Фейнман - 08. Квантовая механика I (Р. Фейнман, Р. Лейтон. М. Сэндс - Фейнмановские лекции по физике), страница 5

А вот если вас заинтересует ве- роятпогп того, что спин в детекторе будет направлен вверх, а саины всех атомов — по-прежнему вниз, то вы дсжжны будете взять квадрат модуля суммы: ~з < С ( 1) а (1 ( Я>. 1=3 ((оскольку у каждого слагаемого в атой сумме есть своя фаза, то они интерферируют и появляется резкая интерференционная картина. И если ыы проводим эксперимент, в котором мы не наблюдаем спина детектируемого нейтрона, то могут произойти события обоих типов и сложатся отдельные вероятности. Пол- 23 кая вероятность (или скорость счета) как функция угла тогда выглядит подобно кривой на фиг.

«.б,в. Давайте еще раз окинем взглядом физику этого опыта. Если вы способны в принципе различить взаимоисключающие конечные состояния (хотя вы и не собирались на самом деле этого делать), то полная конечная вероятность получается подсчетом вероятности каждого состоянии (а не амплитуды) и последующим их слоя«ением. А если вы неспособны далсе в принципе различить конечные состояния, тогда надо сперва сложить амплитуды вероятностей, а уж потом вычислять квадрат модуля и находить самую вероятность. Заметьте особенно, что если бы вы попытались представить нейтрон в виде отдельной волны, то получили бы одно и то же распределение и для рассеяния нейтронов, вращающихся олином вниз, и для нейтронов, вращающихся олином вверх.

Вы должны были бы сказать, что «волна» нейтронов со сш«ком. направленным зкиз, пришла ото всех различных атомов и иптерферирует так же, как это делает одинаковая по длине волна не«пронов со спином, направленным вверх. Но мы знаем, что на самом деле это ке так. Так что (мы уже это отмечали) нужно быть осторожным и не представлять себе чересчур реально волны в пространстве. Они полезны для некоторых задач. Но не для всех. ф ат, л'олсдес»»|веннъ«е ч««стн««««ы Очередной опыт, который мы хотим описать, продемонстрирует одно пз замечательных следствий квантовой механики.

Б пем снова встретятся такие физические события, в которых существуют дза неразличимых пути и, как всегда при таких обстоятельствах, возникает ингерферонция амплитуд. Мы собираемся рассмотреть рассеяние одних ядер на других при сравнительно низкой энергии. Начнем, скажем, с а-частиц (это, как вы знаете, просто ядра гелия), бомбардирующих кислород. Чтобы облегчить анализ реакции, проведем его в системе центра масс, в которой скорости ядра кислорода и а-частицы перед столкновением противоположны, а после столкновения тоже противополо.кны (фиг. ».7, а). (Величины скоростей, конечно, разли «ны, поскольку массы различны.) Предположим также, что энергия сохраняется и что энергия столкновения настолько мала, что частицы яи раскалываются, пи переходят в возбужденное состояние.

Причина, отчего частицы отклоняют друг друга, состоит попросту в том, что обе они заряжены положительно и, выражаясь классически, отталкиваются, проходя одна мимо другой. Рассеяние на разные углы будет происходить с рааличной вероятностью, и мы хотим выяснить угловую зависимость подобного рассеяния. (Конечно, все это можяо рассчитать классически, н по удивительной случайности оказалось, что ответ яа этот од од Ф и г. 1.7.

Рассеяние а-частиц на ядрах кислорода, иаблюдаемое е системе центра масс. вопрос в квантовой механике и в классической — один и тот же. Зто очень занятно, потому что ни при яаком законе сил, кроме закона обратных квадратов, так не бывает, стало быть, это и впрямь случайность.) Вероятность рассеяния в разных направлениях можно измерить в опыте, изображенном на фиг. 1.7, а. Счетчик в положении Ю, может быть сконструирован так, чтобы детектировать только а-частицы; счетчик в положении Вв может быть устроен так, чтобы детектировать кислород просто для проверни. (В системе центра масс детекторы должны смотреть друг на друга, в лабораторной — нет.) Опыт заключается в измерении вероятности рассеяния в разных направлениях. Обозначим через 7 (0) амплитуду рассеяния в счетчики, когда они расположены под углом 0; тогда (7(0) ~г — наша экспериментально определяемая вероятность.

Можно было бы провести и другой опыт, в котором наши счетчики реагировали бы и на а-частицу, и на ядро кислорода. Тогда нунсио сообразить, что будет, если мы решим не заботиться о том, какая иа частиц попала в счетчик. Разумеется, когда кислород летит в направлении О, то с противоположной стороны, под углом (я — 0), должна оказаться и-частица (фиг. г.7, 6). Зяачит, если 7" (О) — амплитуда рассеяния кислорода на угол О, то / (я — О) — это амплитуда рассеяния а-частицы на угол Оа. Таким образом, вероятность того, что какая-то * Вссбщв-то направление рассеяияя должно, конечно, описываться двумя углами — полярным углом ф и авимутом 8. Тогда следовало бы сказать, что рассеяние кислорода в направлении (О, ф) озяачает, чтса-частица движется в яаправлеияи (я — 8, ф+я).

