Фейнман - 08. Квантовая механика I (Р. Фейнман, Р. Лейтон. М. Сэндс - Фейнмановские лекции по физике), страница 3

е. если вы способны проанализировать один из путей частицы, говоря, что она сперва делает то-то, затем ' то-то, потом то-то, то итоговая амплитуда для этого пути вычисляется последовательным умножением на амплитуду каждого последующего события. Пользуясь этим законом, мы можем уравнение (1.4) переписать так: <х ( ч> осе тени отерытлс =. <х ~ 1> <1 ( 8>+ <л ! 2> <2) з> .

А теперь мы покажем, что, используя одни только эти принципы, уже можно решать и более трудные задачи, наподобие показанной на фиг. 1.2. Тут изображены две стенки: одна с двумя щолями 1 и 2, другая с тремя — а, Ь и с. За второй стенкой в точке х стоит детектор, и мы хотим узнать амплитуду того, что частица достигнет х. Один способ решения состоит в расчете суперпозиции, или интерференции,,волн, проходящих сквозь щели; но моя'но сделать и иначе, сказав, что имеется шеСть возможных путей„и накладывая друг на друга их амплитуды. Электрон может пройти через щель 1, затем через щель а и потом в х, или же он мог бы пройти сквозь щель 1, затем сквозь .е .н.

Ф н г. 1.е. Интерференционный опыт посложнее !3 щель Ь и затем в х и т. д, Согласно нашему второму принципу, амплитуды взаимокснлючающих путей складываются, так что мы должны записать амплитуду перехода от г к х в виде суммы шести отдельных амплитуд. С другой стороны, согласно третьему принципу, каакдую из них монако записать в виде произведения трех амплитуд. Например, одна из иих — это амплитуда перехода от з к 1, умноженная на амплитуду перехода от 1 к а и на амплитуду перехода от а к х. Используя наше сокращенное обозначение, полную амплитуду перехода от г к х можно записать в виде <х(з> =-<г) а) <а) 1> <1!з>+ <х) Ь> <Ь)1> <1) з>+ ... + (х ) с> <с ) 2> <2 (а> . Можно сэкономить место, использовав знак суммы: (х(з) =- ч' <х(а)(сс)а)(а1з).

а=к 2 н=«,тя а Чтобы, пользуясь этим методом, проводить какие-то вычисления, надо, естественно, знать амплитуду. перехода из одного моста в другое. Я приведу пример типичной амплитуды. В ней ие учтены некоторые детали, такие, как поляризация света или спин электрона, а в остальном она абсолютно точна. С ее помощью вы сможете решать задачи, куда входят различные сочетания щелей. Предположим, что частица с определенной энергией переходит в пустом пространстве из положения г, в положение г,.

Иными словами, это свободная частица: на нее не действуют никакие силы. Отбрасывая численный множитель впереди, амплитуду перехода от г, к г, можно записать так: ю Г„/» (г„) г >.= —— 11.7) где г,а = г, — г„а р — импульс частицы, связаниыи с ее энергией Е релятивистским уравнением раса = Е' — (теса)а или нерелятивистским уравнением — = Кинетическая энергия.

Р* Зяа Уравнение 11.7) в итоге утверждает, что у частицы есть волновые свойства, что амплитуда распрострачяется как волна с волновым числом, равным импульсу, деленному на Й. В общем случае в амплитуду и в соответствующую вероятность входит также и время. В большинстве наших первоначальных рассуждений будет предполагаться, что источник испускает частицы с данной энергией беспрерывно, так что о !4 времени не нужно будет думать. Но, вообще-то говоря, мы вправе заинтересоваться и другими вопросами.

Допустим, что частица испущена в некотором месте Р в некоторый момент и вы хотите знать амплитуду того, что она окажется в каком-то месте, скажем г, в более позднее время. Это символически можно представить в виде амплитуды (г, ~ = «, ! Р, г = О). И ясно, что она аавнсит и от г, и от ~. Помещая детектор в разные места и делая измерения в разные моменты времени, вы получите разные результаты. Эта функция г н г, вообще говоря, удовлетворяет дифференциальному уравнению, которое является вол новым уравнением.

Скажем, в нерелятнвнстском случае это уравнение Шредингера. Получается волновоо уравнение, аналогичное уравнению для электромагнитных волн кли звуковых волн в газе. Однако надо подчеркнуть, что волновая функция, удовлетворяющая уравнению, не похожа на реальную волну в пространстве; с этой волной нельзя связать никакой реальности, как зто делаетск со звуковой волной. Хотя, имея дело с одной частицей, можно начать пытаться мыслить на языке «корпускулярных волн«, но ничего в этом хорошего нет, потому что если, скажем, частиц не одна, а две, то амплптуда обнару'ккть одну пз них в г„а другую в г«не есть обычная волна в трехмерном пространстве, а зависит от шести пространственных переменных г, и г,.

Когда частиц две (или больше), возникает потребность в следующем добавочном принципе. Если две частицы не взаимодействуют, то амплитуда того, что одна частица совершит что-то одно, а другая сделает что-то другое, есть произведение двух амплитуд — амплитуд того, что две частицы проделали бы это по отдельности. Например, если (а ( з, ) есть амплитуда того, что частица 1 перейдет пз з, в а, а (Ь ~ аз> — амплитуда того, что частица 2 перейдет из г, в Ь, то амплитуда того, что оба эти события произойдут вместе, есть <а)з,>(Ь~а >.

