Фейнман - 08. Квантовая механика I (Р. Фейнман, Р. Лейтон. М. Сэндс - Фейнмановские лекции по физике), страница 10

Вернемся к нашему первоначальному примеру и поинтересуемся амплитудой того, что две идентичные ферми-частицы рассеются в почти одинаковом направлении. Амплитуда того, что частица а пойдет в направлении 1, а частица Ь вЂ” в направлении 2, есть <1 ( а> <2 ) Ь>, тогда как амплитуда того, что направления вылетающих частиц обменяются местами, такова: <2) а> <1 ) Ь>. Раэ мы имеем дело с форма-гастицами, то амплитуда п1кяр оса яэляотсн разностью этих двух амплитуд: <1 ) а> <2 ! Ь> — <2 ) а) <1 ) Ь>.

Следует сказатго что под «накравлением 1» мы подразумеваем, что частица обладает не только определенным направлением, но и аадаиным направлением своего спина, а «направление 2» почти совпадает с направлением 1 и отвечает тому лсе направлению спина. Тогда (1 ~ а) и (2 ~ а) будут примерно равны. (Этого могло бы и не быть, если бы состояния 1 и 2 вылетающих частиц не обладали одинаковым спином, потому что тогда по каким-то причинам могло бы оказаться, что амплитуда зависит от направления спина.) Коли теперь позволить направлениям 1 и 2 сблизиться друг с другом, то полная амплитуда в уравнении 12.44) станет равной нулю. Для ферми-частиц результат много проще, чем для бозе-частиц.

Просто абсолютно невозможно, чтобы две 4« рми-частицы, например два электрона, оказались в одинаковом состоянии. Вы никогда не обнаружите два электрона в одинаковом положении и со спинами, направленными в одну сторону. Двум электронам невозможно иметь один и тст же импульс и одно и то я«е направление спина. Боли они оказываются в одном и том же месте или в одном и том же состоянии движения, то единственное, что им остается,— это завертеться навстречу друг другу.

51 элентрон г бб и г. е.гг. Гол логли бы выглягггть отавы, если бы глеятроны вели себя ная бозегаистивы. Каковы следствия зтогог Имеется множество замечательных эффектов, проистекающих нз того факта, что дзе ферми- частицы не могут попасть в одно и то же состояние. На самом деле почти все особенности материального мира зависят от этого изумительного факта.

Все разнообразие, представленное в периодической таблице элементов, в основе своей является следствием только этого правила. Конечно,мы не можем сказать,на что был бы похож мир, если бы зто правило — и только оно одно — изменилось; ведь оно является частью всей структуры квантовой механики, и невозможно сказать, что бы еще изменилось, если бы правило, касающееся ферми-частиц, стало бы другим. Но все же попробуем представить себе, что случилось бы, осли бы переменилось только зто правило. Во-первых, можно показать, что каждый атом остался бы более или менее неизменным. Начнем с атома водорода.

Он заметно не изменился бы. Протон ядра был бы окружен сферически симметричным электронным облаком (фиг. 2Л1, а). Как мы уже писали в гл. 38 (вып. 3), хоть электрон и притягивается к центру, принцип неопределенности требует, чтобы было равновесие между концентрацией з пространстве и концентрацией по импульсу. Равновесие означает, что распределение электронов должно характеризоваться определенной энергией и протяженностью, определяющими характеристические размеры атома водорода. Пусть теперь имеется ядро с двумя единицами заряда, например ядро гелия. Это ядро будет притягивать два электрона, и, будь они бозе-частицами, они бы, если не считать пх электрического отталкивания, сплотились близ ядра как мо;кно тесней.

Атом гелия выглядел бы так, как на фиг. 2.11, б. Точно так же и атом лития, у которого ядро заряжено трехкратио, обладал бы электронным распределением, похожим на то, что изображено на фиг. 2.11, в. Каждый атом выглядел бы более или менее, как раньше: круглый шарик, все электроны в котором сидят близ ядра; не было бы никаких выделенных направлений и никаких сложностей.

Но из-за того, что электроны — это ферми-частипы, действительное положение вещей совершенно иное. Для атома во- 52 Ф и г. 2.12. А томи е ноиедигуронсси для ссаеслоясиив, уЗерииевсяово тило влево.ромов со олином ' в. Свин Одинглвнтрон Г,~' е с Ядро дорода оно в оба;ем-то не меняется. Единственное отличие в том, что электрона есть спин (показан на фиг. 2. (2, а стрелочкой).

В случае же атома гелин мы уже ие сможем посадить один из электронов на другой. Впрочем, погодите, это верно лишь тогда, когда их спины направлены одинаково. Но если они разведут свои спины врозь, то они у;ке будут вправе занять одно и то же место. Так что атом гелия тоже не очень-то изменится. Он будет выглядеть так, как показано на фиг. 2А2, б. А вот для лития положение вещеи совершенно изменится. Куда сможем мы пристроить третий электронр Его нельзя посадить прямо на первые два, потому что оба направления спина заняты.

