И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре, страница 10

Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса. Пусть даны в и-мерном пространстве два базиса: е„с„..., е„н („,Р„..., Т„. Пусть векторы выражаются через векторы базиса е„ с„..., е„з(орыуламн 1, = с„е, + с„е, +... + сел се, ),=с„ез+с,„е,+... +с„,е„, (5) Т„ = с,„е, + с,„е„ + ... + с„„е„. Таким образом, смм с,„, ..., с„а — координаты вектора (а в базисе е„е„..., е„. Матрицу / *" с с ...с„ с=( '*'"' '*" '),с„,с„,...саа назовем матрицей перехода от базиса е„ с„ ..., е„ к базису („ )„ Пусть А = )! а;а !! есть матрица билинейной формы А(х; д) в базисе е„е„..., с„, а В=!1Ьтз(! — матрица той же билинейной формы в базисе т„(„..., Т„.

Наша задача состоит в том, чтобы по матРице 1!и!А(! найти матрицу ~1 Ьтз!(. $4] Билинейные и квАЛРАтичные ФОРмы 61 По определению (фор]лула (4)1 Ь е=-А (тр, ]ч), т. е. Ь вЂ” значение билинейной формы А(х; у) прй х=~, у=аз; для того чтобы найти его, воспользуемся формулой (3), подставив в нее вместо $„йз, ..., $„и 4]„1]„... ..., т]„координаты векторов тр и Ц в базисе е„е„... ЛУЧИГЛ: Ь„=А(тр; т„)= ~, атас]рс„,. Г.

а=1 (6) Ь = ~ с',ал„с„ . Г. а=т В матричной форме это означает з): В= С'АС. (Г) Итак: если А и В суть матрицы билинейной формы А(х; у) соответственно в базисах е„е„..., е„и ~м у„..., т„, то В=С'АС, еде С вЂ” матлрица перехода отл ') Произведение двух матриц определяется, как известно, так: элемент произведении матриц, стоягцнй на пересечении Г-й строки и й-го сп1лбца, равен сумме произведений элементов Ьй строка первой матрицы на соответственные элементы й-го столбца второй матрицы. Удобнее зто правило записывать а виде формулы а ела= чэот,ь,а, О=1 где ат„— элементы первой матрицы, а ь„а — элементы второй матрицы.

Отсюда, применяя это правило дважды, можно получить, чтс произведение трех матриц вычисляется так1 если лГ=А]]С, то и ага== ~Ь„"лт„а.,хра. а, а=1 Если А' — матрица, транспонированная к матрице А, то элементы а матрицы А'Л]С имеют внд ч1' о,ГЬ„хра. а, р=г Это есть искомая формула. Запишем ее в матричной форме. Для этого положим с',à — — стр] таким образотл, с'Г являются элементами матрицы С', транспонированной к матрице С. Тогда [Гл г Л-МЕРНОВ ПРОСТРАНСТВО базиса е„ е„ ..., е„ к базису [О [„ ..., [„, а С'— матрица, транспснированная к матрице С. 5. Квадратичные формы, Определение 4.

Пусть А(х; у) — симметричная билинейная форма. Функция А (х; х), которая получается из А(х; у), если положить у=х, назьгвается квадратичной форлго[7. А (х; у) называется билинейной формой, полярной к квадратичной форме А (х; х). '[ребоваине симметричности формы А(х; у) в определении квадратичной формы оправдывается следующим предложением, которое без этого было бы неверно.

Полярная форма А(х; у) однозначно определяется своей квадратичгшй формой А (х; х). До к а з а те л ь с т в о. Из определения билинейной формы легко следует, что А (х+ у; х+ у) = А (х; х) + А (х; у) + А (у; х) + А (у; у). Отсюда в силу симметрии (т. е. равенства А (х; у) = А(у; х)) получаем: А (х; у) = — (А (х+ у; х+ у) — А (х; х) — А (у; у)1, 1 В правой части этого равенства стоят значения квадратичной формы; следовательно, мы доказали, что билинейная форма А(х; у) определяется своей квадратичной формой '). *) Функция А[я[ х), полученная из произвольной (не обязательно симметричной) билинейной формы А(х; у), может быть получена и из симметричной билинейной формы.

Действительно, пусть А (х; у) — произвольная билинейная форма; тогда 1 А,(х; у)= 2 (А(г, у)+А(у[ х)) есть снова билинейная форма и притом, как можно видеть, симмет ричиая. Но А, (х: х) = — ( А (х; х) + А (х; х)) = А (х; х), 1 2 т. е. А,(х; у) приводит нас (при у=х) к той же квадрагнчной форме, что и А(х; у).

5 41 Билинейные и КБАДРАтичныа ФОРмы ьз Выше мы уже доказали, что всякая симметричная билинейная форма А(х; у) записывается через координаты векторов х и у в виде п А(х; у)= т.~ адДр~, где ам=аль Поэтому: всякая квадратичная форма А (х; х) при заданном базисе выражается формулой А (х; х) = ~ч'" „а,.ь$ДА, и ь=з где а;А=аль Введем еще одно важное Определение 5. Квадратичная форма А(х; х) называется положительно определенной, если для любого вектора х Ф-О, А(х; х)>О.

