Фейнман - 08. Квантовая механика I (Р. Фейнман, Р. Лейтон. М. Сэндс - Фейнмановские лекции по физике), страница 4

Если допустить для простоты, что система симметрична, то а будет также амплитудой попадания фотона в счетчик Рт, когда электрон проскакивает черев щель 2, а Ь вЂ” амплитудой попадания фотона к счетчик Ре, когда электрон проходит через щель 1. Соответствукпцая полная амплитуда — аьшлитуда того, что фотон окаисетси в счетчике Р„а электрон в х,— равна (" ', Электрон в х Электрон не е) ) =-асрт+ Ф,. Фоток в счетчике Рз ~ Фотон ив с с Вот и все. Теперь мы легко можем рассчитать вероятность тех кли иных случаев. Скажем, мы желаем знать, с какой вероятностью будут получаться отсчеты в счетчикеРт при попадании электрона в х.

Это будет квадрат модуля амплитуды, даваемой формулой (1.8), т. е. попросту ~ аср, + Ь<рт ~в. Поглядим ка ото выражение внимательнее. Прежде всего, если Ь =- О а 6 д Ф и г. 1.4, Вероятность отсыета электрона в я при условии, ито вВт замечен Яотон е опыте, показанном на фие. 1.о. а — при Ь=У; а — при Ь а; в — при Оя.ЬПа.

18 (мы хотели бы, чтобы наш прибор работал именно так), ответ просто равен ) «г, !«с множителем ) а («. Это как раз то распределение вероятностей, которое получилось бы при наличии лишь одной щели, как показано на фиг. 1.4, а. С другой стороны. если длина волны велика, рассеяние за щелью 2 в счетчик 0«может стать почти таким же, как за щелью 1.

Хотя в а и Ь могут входить какие-то фазы, возьмем самый простой случай, когда обе фазы одинаковы. Если а практически совпадает с Ь, то полная вероятность обращается в ~ ~р, + ~р« ~«, умноженное на ~ а ~«, потому что общий множитель а можно вынести. Но тогда выходит то самое распределение вероятностей, которое получилось бы, если бы фотонов вовсе не было.

Следователыш, когда длина волны очень велика (и детектировать фотоны бесполезно), вы возвращаетесь к первоначальной кривой распределения, на которой видны интерференционные эффекты, кзк показано на фиг. 1.4,б. Когда же детектирование частично все же окааывается эффективным, возникает интерференция между большим количеством «у, и малым количеством у«в вы получаете промежуточное распределение, такое, какое намечено на фиг. 1.4,в. Само собой разумеется, если нас заинтересуют одновременные отсчеты фотонов в счетчике «)«и электронов в х, то мы получим тот же результат. Если вы вспомните рассуждения гл.

37 (вып. 3), то увидите, что эти результаты описывают количественно то, что было сказано там. Нам хотелось бы подчеркнуть очень важное обстоятель«тле и предостеречь от часто допускаемой ошибки. Пусть вас интересует только амплитуда того, что электрон попадает в х, причем вам безразлично, в какой счетчик попал фотон — в 1), или в Лг. Должны ли вы складывать амплитуды (1.8) и (1.9)? Нет! Никогда нв складывайте аг«влитуды разных, отличных друг от друга конечных состояний. Как только фотон был воспринят одним из фотонных счетчиков, мы всегда, если надо, можем узнать, не возмущая больше системы, какая из альтернатив (взаимоисключающих событий) реализовалась.

У каждой альтернативы есть своя вероятность, полностью независимая от другой. Повторяем, не складывайте амплитуд для различных конечных условий (под «кокечвылш мы понимаем тот момент. когда нас интересует вероятность, т. е. когда опыт «закончен«). Зато нужно складывать амплитуды для различных нграгличиэсых альтернатив в ходе самого опыта, прежде чем целиком оакопчится процесс. В конце процесса вы моя«ете, если хотите, сказать, что вы «не желаете смотреть на фотон«.

