И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре, страница 7

Нетрудно видеть, что таких базисов существует много. Действительно, уже из данного базиса Р„ ..., Р„ можно построить разные ортогональные базисы, если начинать построение с разных векторов 1 . Позднее, в гл. П, мы рассмотрим вопрос в том, как связаны между собой различные ортогональные базисы. Примеры ортогоиалиаации. 1. Пусть й — трехмерное пространство. Процесс ортогонализации в нем означает следующее: пусть даны три линейно независимых вектора (м (э, гэ. Положим е,=тг.

ПРовоДим затем плоскость чеРез е,=гг и Г' и в этой плоскости выбираем вектор еэ, ортогональный к е,. Наконец, во всем пространстве находим вектор, ортогональный к е, н к е (т. е. к построенной ранее плоскости). 2. Пусть й — трехмерное пространство, векторами в котором мы считаем многочлеиы степени не выше второй. Скалярное произведение зададим формулой $ Р (1) Я (!) вп -1 Векторы 1, й 1э обраауют базис в Я.

Применим к этому базису процесс ортогонализации: ег=1; вектор е, ищем в виде: Г+а.1; иэ условия ортогональносги 1 0=(г+а 1, 1)= ~ (г+а) вг=йа ! 42 и-мерное пространство 1гл. ! получаем а=б. Значит, ее=к Вектор яз ищем и виде: гз+рг+2.1. 1 Из условий ортогональности получаем р=о, т= — —, т. е. ез —— 3 ' 1 з 1 3 = ГЯ вЂ” —, . Окончательно получаем ортогональныл базис 1, б гз —. Если разделить каждый вектор на его длину, то получим оргогональш.й нормированный базис. 3. Г!усть !! — пространство многочленов степени не выше чем и — 1. Скалярное произведение определим так же, как в предыдущем при вере.

Возьмем базис 1, б 1з, ..., Г"-Ь Пропесс ортогонализацив привозит иас, как и в примере 2, к последонательностн многочленов 1,С!з — —, гз — — б 1 3 3' 5 Эги многочлены с точностью до множителей совпадают с многочленамн 1 яа (!з — 1!" 2ь 1Н Втз которые называются многочленамн Лежандра. 1йногочлены Лежандра образукт ортогональный, но не нормированный базис в 11. Умножая каждый из этих многочленов на соответствующий множитель, мы можем построить ортогональный и нормированный бааис; его злемснты будем обозначать через Ра Я.

Пусть е„е„..., е„— ортогональный базис евклидова п(юстранства Я. Найдем, как выражается скалярное произведение двух векторов через их координаты в этом базисе. Пусть з„$„..., $„— координаты вектора х, а т1,, т1„.... т1,— координаты вектора у в этом базисе, т. е. х = $,ег + $,е, +... + чае„, У = тЬгет+ т1,е, + . + пые' Тогда (х, У) = ($ег + 5зе, +... + 5ле„, т(е, + т!е„+... + т1„е), и так как ! 1 пРи г=й, ! 0 при Г~й, (х, У) =$гт1г+$,т~, +... +йят1„, (6) т. е.

в нормированном ортогональнолг базисе скалярное произведегтие двух векторов равно судие произведений их сооомгоютвугои1их координат (ср. пример 2 2 2). а э1 ИЗОМОРФИЗМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ аз У и ражие пня. 1. Показать, что в произвольном базисе )м >а, ..., >„скалярное произведение задается формулой Л (' у)= Х ло~>Ч' г. А=! где ам=па>, а в>, са, ...,с„и >1„>1м ..., >1„— ксюрдинаты векторов х и соответстненио у. 2.

Показать, что если в некотором базисе >„гт, ..., („скалярное произведение задается формулой (х. у)=$ Ч>+йечз+ ". +$лн ° где ь„сю ..., 5„и т>ь Чз, ..., ׄ— кооРдинаты вектоРов х и У, то этот базис является ортогональным и нормированным. Найдем координаты вектора х в нормированном ортогональном базисе е„ е„ ..., е„. Пусть х = Ете, + $,е, +... + $„е„. Умножив обе части этого равенства скалярно на е„по- лучим (х, е,)=с, (е„е,)+$„(е„е,)+... +$„(ею е,)=$, и, аналогично, $з = (х, е,), ..., 5„= (х, е„). (7) Итак: координата вектора в ортогснальио>и нориирсваннолг Г>ивисе суть скалярные произведения этого вектора на соответствующие базисные векторы.

Скалярное произведение вектора х на вектор е длины единица естественно назвать проекцией вектора х на вектор е. Доказанное утверждение означает, что, как и в аналитической геометрии, координаты вектора в ортогоиальиол> нориирсваннолг Г>алисе суть проекции эаюго вектора на базисные векторы (на оси координат).

П р имер ы. !. Пусть Ре (1), Р, (1), ..., Р„(1) — нормированные многочлены Лежандра нулевой, пер=ой... л-й степени, Пусть, далее, 1г'(1) — произвольный многочлен степени л. Представим >7 (1] в виде линейной комбннанни многочленов Лежандра. Совокупность многочленов степени ~л образует «+ 1-мерное линейное пространство, Ра(!), Р, (1), ..., Р„(1) образуют ортогональиый базис в нем. Поэтому нсякий многочлен степени чсл представим в вийе 4> (!) = се Ре (1) -(- с~Р, (1)+... +с„Ра (1). !гл. ! Л-МВРНОН ПРОСТРАНСТВО Коэффициенты сп как ьто следует из (7), вычисляются по формулам ! = $ а (!) Р! (!) л!.