И еще одну вещь надо подчеркнуть. Предположим, нам неизвестно, откуда появляются частицы на фиг. 1.2, прежде чем они пройдут через щели 1 и 2 в первой стенке. Несмотря на это, мы все равно можем предсказать, что произойдет за стенкой 1скажем, вычислить амплитуду попасть в х), если только нам даны два числа: амплитуда попадания в 1 н амплитуда попадания в 2. Иными словами, из-за того, что амплитуды последовательных событий перемножаются, как это показано в уравнении 11.6), все, что вам нужно знать,цля продолжения анализа,— зто два числа, в данном частном случае (1 ~ г ) и (2 ~ з ).

Этих двух комплексных чисел достаточно для того, чтобы предсказать все будущее. Это-то и делает квантовую механику простой. В следующих главах выяснится, что именно это мы и делаем, «5 когда отмечаем начальные условия при помощи двух (илв нескольких) чисел. Конечно, эти числа зависят от того, где расположен источник и каковы другие свойства прибора, но,как только эти числа даны, все подобные детали нам больше не нужны. ф М. Ьггугтггггггг ггггтпеугференгригг опг двух гг1елегг Рассмотрим еще раз вопрос, который мы довольно подробно обсудили раньше, в гл. 37 (вып.

3). Сейчас мы используем идею об амплитуде во всей ее мощи, чтобы показать вам, как она работает. Вернемся к старому опыту, изображенному на фнг, 1.1, добавив к нему еще источник света и поместив его за щелямп (ср. фиг. 37.4 гл. 37). В гл. 37 мы обнаружили следующий примечательный реаультат. Если мы заглядывали за щель 1 и замечалн фотоны, рассеивавшиеся где-то за ней. то распределение вероятности того, что электрон попадал в х при одновременном наблюдении этих фотонов, было в точности такое же, как если бы щель 2 была закрыта. Суммарное распределение для электронов, которые были «замечены» либо у щели 1,либо у шели 2, было суммой отдельных распределении к было совсем пс похоже на распределение, которое получалось, когда свет бывал выключен.

По крайней мере так бывало, когда использовался свет с малой длиной волн. Когда длина волны начинала расти и у нас исчезала уверенность в том, у какой на щелей произошло рассеяние света, распределение становилось похожим на то, которое бывало при выключенном свете. Посмотрим теперь, что здесь происходит, используя наши новые обозначения и принципы композиции амплитуд. Чтобы упростить запись, можно через ~р, опять обозначить амплитуду того, что электрон придет в х через щель 1, т. е. ~р, = (х ( 1) 11 ( з) . Сходным же образом ~рг будет обозначать амплитуду того, что электрон достигнет детектора через щель 2: ~рг = (х ( 2> <2 ~ з>.

Это — амплитуды проникновения электрона через щель и появления в х, когда света нет. А если свет включен, мы поставим себе вопрос: какова амплитуда процесса, в котором вначале электрон выходит из з, а фотон нспускается источником света Ь, а в конце электрон оказывается в х, а'фотон обнаруживается у щели 1? Предположим, что мы с помощью счетчика .Ог наблюдаем фотон у щели 1 (фиг. 1.3), а такой же счетчик 7>г считает фотоны, рассеянные у щели 2. Тогда можно говорить об амплитуде появления фотона в счетчике Р„а электрона в х и об ! Е Электронном пушнп Д Источник света ЕЭ и г.

7.3. Опись и которок опредеяяептя, нерее которую ие щелей проник олеятрон. 17 е га ьэз амплитуде появления фотона в счетчике .0„а электрона в х. Попробуем их подсчитать. Хоть мы и не располагаем правильной математической формулой для всех множителей, входящих в этот расчет, но дух расчета вы почувствуете из следующих рассуждений. Вопервых, имеется амплитуда <1 ~ в) того, что электрон доходит от источника к щели 1. Затем можно предположить, что имеется конечная амплитуда того, что, когда электрон находится у щели 1, он рассеивает фотон в счетчик .О,. Обозначим эту амплитуду через а. Затем имеется амплитуда '(х ! 1) того, что электрон переходит от щели 1 к электронному счетчику в х.

Амплитуда того, что электрон перейдет от в к х через щель 1 и рассеет фотон в счетчик 0ы тогда равна (х~ 1) а(1 ~в>. Или в наших прежних обозначениях это просто аф,. Имеется также некоторая амплитуда того, что электрон, проходя сквоаь щель 2, рассеет фотон в счетчик 0,. Вы скажете: «Это невозможно; как он может рассеяться в счетчик .0„если тот смотрит прямо в щель 17к Если длина волны достаточно велика, появляются дифракционные эффекты, и это становится возможным. Конечно, если прибор будет собран хорошо и если используются лишь фотоны с короткой длиной волны, то амплитуда того, что фотон рассеется в счетчик В, от электрона в щели 2, станет очень маленькой.

Но для общности рассуждения мы учтем тот факт, что такая амплитуда всегда имеется, и обозначим ее через Ь. Тогда амплитуда того, что электрон проходит через щель 2 и рассеивает фотон в счетчик .0„есть <х~2>Ь<2~г>=Ьф . Амплитуда обнаружения электрона в х и фотона в счетчике Рт есть сумма двух слагаемых, по одному для каждого мыслимого пути электрона. Каждое из них в свою очередь составлено из двух множителей: первого, выражающего, что электрон прошел сквозь щель. и второго — что фотон рассеян таким электроном в счетчик Р,; мы имеем ( Электрон в х Электрон ив с) ' ) =- аср 4- зрт, Фотон в счетчике Рэ ~Фотон ив с / Аналогичное выражение можно получить и для случая, когда фотон будет обнаруткен другим счетчиком Ре.