Это ваше личное дело, но все же амплитуды складывать нельзя. Природа не знает, на что вы смотрите, на что нет, она ведет себя так, как ей положено, и ей безразлично, интересуют ли вас ее данные или нет. Так что мы не должны складывать амплитуды. Мы сперва возводим в квадрат модули амплитуд для всех возмож- ных разных конечных состояний, а затем уж складываем. Правильный результат для электрона в в и фотона то ли в 1>„то ли в Юз таков: ч Электрон в Х ~ Электрон из в ) ~ + ~( ~Фотон в Вт ~Фотон из Ь + ~ /Электрон в Ж (Электрон из з ) ~ е т Фотон в Вз ! Фотон из ь = ~ аср, + Ь<р ) '+ ~ а~р + Ь<р, ! '.

(1.10) й:в. Резеееянеее теа териеиеа ле Следующий пример — это явление, в котором интерференцию амплитуд вероятности следует проанализировать тщательнее. Речь идет о процессе рассеяния нейтронов на кристалле. Пусть имеется кристалл, в котором много атомов, а в центре каждого атома — ядро„'ядра расположены периодически, и откуда-то издалека на них налетает пучок нейтронов. Различные ядра в кристалле можно пронумеровать индексом г, где г пробегает целые значения 1, 2, 3, ..., гчс, а Х равняется общему числу атомов. Задача состоит в том, чтобы подсчитать вероятность того, что нейтрон окажется в счетчике, ивображенном на фиг. 1.5.

Для каждого отдельного атома 1 амплитуда того, что нейтрон достигнет счетчика С, равна амплитуде того, что нейтрон из источника Ю попадет в ядро 1, умноженной на амплитуду а рассеяния в этом месте и умноженной на амплитуду того, что он из 1 попадет в счетчик С. Давайте запишем это: <НейтРон в С ~ НвйтРон из ч>верее е=-— . <С~1> а <с ~Я>. (1.11) Написав это, мы предположили, что амплитуда рассеяния а— одна и та же для всех атомов. Здесь у нас есть множество, повидимому, нерааличимых путей. Они неразличимы оттого, что нейтрон с небольшой энергией рассеивается на ядре, не выбивая Источник нейтронов Счетчик нейтронов Ф и г.

г.е. Мгмгргнис рассеяния нейтронов на яристаяяг. при этом самого атома с его места в кристалле — никакой «отметкие о рассеянии не остается. Согласно нашим прежним. рассуждениям, полная амплитуда того,что пейтрои попал в С, включает в себя сумму выражения (1.И) по всем атомам: <Нейтрон в С ~ нейтрон нз Я> =,Я~ <С ~ г> а <г ~ Я>. (4.12) 4 =! Из-за того, что складываются амплитуды рассеяния па атомах, по-разному расположенных в пространстве, у амплитуд будут разные фазы, и это даст характерную интерферепциониую картину, которую мы уже анализировали па примере рассеяния света па решетке. Интенсивность нейтронов как функция угла в подобном опыте действительно .'сто обнаруягивает сильнейшие измене- Скорость счета Скороспгь счета Ф и г.

1.6. Скорость счета нейтралов как фуккцил угла. а — дт лдер со саино.н О; д— иролтность россвлнил с и рево- ротом саина; в — надлидоемал скорость сита дел лдра со свивкам в!в. нвя — очень острые интерференционные пики, между которымн ничего нет (фиг. 1.6, а), Однако в некоторых сортах кристаллов этого не случается, в них наряду с упомянутыми выше дкфракционными пиками имеется общий фон от рассеяния во всех направлениях. Мы должны попытаться понять столь тапнственнун~ с виду причину этого.