-! 2. Рассмотрим на интервале (О, 2п) систему функций 1, сов!, ь!и!, сов 21, ь!п21, ..., сов я!, ыпн!. (8) Их линейная комбинация Р (!) = — а+ а, соь г+Ь, сйп !+а сов 2!+... +Ь„ь!Вл! называется тригонометрическим многочленом и-го порядка. Совокупность тригонометрических многочленов л-го порядка обрааует (2л+ !)- мерное пространство )7г. Определим в )7г скалярное произведение, как обычно, т. е. положим (Р, !))= ~ Р (!)О (!) а!. о Легко проверить, что система (8) будет ортогональным базисом. Действительно, сов д! соз !! г)1=0, если Ь ~ 1, о зя з!п й! соь !1 82 =О, о 2к = ° ь!ил! ь!п й И=О, если й Ф !.

Твк как З!Вьй!81= ~соььйГбг=п, а ~ )б1=2п, о о о то функции 1 ! 1 1 1 —, =сов!, =ь!и!, ..., — сов я!, =з!пи! (8') 3~2н Ргн 3~'и Р и )г и образуют в )72 ортогональиый нормвроианный базис. $9) ИЗОМОРФИЗМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ 45 2.

Перпендикуляр из точки на подпространство. Кратчайшее расстояние от точки до подпространства*). Оп ределенне 2. Пусть й,— надпространство евклидова пространства )с. )Иы будем говорить, что векпюр йЕ Й ортогонален надпространству )сы если он ортогонален любому вектору х из КР Если вектор Ь ортогонален векторам е„е„..., е, то он ортогонален любой их линейной комбинации.

Действительно, из равенств (й, е;)=0 следует, что для лкбых чисел Л, Л„..., Л„ (й, Л,е,+Л,е,+... +Л„е„)=0. Поэтому, для того чтобы вектор й был ортогонален т-мерному подпространству )с„достаточно, чтобы он был ортогонален т линейно независимым векторам из )с, (базису в гс, *а)). У п р а ж и е н и е. Показать, что совокупность всех векторов рей, ортогональных к полпространству йь также образует полпространство пространства й. Эго полпространство называется ортогональным дополнением к подпространству Йх в пространстве й. Рассмотрим в пространстве )с некоторое т-мерное подпространство )с, яке) и вектор ), не принадлежащий Кы Поставим задачу: опустить перпендикуляр из точки ~ на Иы т.

е. найти вектор )е из )с, такой, чтобы вектор Ь=) — )", был ортогонален )сы Вектор ~а называется при этом ортогональной проекцией вектора ) на надпространство )с,. Несколько позже мы увидим, что эта задача всегда имеет решение, притом единственное. Сейчас мы покажем, что, как и в элементарной геометрии, перпендикуляр есть кратчайшее расстояние от точки до подпространства. Другими словами, покажем, что если ~, есть отличный от ~, вектор из ЙО то *) Этот пункт можно прн первом чтении пропустить. *') Для случая, когда Я, есть плоскость, эта теорема в ваементарной геометрии называется теоремой о двух перпенлнкулярах. "*) Размервость самого просгранства Я,пля нас несущественна.

Оно может быть даже бесконечномерным. и-меРное пРООТРАнство ггл. 1 Действительно, вектор ),— )О как разность двух векторов из )т„принадлежит )т, и, следовательно, ортогонален вектору(6=) — 1,. По теореме Пифагора имеем: ~ 1 — !. Г'+ ~ 1. — ! à — -- И вЂ” 1. + 1. — 1, Г =! 1 — 1)!) и, значит, 1à — 1!1> У вЂ” 1.!. Г1окажем теперь. как фактически вычислить по Г его ортогональную проекцию ), на подпространство )г, (т.

е. опустить перпендикуляр из ) на 1),). Пусть базис поди(:остранства ь(, состоит из векторов е„е„..., е,„. Будем искать вектор 1, в виде ),=с)е,+ се,+... +с,„е, (9) где коэффициенты сь найдем из условия ортогональности à — 1, к К). Для того чтобы эта ортогональность имела месю, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись т равенств (1 — 1„, еь) =0 (й=1, 2, ..., т), т. е.

()„е,)=-Д, еь). (10) Подставляя сюда вместо 1, его выражение (9), получгем систему т ургвнений с,(е„ е,) + с,(е„ е„) + ... + с„ (е„, еь) = (Г, е„) (й= 1, 2„..., т) (11) относительно чисел сь Рассмотрим сначала отдельно часто встречающийся случай, когда базис е„е,„..., е,„— ортогональный и нормированный. В атом случге задача решается особенно просто. Действительно система (11) превргщается в таком базисе в систему равенств сг=(г, е;)„ (12) сразу определяющих нужные коэффициенты. Так как в кгждом и)-мерном подпространстве можно выбрать ортогональный нормированный базис, то мы доказали, таким Образом, что у кахсдого векпюра 1" существует, и притол) только одна, ортогональная проекция ~„ на надпространство К). Э З1 ИЗОМОРФИЗМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ 47 Вернемся теперь к случаю произвольного базиса.

В этом случае система (11) также должна иметь единственное решение. Действительно„вектор ~Ф по доказанному, существует и притом только один. В базисе е„ е,...., е„вектор 1, имеет вполне определенные координаты с„с„..., с„. Так как эти числа удовлетворяют системе (11), то эта система имеет, следовательно, единственное решение. Система т уравнений с т неизвестными может иметь единственное решение, лишь если ее определитель отличен от нуля. Отсюда следует, что определитель системы (11) (е„ е,) (е„ е,) ... (е , е,) (е„ е,) (е„ е,) ... (е,„, е,) (е„е ) (е„е„) ...