И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре, страница 44

Найти поправки для собственного вектора во втором приближении, умножая скалярно обе части равенства (6) на ее Ответ. >тбу» Кроме указанных уравнений надо воспользоваться также условием нормировки, т. е. равенством (ее+ее>а»+еае>ае>+ ..., еа+ееД>+еае>аа>+...) =1. ф 2. Случай кратных собственных значений Рассмотрим теперь случай, когда Л есть г-кратное собственное значение преобразования А.

Обозначим через (1) какие-либо г попарно ортогональных собственных векторов преобразования А, отвечающих этому собственному значению Л. Заметим, что, так как е; (1= — 1, 2, ..., г) отвечают одному и тому же собственному значению Л, то линейнан комбинация этих векторов также будет собственным векторол>, отвечающим этому собственному значению.

Этими линейными комбинациями исчерпываются все собственные значения преобразования А, отвечающие собственному значению Л. При замене преобразования А на А+еВ собственное значение перестанет, вообще говоря, быть кратным, и вместо Л мы получим г различных собственных значений Л,(е), Л,(е),..., Л,(е). Соответствующие нормированные собственные векторы обозначим через е,(а), ... ..., а, (е). довдаление Например, если А — единичное преобразование, т. е. Л =Е, в л-мерном пространстве, а  — произвольное саызсопряасенное преобразование с попарно различными собственными значениями Хы..., Х„, то А=Е имеет л-кратаое собственное значение 1, а А+еВ=Е+еВ имеет л различных собственных значений !+Хте, !+Хчв,..., !+Х„а. Аналогично случаю простых собственных значений Х! (Е) и е;(е) являются непрерывными н днфференцируемыми функциями от е.

При е- О Ха(е) стремятся к собственному значению А, т. е. к Ле Мы имеем Ха(е)=Х!+еХ)н+е'Л,'и+ ... (2) Для собственных векторов е,.(е) преобразования А+ЕВ мы имеем аналогичное равенство еа(е) =ее+ее)" +е'е™+ ..., (й) еа=!пиеа(е), и значит, е, есть собственный вектор преобе 0 разоваиия А, отвечающий собственному значению Х. Следовательно, е, есть какая-то, заранее нам неизвестная, линейная комбинация векторов (!). Таким образом, в отличие от случая некратных собственных значений, сами е! также подлежат определению.

Подставим в равенство (А+ЕВ)е;(е)=Ха(е)еа(е) выражения (2) и (3). Сравнивая, как и в предыдущем случае, коэффициенты при е, получаем Ве<+Ае)н=Хгы+Х)ыен с=),..., г. (4) Здесь вектор е! является, как было указано, линейной комбинацией собственных векторов )„,..., !'„: еа=ЧА+Ча~.+ ". +з),~,. Наша цель †най число Х)о и вектоР ен т. е. числа Ч~ ' ' Чс' Умножая обе части (4) скалярно на )», получим (Вен !" )+(Ае,'", )а) =-(Хе,"', )')+Л,"'(ен '!и), или, так как (Ае)о, !а) =(е,'",А)а) =Л(е,'", $а), (Вен ~а)=Х)ы(ен (а). Подставляя в левую часть этого равенства вместо е; его выражение и замечая, что (ео )а) =т!, получим l .а" .(Нр.

1а) Чр = Х) "Ча. тт1 УЗ] СЛУЧАЙ КРАТНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ илн / Х йАРЧР=')ч ЧАю р=! 1В1,, 1,) =Ь„,. Итак, числа Х)о являются собственными значениями матрипы ~)Ь р(), й, р = 1, 2,..., г, т. е. определяются из уравнения Ое1 й'Ьд,— ),о,А)! =-О, а вектор е, определяется Формулой е;=ЧА+. -. +Ч,1,. где числа т); находятся из уравнений (1). Аналогично можно было бы найти поправки к собственным векторам, т. е. е~о, е,'н, и следующие поправки к собственным значениям, т.

е. ААН. .