Дело в том, что мы не учли одного важного свойства нейтрона. Его спин равен '/„и тем самым ов может находиться в двух состояниях: либо его спин направлен вверх (скажем, поперек страницы на фиг. 1.5), либо вякз. И если у ядер самого кристалла спина нет, то спин нейтрона никакого действия не окажет. Но когда и у ядер кристалла есть спин, равный, скажем, тоже ',', то вы заметит~ фок от описанного выше размазанного рассеяния. Объясненш состоит в слодующем. Если спин нейтрона куда-то направлен и спин атомного ядра направлен туда же, то в процессе рассеяния направление спина не меняется.

Если же спины нейтрона и атомного ядра направлены в противоположные стороны, то рассеяние может происходить посредством двух процессов, в одном иэ которых направления не меняются, а в другом происходит обмен направлениями. Это правило о том, что сумма спинов не должна меняться. аналогично нашему классическому закону сохранения момента количества движения. И мы уже в состоянии будем понять интересующее нас явление, если предположим, что все ядра, на которых происходит рассеяние, имеют одно и то же направление спина.

Нейтрон с тем же направлением спина тогда рассеется так, что получится ожидавшееся узкое интерференцнонвое распределение. А что будет с нейтроном с противополгоккыы направлением спина? Если он рассеивается без переворота направления свина, то ничего по сравнению со сказанным ке меняется; но если при рассеянии оба спина переворачвванггся, то, вообще говоря, можно указать, на каном из ядер произошло рассеяние, потому что именно у этого ядра спин перевернулся. Но если мы в состоянии указать, на каком атоме случилось рассеяние, то причем здесь остальные атомы? Ни при чем, конечно. Рассеяние здесь такое же, как от отдельного атома. Чтобы учесть этот аффект, надо видоизменить математическую формулировку уравнения (1.12),потому что в том анализе состояния не были охарактеризованы полностью.

Пусть вначале у всех нейтронов, вылетающих из источника, спин направлен вверх, а у всех ядер кристалла — вниз. Во-первых, нам нужна амплитуда того, что в счетчике нейтронов их спин окажется направленным вверх и все спины в кристалле будут по- прежнему смотреть вниа. Это ничем не отличается от наших прежних рассуждений. Обозначим через а амплитуду рассеяния без переворота спина, Амплитуда рассеяния от 1-го атома, 22 разумеется, равна <Свьерх. весь кристалл вниз ~ о«верх~ весь кристалл вниз) = = <С( х> а <1~ Я>. Поскольку все спины атомов направлены вниз, разные альтерна- тивы (рлзяые значения г) нельзя друг от друга отличить.

В атом процессе вге амплитуды кнтерферпруют. Но естч н другой случай, когда спин детектируемого нейтро- на смотрит вниз, хотя вначале, в.), он смотрел вверх. Тогда в крнгтал.те один из спиноз дозволен перевернуться вверх, скажем спин й-го атома. Допустим, что у всех атомов аьшлитуда рас- сеяния с нерезоротом спина одна и та же и равна 6. (В реальнолх кристалле имеется еще одна неприятная возможность: пере- вернутый спин переходит к какому-то другому атому, но до- пустим, что в нашем кристалле вероятность етого мала.) Тогда амплитуда рассеяния равна <Слал«, ядро й взерх~дхх«рх весь кристалл злпз)= =-<С~й>Ь<й~б">. (1.13) Если мы спросим теперь, какова вероятность того, что у нейтро- на гвин окз;кется направленным вниз, а у Й-го ядра — вверх, то она будет равшпься квадрату модуля атой амплитуды, т.

е, прогто ( 6 !х, умноженному на ((С ( й)(й ~,Я)(х. Второй множитель почти нс зависит от того, где атом й расположен в кристалле, в все фазы при вычислении квадрата модуля ис- чезаз1т. Вероятность рассеяния на любом ядре кристалла с пере- воротом глина, стало быть, равна ~ Ь | х ~ ~ <С ~ й> <й ~ б'> (, что дает гладкое распределение, как на фиг. 1.6, б. Бы мо:кете возразить: «А мве все равно, какой атом перевер- нулся». Пусть так, но природа-то зто знает, и вероятность на самом деле выходит такой, как написано выше,— никакой интерференции не остается.