(Вы помнете, что и у электрона, и у любой частицы со олином т/ имеются лишь дза допустимых направления спина.) Третий электрон не сможет приблизиться к месту. оккупированному двумя другими, он обязан занять особое положение в каком-то ином состоянии, намного дальше от ядра (фиг. 2.12, в). (Мы здесь говорим обо всем довольно грубо, потому что иа самом-то деле все три электрона тождественны, а рал мы ие можем в действительности разобраться, кто из них кто, то наш рисунок верен только в общих чертах.) Теперь мы уже начинаем понимать, отчего у разных атомов бывают разные химические свойства. Из-за того, что третий электрон в литии намного дальше, он связан несравненно слабее.

Увести один электрон у лития куда легче, чем у гелия. (Опыт говорит, что для ионизации гелия нужно 25 в, а для ионизации лития лишь 5 в.) Это отражается на валентности атома лития. Свойства валентности, касающиеся направлений, связаны с волновой картиной внешнего электрона,но мы не будем 53 сейчас входить в подробности. Становится понятной важность так называемого прикципа запрета, утверждающего, что никакие два электрона не могут оказаться в точности в одном и том же состоянии (включая спин). Принцип запрета несет также ответственность за крупномасштабную стабильность вещества.

Мы раньше уже объясняли, что отдельные атомы вещества не обваливаются благодаря принципу неопределенности, тогда можно понять, почему не бывает так, чтобы два атома водорода прижались друг к другу сколь угодно тесно, почему все протоны не могут сойтись вплотную, образовав вокруг себя электронную тучу.

Ответ, конечно, состоит в том, что поскольку в одном месте может находиться не более двух электронов с противоположными спинами, то атомы водорода вынуждены держаться поодаль друг от друга. Так что крупномасштабная стабильность вещества на самом деле есть следствие того, что электроны — зто ферми-частицы. Конечно, если у двух атомов спины внешних электронов направлены в противоположные стороны, то они могут оказаться вплотную друг к другу. Именно так и возникает химическая связь. Оказывается, что два рядом стоящих атома обладают меньшей энергией, если между ними стоит электрон. Это своего рода электрическое притяя'ение двух положительных ядер к электрону меяеду ними.

Можно поместить пару электронов — коль скоро их спины противоположны — примерно посредине между двумя ядрами, и так возникает самая сильная из химических связей. Более сильной связи не бывает, потому что принцип запрета не позволит, чтобы в пространстве между атомами оказалось больше двух электронов. Считается, что молекула водорода выглядит примерно так, как изображено на фиг. 2.13. Хочется сказать еще об одном следствии из принципа запрета. Вы помните, что если оба электрона в атоме гелия хотят оказаться поближе к ядру, то их спины обязательно доля;ны смотреть навстречу друг другу. Допустим теперь, что нам бы аахотелось расположить поблизости друг от друга два электрона с одним и тем же спином, скажем, приложив столь фантастически сильное магнитное поле, что спины выстроились бы в одну сторону.

Но тогда два электрона не смогут занять одного положения в пространстве. Один из них вынуледен будет занять другую геометрическую позицию (фиг. 2 14). Более удаленный Ф и г. 2.12. Мо ьекува водорода. ,л) Ф и г. 2.14. Гелий с одним электроном в высшем энергетическом состоянии. от ядра электрон будет обладать моньшгй энергией связи. Поэтому энергия всего атома станет чуть выше. Иными словами, если два спина противоположны. то зто приводит к намного более сильному взаимному притяжению. Стало быть, существует взаимодействие. стремящееся расположить спины навстречу друг другу, когда электроны сближаются. Если двэ электрона пытаются попасть в одно и то же место, то спины стремятся выстроиться навстречу друг другу. Эта кажугцаяся сила.

стремящаяся ориентировать спины в равные стороны. намного мощнее слабеньких снл, действующих между магнитными момсвтамн двух электронов. Вы помните, что, когда мы толковали о ферромагяетизме, возникала загадка, отчего это электроны в разных атомах имезот столь сильную тенденцию выстраиваться параллельно. Хотя здесь еще нет количественного объяснения. но уже можно поверить в следующий процесс: электроны, окружающие один из атомов. взаимодействуют при помощи принципа запрета с внешними электронами, которые высвободились и бродят по кристаллу. Это взаимодействие заставляет спины свободных электронов и внутренних электронов принимать противополоя ные направления.

Но свободные электроны и внутриатомные электроны могут выстроиться противоположно лишь при условии, что у всех внутренних электронов спины направлены одинаково (фиг. 2.еб). Кажется весьма вероятным, что именно влияние принципа запрета, действующего косвенно через свободные электроны, кладет начало большим выстраивающим силам, ответственным за ферромагнетизм. Ф и е. 2.15. Вероятный меканием, дей. ствуюсэийв ферролсагнитном крисксалле Скина электронов проеодиностн уск онавлэваются антнкараллелоно ск нан нескор нных внитренннк электронов. Упомянем еще один пример влияния принципа запре>а, Мы у>не говорили ранее, что ядерные силы, действующие между нейтрощ>м и протояом, между протоном и протоном и между ней>'- роном и нейтроном, одинаковы. Почему >ке так получается, что протон с нейтроном могут пристать друг к другу, образовав ядро дейтерия, а вот ядер просто с двумя протонами или просто с двумя нейтронами не существует> Действительно, дейтрон связан энергией около 2,2 Мээ, а соответстзу>ошей связи межчу парой протонов, которая бы создала изотоп гелия с атомным весом 2, не существует.