И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре, страница 6

Рйы определили угол р между векторами х и у фэрыулой СО5 ГР=— (х, у) ! !!в!' Для того чтобы можно было определить гр из этого равенства, нужно доказать, что — -!хнв!- или, что то же самое, что (х, у)* !х!'!у!' т. е. (х, у)' =.(х, х) (у, и). (б) Это неравенство называется неравенством Коши — Буняковского. Итак, для гпого чтобы иметь право определить угол между двумя векторами формулой (б), мы должны доказагль неравенство Коши — Буняковского а). Чтобы доказать его, рассмотрим вектор х — гу, где г — произвольное действительное число. Согласно аксиоме 4' скалярного произведения (х — 1у, х — гу))0, *) В примере 1 п.

1 этого параграфа нет надобности доказывать это неравенство. Действительно, там в силу принятого в векторном исчислении опрелелення скалярного произведения яелнчина есть косинус некоторого уже аараиее опрелеленного угла (х, в) Гх(!р! мемяу векторами н поэтому она по абсолютной величине не пренос. холят 1. л.МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО [Гл.

1 т. е. для любого ( (з(д, у) — 2((х, д)+(х, х) ~О. Мы видим, что стоящий слева квадратный относительно 1 трехчлен принимает лишь неотрицательные значения. Следовательно, дискримннаит уравнения Р(у, у) — 2((х, у)+(х, х) =-О не может быть положительным, т. е. (х, д)' — (х, х)(у, у) =О, что и требовалось доказать. У п р аж н е н не. Доказать, что знак равенства в (6) имеет место тогда и только тогда, когда векторы к н р линейно зависимы.

П р и меры. Иы доказали неравенство (6) для аксиоматически заданного евилилового пространства. Разберем, кзк выглядит это неравенство в приведенных выше (п. 1) примерах евклидовых пространств. 1. В примере 1 неравенство (6) ие означает ничего нового (см. сноску на стр. 35). 2. Так как в примере 2 скалярное произведение задается формулой л (х, у)= ~~ Вяь г=г л л (х, «)= Х М, (р, р) = Х ч); г=\ г=1 поэтому неравенство (6) имеет здесь вид: Хаги ~,'ХИ Хч) . 3. В примере 3 скалярное произведение имеет вид: (х, д) = )~ ~аеас;ча, г. А=г где (2) ага =ггм (3) агасДА -л О к ь=г для лкбых еьл поэтому равенство (6) означает: зт СВКЛИДОВО ПРОСТРЛНСТВО 4 2) Если числа аеь ддовлеепворяют условиям (2) и (3), то имвет место неравенство аеьвеЧь (,~~ аеьсДь ~ аеьЧеЧь .

У п р а ж н е н и е. Показать, что если числа аеь удовлетворяют условиям (2) н (3), то а:,.' аиаьь. (Указание. Выбрать в только что выведенном неравенстве специальным образом числа сг, .... сл НЧ1 Че" Ч') 4. В примере 4 скалярное произведение задается интегралом Ь ) 7(е) в(е) гее. поэтому неравенство (6) имеет внд: с е Ь Ь ( ( (Е) Е (Е) г(Е ) ~ ( (з (Е) ЬЕЕ. ~ яз (Е) ВЕ. й и а Вто неравенство играет важную роль в разных вопросах анализа. Приведем пример неравенства, являющегося следствием неравенства Коши — Буняковского. Для любых векторов х и у в евклидовом пространстве И имеет место неравенство (х+у(((х)+(у(. Доказательство.

)х+у(ь=(х+д, х+у)=(х, х)+2(х, у)+(у, у); (7) так как (в силу неравенства Коши — Буняковского) 2(х, у) (2(х~~у(, то (х+д)ь=(х+у, х+у)((х, х)+2(х!(д(+(у, д)= =((х(+) у()з, Упражнение. Написать неравенство (т) в каждом нз примеров евклидовых пространств, разобранных я начале этого параграфа. т. е. (х+д~ ~( х(+) д~, что и требовалось доказать. (См. также у 3, стр. 54.) [ГЛ. 1 Л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО В геометрии расстояние между двумя точками х и у*) определяется как длина вектора х — у. В общем случае п-мерного евклидова пространства определим расстояние между х и у формулой й= ~х — у). й 3. Ортогональный базис.

Изоморфизм евклидовых пространств 1. Ортогональный базис. В 5 1 мы ввели понятие базиса (системы координат) аффинного пространства. В аффинном пространстве у нас нет оснований предпочитать одни базись1 другим †т все базисы равноправны **). В евклидовом пространстве существуют наиболее удобные базисы, а именно ортогональные базисы. Они играют здесь ту же роль, что и прямоугольные системы координат в аналитической геометрии.

Определение 1. Будем говорить, чпю и векторов е„е„..., е„, ни один из которых не равен нулю, образуют орпюгональный базис в п- черном евклидовол~ пространстве )с, если они попарно ортогональны. Векпюры е„е„..., е„образуют ортогональный нормированный базис, если оии попарно ортогональны и имеют каждый длину 1, т. е. если / 1 при (=й, 1 0 при 1Фй. ') )чы будем обозначать одной и той же буквой вектор и точку, являющуюся его конном (векторы мы проводим из аачала координат, см.

