И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре

ЛККНИИ ПО ЛИНКИНЮИ АЛГКВРК имг б д ОГЛАВЛЕННЕ Прл Ч 5 л ПРД» 1 5 Д Г 1 !»Ч ! Л И 7 б !ц фр. 21Л И бфф 3 р« 32Е д р р 39 23 ор иб ЗВ И рф щ Ч Р 54! й»«юр 55 Ф Р 45ПР д др»ифр М ббпр д др щ4фр е р бр 3 .» 79 В4 г и Л й р бр 39Л и р бр О Д 9 19 И р д р р , 1!2 5 и л гщ р бр , 124 Р» б !г С р . б р 3 132 р.

Ор О» р Г Н 3 р »р Ор !ЗВ 95 ПРЕДИСТОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМ!' ИЗДАНИЮ В ц .р ° д „,И р„р,флт,р, р, 2й, щ и. МИГР Дб б 49 А рй др ЮАГ И!щ У ОДщир ото б 14 п р ъ 143 р бр 415 Р И 14В рб!!д 3' Р ' Р 415Л й р бр 155 Г 1В к щщр . н! И р бр И р бр б!9 пр л р !тв Ф р 429 ДР3 д„щ,, р Иа Р д ! Иф! 4 21 И р 195 2 22 3. р щ 94 Г Р7 221 4 23 С р бд И 2 22! 324 т р 231 2 25 Т р» р д 24В Д б тр тщ И 2б4 р* 5.

ПРЕДИСЛОВИЕ КТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ н щ р д Рд Р» лб И Р НЮ, !., »„5» '! Р Р д Рл »«Р иб р,и1Р2 Здй р В, „,р,дц, И1' Ф 3Д бр 1945 ГЛАВА 1 исМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ЛИНЕЙНЫЕ Н ВНЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ й 1. Линейное (аффиннае) и-мерное пространство 1. Определение линейного пространства.

Часго приходится встречаться с объектами, над которыми производятся операции сложения н умножения на числа. Приведем несколько примеров. 1. В ге о м е т р и н объектами такого рода являются секторы в трехмерном пространстве, т. е. направленные отрезки. При этом, если два направленных отрезка можно совместить параллельным переносом, то считается, что они определяют один и тот же вектор.

Поэтому удобно все зти отрезки откладывать от одной какой-либо точки, которую мы будем называть началом координат. Операция сложения векторов, как известно, определяется следующим образом: суммой векторов х и у мы считаем диагональ параллелограмма со сторонами х н у. Известным образом вводится также умножение на числа. 2. В алгебре мы встречаемся с системами и чисел х=($„$„..., $„) (например, строки матрицы, совокупность коэффициентов линейной формы и т. д.). Для таких систем операции сложения и умножения на числа обычно определяются так: суммой систем х=($„$„..., $„) и у —.

(т)„Ч„..., Ч„) называется система х+ у ==- =(х| +Ч ты+Чу ° ° - 1~+ Ч„). ПРоизведением системы х.=-(ь„$,„..., С„) на число 3| мы считаем систему =- (ц„ц.„..., ц„). 3. В а н а л и з е определяются операции сложения функций и умножения нх на числа. В далгп|ейшем мы и-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТБО [ГЛ [ для определенности будем рассматривать совокупность всех непрерывных функций, заданных на сегменте [а, б). В приведенных примерах однй и те же операции сложения и умножения на числа производятся над совери;енно разнымн объектами. Для того чтобы изучить все такие примеры с единой точки зрения, мы введем понятие линейного, или аффинного, пространства. Определение 1.

Множество )с' элементов х, у, г, ... называется линейным (аффинныл[) пространством, если: а) каждым двум элементам х и у поставлен в соответствие элемент г, называемый суммой элементов х и у; гул[ма элементов х и у обозначается через х+у, Ь) каждому ввел[виту х и каждому числу Х из некоторого поля поставлен в соответствие элемент Хх, называемый произведением числа л. на элемент х. Эти операции должны удовлетворять следующим требованиям (аксиомам): 1.!'к+у=у-[-х (комм утативность), 2' (х+ у)+г =-- х+ (у+ г) (ассоциативность). 3' Существует элемент О такой, что х+О:-:х для любого х.

Элемент О назь[вается нулевым элементом. 4' Для каждого х существует элемент, обозначиемьш" через — х, такой, чпю х+( — х) =О. П. 1' 1. х =- х, 2' а([)х)=.ар(х). П1. 1' (а+ р) х = ах+ [)х, 2' а(х+у) =ах+ау. Мы не случайно не сказали, как именно определяются операции сложения и умножения на числа. От этих операций требуется толысо, чтобы были выполнень[ сформулированные выше аксиомы. Поэтому всякий раз, когда мы встречаемся с операциями, удовлетворяющими перечисленным выше условиям, мы вправе считать их операциями сложения и умножения на числа, а совокупность элементов„ для которых эти операции установлены, — линейным пространством. Предоставляем читателю проверить, что в приведенных примерах 1 — 3 эти аксиомы выполнены.

