обратного перехода — от (и + 1) фотонов к и фотонам — равна йи , 'и —,' 1) = 7 и + 1а *. (2.26) Но обычно говорят иначе: людям ке нравится думать о переходе от (и + 1) к п, они всегда предпочитают исходить из того, что имелось и фотонов.

Поэтому говорят, что амплитуда поглощения фотона, если имеется п других, иными словами, перехода от и к (п — 1), равна (п — 1 ~ п) =- ~Г и а *. (2.27) Это, разумеется, просто та иге самая формула (2.26). Но тогда возникает новая забота — помнить, когда пишется ~' и и когда 'у'п + 1. Запомнить зто можно так: множитель всегда равен корню квадратному из наибольшего числа имевшихся в наличии фотонов, все равно — до реакции или после.

Уравнения (2.25) и (2.26) свидетельствуют о том, что закон па самом деле симметричен; несимметрично он.выглядит лишь тогда, когда его записывают в виде (2.27). Из этих новых правил проистекает множество физических следствий; мы хотим привести одно из них, касающееся испускания света. Представим случай, когда фотоны находятся в ящике,— можете вообразить, что ящик имеет зеркальные стенки. Пусть в этом ящике в одном и том нге состоянии (с одними и теми же частотой, поляризацией и направлением) имеется и фотонов, так что их нельзя друг от друга отличить, и пусть в ящике имеется атом, который может испустить еще один фотон в таком же состоянии.

Тогда вероятность того, что он испустит фотон, равна (2.28) (и+1)(а(', а вероятность того, что он фотон поглотит, равна п~а!', (2.29) где ( а (' — вероятность того, что он испустил бы фотон, еслв бы.не было этих п фотонов. Мы уяге говорили об этих правилах немного по-иному в гл. 42 (вык. 4). Выражение (2.29) утверждает, что вероятность того, что атом поглотит фотон и совершит переход в состояние с более высокой энергией, пропорциональна интенсивности света, освещающего его. Но, как впервые указал Эйнштейн, скорость, с которой атом лереходпт в более 42 ф о.

Спек»пр обсол»оп»мо черного п»ела Мы хотим теперь использовать наши правила для боаечастиц, чтобы еще раз получить спектр излучения абсолютно черного тела [см. гл. 42 (вып. 4)). Мы сделаем зто, подсчитав, сколько фотонов содержится в ящике, если излучение находится в тепловом равновесии с атомами в ящике.

Допустим, что каждой световой частоте ес соответствует определенное количество Л' атомов с двумя энергетическими состояниями, отличающимися ва энергию ЬЕ = е»ез (фпг. 2.6). Состояние с меньшей энергией мы назовем «основным», с большей— «возбунеденным». Пусть Л,е„и Х,„,е — средние числа атомов в основном и возбужденном состояйиях; тогда для теплового равновесия при температуре Т из статистической механики ВсЫ Л В=В О, Основное состояние о Возй ЬЕ=б Осн. Основное С» и е.

3,Е. Излучение и иоелеи»ение фотона е «аететей е». состояние низкое энергетическое состояние, состоит иа двух частей. Есть вероятность ( о (» того, что он совершит самопроизвольный переход, и есть вероятность вынужденного перехода я ) о)», пропорциональная интенсивности света, т. е. числу имеющихся фотонов. Далее, как заметил Эйнштейн, коэффициенты поглощения и вынужденного испускания равны между собой и связаны с вероятностью самопроизвольного испускания.

Здесь же мы выяснили, что если интенсивность света измеряется количеством имеющихся фотонов (вместо того, чтобы пользоваться энергией в единице объема или в секунду), то коэффициенты поглощения, вынужденного испускания и самопронзвольного испускания все равны друг другу. В этом смысл соотношения между коэффициентами А и В, выведенного Эйнштейном (см. гл. 42 (вып.

4), соотношение (42Л8)). следует Л возб е — ьк,'мт е-Ае нт осн (2.30) Каждый атом в основном состоянии может поглотить фотон и перейти в возбужденное состояние, и каждый атом в возбужденном состоянии может испустить фотон и перейти в основное состояние. При равновесии скорости этих двух процессов должны быть равны. Скорости пропорциональны вероятности событий и количеству имеющихся атомов.

Пусть л — среднее число фотонов, находящихся в данном состоянии с частотой ю. Тогда скорость поглощения из этого состояния есть Л„,„п ( а~', а скорость испускания в это состояние есть ЛГ„„ы (и + 1) ~ а~'. Приравнивая друг другу эти две скорости, мы получаем Х„„л = ДГ„,е (л+ 1). (2.31) Сопоставляя это с (2.30), имеем — =-е-Ьзмт 4-1 Отсюда найдем (2.32) Зто и есть среднее число фотонов в любом состоянии с частотой ю при тепловом равновесии в полости. Поскольку энергия канедого фотона Йю, то энергия фотонов в данном состоянии есть илю, или (2.33) ье,'ьт — 1 Кстати говоря, мы уже получали подобное выражение в другой связи (см. гл.

41 (вып. 4), формула (41.15)). Вспомните, что для гармонического осциллятора (скажем, грузика на пружинке) квантовомеханические уровни энергии находятся друг от друга на равных расстояниях лед как показано на фиг. 2.7,Обозначив энергию л-го уровня через л$ю, мы получили, что средняя энергия такого осциллятора также давалась выражением (2.33). А сейчас зто выражение было выведено для фотонов путем подсчета их числа и привело к тому я."е результату.

Перед вами — одно из чудес квантовой механики. Если начать с рассмотрения таких состояний или таких условий для бозе-частиц, когда они друг с другом не взаимодействуют (мы ведь предположили, что фотоны не взаимодействуют друг с другом), а затем считать, что в эти состояния могут быть помещены нуль, или одна, или две и т.

д. до к частиц, то окааывается, что зта аг и г. з.т. уровни энергии гормони- чесного осзиневторо. йгю Основное состояние систома ведет себя во всех кванзоиомг лзнпческих отношениях в точности, как гармонический осцвллятор. Таким осцпллятором считается динамическая система наподобие грузика на пружинке или стоячей волны в резонансной полости.

Вот почему можно предстаЪлять электромагнитное поле фотонными частицами. С одной точки зрения можно анализировать электромагнитное поле в ящике или полости в терминах множества гармонических осцилляторов, рассматривая каждый тип колебаний. согласно квантовой механике, как гармонический осциллятор. С другой, отличной точки зрения ту же физику можно анализировать в терминах тождественных бозе-частиц. И итоги обоих способов рассуждений всегда точно совпадают.