Пример. А (х; х) = $;+Ц+...+Ц является„ очевидно, положительно определенной квадратичной формой. Пусть А (х; х) — положительно определенная квадратичная форма и А(х; у) — ее полярная форма. В силу сформулированных выше определений это означает: ! А(х; у)=А(у; х). 2' А(х,+х,; у)=-А(х,; у)+А(х,'„у). 3 А(Хх; у)=ХА(х; у). 4' А (х; х) > О и А (х; х) > О при х чь О. Мы видим, что зти условия совпадают с аксномамн скалярного произведения, сформулированными в $ 2. Следовательно, скалярное прои.ведение еппь билинейная форма, соответствуюи(ая положительно определенной квадратичной форме, и мобил такая форма может быть принята за скалярное произведение.

Поэтому мы можем определить евклидово пространство следуюшнм образом. Евклидовым пространапвом называется аффинное пространспмо, в котором выбрана какаянибудь фиксиро- б4 [ГЛ. ! Л.МВРНОЕ ПРОСТРАНСТВО ванная положительно определенная квадратичная форма А(х; х). Значение А(х; у) соотвопству[ои(ейа) ей билинейной формы счигпается при этом скалярным произведением'*) векпюров х и у. й 5. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов Мы знаем уже, что выражение квадратичной формы А(х; х) через координаты вектора х зависит от выбора базиса. В этом параграфе будет показано, как привести квадратичную форму к сумме квадратов, т. е.

выбрать такой базис (сне[ему координат), в котором квадратичная форма имеет простой вид А(х; х) =ЛД+ЛД+... +Л„Ц. (1) Пусть в некотором базисе )1, [„..., 1„имеем равенство А (х; х) = ч~~ а[аЧ!Ча, (2) 1, а=! где т[„Ч„..., ׄ— координаты вектора х в этом базисе. Будем постепенно преобразовывать базис так, чтобы в формуле (2) пропадали произведения координат с различными индексами.

Так как каждому преобразованию базиса отвечает определенное преобразование координат (см. й 1, п. 6) и обратно, то мы можем писать формулы преобразования координат. Для приведения формы А(х; х) к сумме квадратов нам нужно будет, чтобы хоть один из коэффициентов а (коэффициент при тД) был Отличен от нуля. Этого всегда можно добиться. Действительно, предположим, что форма А(х; х), не равная тождественно нулю, не содержит ни одного квадрата переменного; тогда она содержит хотя бы одно произведение, например, 2а„Ч1Ч,. Заменим координаты Ч„ и Ч, по формулам Ч1 =Ч1+ Чаю Ча = Ч! — Ча~ *) Мы уже доказали, что билинейная форма А (х; у) однозначно ооределяегся своей квадратичной формой А (х; х). *') Выше оно обозначалось [х, у), а не А(х; у).

$ 61 ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ гг СУГАМЕ КВАДРАТОВ бй не изменяя Остальных переменных. При этом преооразовании член 2а„Ч,Ч, перейдет в 2а,„(Ч," — Ч,'), и так как, по пРедположению, ат! = ае, ==О„ то Он ни с чем и! может сократиться, т. е. коэффициент при Ч," отличен от нуля.

Будем теперь считать, что уже в формуле (2) коэф фипиент а„~О *). Выделим в нашей квадратичной форлн члены, содержащие Ч,: и!!Ч1+2пмЧ)Ча+ -. +2 !.Ч!Ч« Дополним эту сумму до полного квадрата, т. е. запише.: ее в виде а,тЧа+ 2а„т)тЧа+... + 2а!„Ч,Ч« = = — (а!,Ч! +... + а!«Ч„)а — В. (3! ! м где через В мы оГ>означили члены, содержащие лишь квадраты и попарные произведения членов а„Ч„ ..., О,«Ч„.

После подстановки выражения (3) в (2) рассматриваемая квадратичная фора!а примет вид Л(х; х) = — (а,,Ч,+... +В,„Ч„)а+..., ! ом где певыписанные члены содержат только перемениыс Ча . ~ Ч«. ! )оложим Ч! = и! Ч~+омЧ«+ - ° ° +о!«Ч». Ча '= Ча Ч« Тогда квадратичная форма примет вид Л (х; х) = — Ч"," + ~~» ' а!АЧ";Ча. ам ») Коли ам =О, но отличен от нУлЯ коэффиниент нРи кваАРате какой-нибудь .".рутой координаты„то к рассматриваемому случаю можно ирнйп!, иначе э«нумеровав векторы е,, е„..., е„, что также является некоторым преобразованием этого базиса. 1гл. 1 Я-21ЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Выражение,У а12Ч121,", вполне аналогично правой части формулы (2) с той только разницей, что оно не содержит первой координаты. Предположим, что коэффкцкент а,", ~= О (этого, как мы видели, всегда можно добиться простыми вспомогательными преобразованиями).

Тогда можно произвести новое, аналогичное первому, преобразование переменных по формулам Ч1* = Ч1 * * 12 а22Ч2+а22ЧЗ+ ' ' ' +а22Ч2 Чз* Ч22 В новых переменных форма примет вид А(х; х)= — Ч,"*2+ — „-Ч,'*1+ ~ аелЧ,"*Ч",". 1 а 11 ' а22 Ь 2=2 Продолжая этот процесс, мы после конечного числа шагов придем к переменным в„$„..., $„, в которых форма А(х; х) будет иметь вид Л(х; х)=)Д+ХД+...

+Х„$'-, причем т«п. Мы предоставляем читателю выписать преобразование базиса, отвечающее ка>кдолиу из произведенных преобразований координат (см. п. 6 $1), и убедиться, что наши преобразования действительно переводят базис снова в базис, т. е. что полученные из базиса в результате преобразования векторы снова линейно независимы. Полагая в случае т < и, что Х„.2,= ..