Поэтому 1 — 3 яьляются примерами линейных пространств. э:11 ЛИНЕЙНОЕ (АФФИННОВ) и-МЕРНОВ ПРОСТРАНСТВО 9 Рассмотрим еще несколько примеров. 4. Совокупность всех многочленов степени, не превыщающей натурального числа п, с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на числа образует линейное пространство.

Заметим, что множество многочленов степени п не образует линейного пространства, так как сумма двух многочленов степени и может оказаться многочленом более низкой степени: например (1" +1)+( — Гя+1) = 2г. 5. Элементами пространства )7 являются матрицы порядка п. Суммой матриц !)ага)) и ()Ьга)! назечвается матрица йага+Ьга'р, произведением матрицы йага'й на число Л вЂ” матрица й Лапе й. Нулевым элементом при этом будет матрица, состоящая из одних нулей.

Можно проверить, что все аксиомы линейного пространства здесь выполнены. б. Совокупность всех многочленов степени, не превыгпающей натурального числа и, и имеющих положительные коэффициенты, не образует линейного пространства: если многочлен Р(х) входитъ эту совокупность, то — Р(х) в нее не входит. 7. Не образует линейного пространства и совокупность непрерывных функций на сегменте 1а, 61 таких, что 1)(х))(1: из того, что ~),(х)/<1 и !~,(х)~ <1, не следует !~,(х)+Г,(х)((1.

Элементы линейного пространства мы будем называть веклюралга. То обстоятельство, что это слово часто употребляется в более узком смысле (так, как в примере 1), не должно нас смущать. Геометрические представления, связанные с этим словом, помогут нам уяснить, а иногда и предвидеть, ряд результатов. Если числа Л, р,, участвующие в определении линейного пространства, вещественны, то пространство называется еем(есгппеннотм ланейным пространстлом. Если же эти числа Л, р, ... берутся из поля комплексных чисел, то гг называется комплексным линейным пространспмош.

Более обнго, мы можем предполагать, по Л, и, ...— элементы произвольного поля К. Тогда й назыаается линейным прогтланслмон над полем К. Многие понятия н теоремы, излагаемые ниже, а.мвРнОи пРОстРАнстВО ~гл. 1 в частности, все содержание этого параграфа, автоматически переиосвтсл иа линейные пространства над любым полем, Однако в главе ! мы будем обычно предполагать, что й — вепгесгвенное линейное пространство. 2. Число измерений (размерность) пространства. Важную роль в дальнейшем будет играть понятие линейной зависимости и линейной независимости векторов. Оп ределенне 2.

Пусть К вЂ” линейное пространсгпво. Векпюрьг х, у, г, ..., и называются линейно зависимыми, если существуют такие числа и, р, у, ..., О, из которых хогля бы одно отлично от нуля, что ах+~у+те+... +Оп=О. (1) Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Другими словами, векторы х, у, г, ..., о называются линейно независимыми, если равенство ах+ ру+ рг+... +Оп= 0 возможно только при и=(3=у=... =О=О. Пусть векторы х, у, г, ..., о линейно зависимы, т. е. пусть они связаны соотношением вида (1), в котором хотя бы один из коэффициентов, например се, отличен от нуля. Тогда н, разделив на сс и положив В у О Лю р ° 1 ь получим: х=Лу+рг+...

+ьо. (2) Если вектор х выражается через векторы у, г, ..., о в виде (2), то мы будем говорить, что х есть линейная колгбинация векторов у, г, ..., щ Таким образом, если векторы х, у, г, ..., о линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Иы предоставляем читателю проверить, что верно и Обратное, т. е. что векторы, один из «аторых есив линейная комбинация остальных, линейно зависимы.

Лнннянов <дениниипн1 и-зтспнос ппоотплнство 11 У и ражи ения. 1. Проверить, что если среди векторов х, у, ..., и иместея нулевой вектор, то эти векторы обязательно линейно зависимы. 2. Показать, что если к линейно завиеимылг векторам х, у, г, ... добавить еже произвольные векторы и, и...„то вее зги векторы вместе также будут линейно зависимы.

3. Доказать, что если векторы у, г, ..., и линейно независимы н вектор х есть их линейная комбинация х=ау+бг+... +би, (3) то представление (3) единственно. У к а з а н и е. Предположить, что есть другое представление: х= а у+ й,г+... -1- б,и, (4) и вычесть равенство (4) из равенства (3). Перейдем теперь к определению понятия числа измерений (размерности) пространства. В совокупности векторов на прямой всякие два вектора пропорциональны, т. е. линейно зависимы. На плоскости можно найти два линейно независимых вектора, но уже всякие три вектора линейно зависимы.

Если 1с— совокупность векторов трехмерного пространства, то три линейно независимых вектора в Я найти можно, но всякие четыре вектора линейно зависимьь Мы видим, что максимальное число линейно независимых векторов на прямой, плоскости, в трехмерном пространстве совпадает с тем, что в геометрии принято называть числом измерений прямой, плоскости, пространства. Естественно поэтому следующее общее Определение 3.