Однако для кулояовсксго рассеяния (и многих другах случаев) амплитуда рассеяния пе еавясят ст ф. Тогда амплитуда того, что кислород полетел под углом О, совпадает с амплитудой того, что с-частяца полетела под углом (л — О). 25 частица окажется в счетчике, который находится в положе- Вероятность попадания какой-жо ~ ~ «+ . О 1 14) Заметьте, что в принципе оба состояния различимы.

Даже если в етом опыте мы их не раглича ш, мы могли бм зто сделать. И в соответствии с нашими прежними рассуждениями мы, стало быть, должны складывать вероятности, а не амплитуды. Приведенный выше результат справедлив для многих ядер. Мишенью здесь могут слу«кнть и кислород, и углерод, н бериллий, и водород.

Но он неверен при рассеянии а-частиц ва а-частицах. В том единственном случае, когда обе частнпы в точности одинаковы, зкспериментальные данные не согласуются с предсказаниями формулы (1.14). Например, вероятность рассеяния па угол 00' в точности вдвое больше предсказанной вышеизложенная теорией — с частицами, являющимися ядрами «гелняз, номер не проходит. Кслн мишень из Не', а налетают на нее а-частпцы (Не"), то все хорошо. И только когда ьпппень нз Не', т, е. ее ядра тождественны падающим а-частицам, только тогда рассеяние меняется с углом каким-то особым образом. Быть может, вы уже догадались, в чем дело? В счетчике а-частица может очутиться по двум прнчинам: либо из-за рассеяния налетевшей а-частицы на угол О, либо из-за рассеяния ее на угол (н — О).

Как мы можем удостовериться, кто попал в счетчик .. частица-снаряд нли частица-мишень? Никак. В случае рассеяния а-частиц на а-частицах существуют две альтернативы. различить которые нельзя. Приходится дать амплитудам вероятности интерфернровать при помощи сложения, н вероятность обнаружить в счетчике а-частнцу есть квадрат атой суммы: Вероятность того, что а частица ~ «(О)+(( О) ~ «(1 15) обнаружится н счетчике Й Зто совсем не то, что (1.14). Возьмите, скажем, угол л/2 (зто легче себе представить). При О =я/2 мы, естестненно, имеем 1 (О) =/ (я — О), так что из (1 15) вероятность оказывается равной А с другой стороны, если бы не было интерференции, формула (1.14) дала бы только 2 (? (я?2) )«. Так что на угол 90" рассеивается вдвое больше частиц, чем можно было ожидать.

Конечно, и под другими углами результаты будут другие. И мы приходим к необычному выводу: когда частицы тождественны, происходит нечто новое, чего не бывало, когда частицы можно было друг от друга отличить. При математическом описании ран Эл ран Ф и, е. 1.Е.

расгсянис слсктрпнап ни алскнграна». Если егина сталегипая1тия я .тектрпнпс пара тслпни, тп вртрсси и и Е и Гтслияи в . зы обязаны складывать амплитуды взаимоисключающих процессов, в которых обе частицы просто обмениваются ролями, и происходит интерференция. Еще более неожиданное явление происходит с рассеянием электронов на электронах или протонов на протонах. Тогда не верен ни один из прежних результатов! Для этих частиц мы должны призвать ка помощь совершенно новое правило: если попадающий в некоторую точку электрон обменивается своей индивидуальностью с дру~им электроном, то новая амплитуда интерферирует со старой в противофазе. Зто все равно интерференция, но с обратным знаком. В случае а-частиц, когда происходят обмен а-частицами, достигающими счетчика, амплитуды интерфернру|от с одним и тем же знаком.

А в случае злетпронов аснплитуды обмена интерферируют е разными знаками, С точностью до одной детали, о которой будет сейчас сказано, правильная формула для электронов в опыте, подобном изображенному на фнг. 1.8, такова: Веронтеюсть обнаружить злснтроз з счет'шнс ел' Зто утверждение нуждается в уточнении, потому что мы не учли спин электрона (у а-частиц спина нет). Спин электрона можно считать направленным либо вверх, либо вниз по отношению к плоскости рассеяния. Если энергия в опыте достаточно низка, то магнитные силы, воаникающие от токов, будут малы и не повлияют на спин. Предположим в нашем аяализе, что так оно и есть, так что нет шансов, чтобы спины при столкновении перевернулись. Какой бы спин у электрона ни был, он уносит его с собой. Мы видим теперь, что есть много возможностей.

У частицы-снаряда и частицы-мишени оба спина могут рсе св и г. 1.л. Расселное электронов е онтипараллелъними спинами. т'аллино 1.1 ° РАсскяник нкполяРНЗОВАнных чАстиц со спином А Спин частицы Хо столкновения ! 2 Спин честили и счетчвке Доля ел»- чаев Вероятяооть )1(е) — )( — вн* ~1(Е) — 1( — В))в )1(Е))в )1(я — !)Нв )1( — Е))в !1(0)!в Вверх Вверх Вава Вниз Вверх Ввиа Вверх Вива т/ч Вверх Ввяз Вина Вверх Ввиа Вверх Ввиа Вверх ~ Висрх Вверх В виа !/е Вввз )толкая вероятность =т(е )1(Э) 1(я Э)1е+ !1,)(Э) и ) ар ~1(я ~))в быть направлены вверх, или вниз, или в разные стороны. Если они оба направлены вверх, как на фиг. 1.8 (или оба — вниз), то после рассеяния останется то же самое, и амплитуда процесса будет разностпью амплитуд тех двух возможностей, которые показаны на фиг.