стр. 7). **) Точный смысл этого утверждения таков. Если внимательно просмотреть приведенное в $ 1 доказательство изоморфизма аффипных пространств, то легко заметать, что там доказано несколько больше, чем сформулировано, а именно, доказано, что между двумя л-мерьымп пространствами можно установить изоморфное соответствие так, чтобы заданный базис одного пространства перешел в заданный базис другого пространства. Б частности, если в И заданы два базиса е„ еэ, ..., е„ н е',, е', ..., е'„, то существует изоморфное отображевие пространства )1 на себя, при котором первый базис переходит во второй. за~ НЗОМОРФИЗМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ 39 Для того чтобы данное нами определение ортогонального базиса было корректным, необходимо доказать, что входящие в определение векторы е„е„..., е„действительно образуют базис, т.

е. линеино независимы. Докажем это, т. е. покажем, что равенство Л,е, + Л, е„+... + Л„,е„= О (2) возможно лишь, если Л,=-Л»=... =Л,=О. Умножим обе части равенства (2) скалярно па ая Получим: Л,(е„е,)+Л»(е„е,)+... +Л„(ея е„) = — О. Но по определению ортогонального базиса (е„е,) чьО, (ео а») =О при й~1. Следовательно, Л, =-О. мналогично, у»шожая (2) скалярно нз е„получим, что Л,=О и т. д. Мы доказали, таким образом, что еы аО ..., е„линейно независимы. Чтобы доказать существование ортогональпых базисов, воспользуемся так называемым лро»(ессом ортагоналпза»(ни, который часто встречается в геометрии. Он состоит в том, что из данных линейно независимых векторов ..., )„строятся т попарно ортогональных некто;юв е„...,е. Опишем этот процесс.

Г!усть даны т линейно независимых векторов 1О По этим векторам мы построим процессом ортогонализации Ач попарно ортогональных векторов. Положим е,=(Р Вектор е, будем искать в виде: е»= = 1, + аен Число и подбегем так, чтобы (е„е,) = О, т. е. ()»+ае„е,)=О. Отсюда а= — — * О„е,) м„е,) ' Предположим, что попарно ортогональные и отличные от нуля векторы е„е„..., е», уже построены, ВекТОР Е» ИЩЕМ В ВИДЕ: е» вЂ”вЂ” )»+Л,е,+... +Л»,е» „ (3) т. е.

вектор е» мы получаем нз вектора )»»исправлением» его с по»юп„ью линейной комбинации уже построенных векторов е„е„..., е»,. 40 Л-»1ЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 1ГЛ. 1 Коэффициенты Л1г Л»1 ~ Л» 1 находим из услОВИЯ ортогональности вектора е»=)»+Л,е, +...

+Л»,е„, к векторам е„ е„ ..., е»,: (г»+Л,е,+... +).,е» „е,) =-О; (г +).,е,+... +Л»,е,, е,) =О; ()»+Л»е»+... +Л,е» „е»,)=О. Так как векторы е„е„..., е„, попарно ортогональны, то эти равенства записываются в виде: ()», е,) + Л, (е„е,) = О; Д», е,) + Л, (е„е,) = О; ()», е„,) + Л», (е» „е»,) = О. Отсюда ()», ее) (ее ее) ' (г*, е»- ~) (е» „е»,) ()м е1) (е„е,) До сих пор не было использовано то, что векторы )„ )„..., ~„линейно независимы. Мы используем это при доказательстве того, что построенный вектор е отличен от нуля. Заметим предварительно, что вектор е„есть линейная комбинация векторов е„, е„..., е» „Г».

Но вектор е„, можно заменить линейной комбинацией вектора )» , и векторов е„ е„ ..., е» , и т. д. Окончательно мы получаем, что вектор е„ записывается в виде е»=а,)1+а»),+... +а»,)»,+Г». (5) Теперь ясно, что е»~=О. Действительно, в противном случае правая часть равенства (5) была бы нулем, что противоречит линейной независимости векторов ~„ ~„ ... ...,)», так как коэффициент при Г» равен 1. Итак, дока- вано, что е»чьО. Мы построили по векторам е„е„..., е» и )» вектор е„. Таким же образом по е„е„..., е» и )»+1 мы построим е»е» и т. д. 4 з) НЗОМОРФИЗМ ВВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ 41 Продолжая этот процесс до тех пор, пока не будут исчерпаны заданные векторы (ы 1"„..., („, получаем т отличных от нуля и попарно ортогональных векторов е„ е„..., е„.

Докажем теперь следующую теорему. Теорема. Во вслкоэг п-мерном пространстве сущесглвуют орпюганальные базисы. До к а з а тел ь ство. По определению пмерного пространства ($ 1, п. 2) в нем существует какой-то базис (ы ..., („. С помоЩыо пРопесса оРтогонализании из него можно построить ортогональный базис е„..., е„, что н доказывает теорему. Если заменить векторы е„векторами еа в„'= —, (ез( ' то это будут, как нетрудно видеть, попарно ортогональные векторы длины 1, т. е. мы получим ортогональный нормированный базис.