И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре, страница 5

+а,„е„. Р Ц ЛИНЕЙНОЕ (АФФИНЫОЕ) и-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Тогда переход от первого базиса ко второму задается матрицей А = 11 а;а 11, определитель которой отличен от нуля '). Обозначим через $а координаты вектора х в первом базисе, а через Ц вЂ” его координаты во втором базисе. Найдем, как выражаются координаты Ц через Ц: Мы имеем: х=$те,+чае,+... +$„е„=$;е', +Ще',+... +$;,е„" Подставив в это равенство вместо е,: их выражения через ен получим: х=5,е,+ г,еа+... -1-$,е„=з;(а„е, +а„е,+...

+а„,е„)+ +Ц(а„е, +а„е,+... +а„,е„)+ + Ц, (а ае, + а,„еа+... + а„„е„). Так как е; линейно независимы, то коэффициенты при них в правой и левой частях равенства одинаковы. Получаем: Е =а. Ет+а.ьа+ ". +ат.ь', 4а=а,Д;+ааа$;+... +аа„$;, (17) е„=а„Д;+а„Д+... +а.„$;. :ранним формулы (16) и (17). Между ними есть два суцественных отличия: во-первых, поменялись местами штрихованные и нештрихованные буквы и, во-вторых, в формулах (16) при суммировании меняется первый индекс, а в формулах (17) второй. Таким образом, координаты Ц вектора х в первом заливе выражаюп|сл через координаты люго же вектора х и втором базисе с помощью матрииы А', транспанирвтанной к А. *) Если бы определитель матрицы л был равен нулю, то ааиюры ет, еа, ..., е„были бы линейно ааиисимы.

П.МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Этот результат можно представить и в другой форме. Решим уравнения (17) относительно $;, $;, ..., Ц;. Получим: $; = Ь„$1 + ЬТД, + ... + Ь,Д„, й; =Ь,1$1+Ь„$, +... +ЬЗЛ„, Ь:=Ь„Ь,+Ь„Д,+...+Ь„.1., где Ьм являются элементами матрицы, обратной к матрице А'. Таким образом, мы видим, что координаты вектора преобразуются с помощью матрицы Б = ((Ьгг, (~, являющейся обратной к А', гдеА' — матрица, транспонированная к матрице А, задшощей преобразование базиса. $ 2.

Евклидово пространство !. Определение евклидова пространства. В предыдущем параграфе линейное (аффинное) пространство было определено как множество элементов (векторов) с заданными в нем операциями умножения на числа и сложения. С помощью этих операций можно сформулировать, чтб такое прямая, плоскость, число измерений пространства, чтб такое параллельные прямые и т. д.

Однако этих понятий недостаточно, чтобы охватить все многгхгбразие фактов, составляющих содержание так называемой евклидовой геометрии. Например, в одних терминах сложения и умножения на число мы не сможем дать определение длины вектора, угла между векторами, скалярного произведения векторов и т. д.

Ввести эти понятия можно проще всего следующим образом. Выберем в качестве основного понятие скалярного произведения, которое определим аксиоматически. В терминах сложения векторов, умножения их на числа и скалярного произведения векторов мы сможем развить всю евклидову геометрию. Оп р еде лен ив 1. Будем еоворигпь, чпю в вещественном п)хгстрансгпве )г определено скалярное произведение, если каждой паре векторов х, у Е К поставлено в соответствие действтпельное число, которое обозначим через ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 3! (х, у), причем зто соответствие обладает следующими свойствами (удовлетворяет следующим аксиомам): 1' (х, у) = (у, х), т.

е. скалярное произведение сссмлсетрично. 2' (Ах, у) =л (х, у), где А — действительное число. 3' (х, + х„у) =- (х„у)+(х.„у) (дистрибутивность ска. лярного произведения). 4' Скалярное произведение вектора с самим собой нво:ирицапсвльно: (х, х)' «О, и обращается в нуль, лишь если х=-О. Аффинное пространство, в котором определено скалярное произведение, удовлеспворяющев условиям 1' — 4', мы называем евклидсвым. Примеры. 1.

Под векторами пространства )т мы будем понимать векторы изучаемого в элементарной геометрии трехмерного пространства (пример 1 $ 1). Скалярное произведение векторов определим как произведение их длин на косинус угла между ними. Можно проверить, что аксиомы !' — 4' действительно выполнены. Мы предоставляем эту проверку читателю. 2. Векторами пространства йс мы назовем всякую систему и действительных чисел х=(»„»„..., »„). Сложение Векторов и умножение их на число определим так (пример 2 4 1): х+у=(»1+Чс. »,+Ч„- °, »„+Ч.).

).х=-(А»с, 34„..., ц„), где х=-(»„5„"., ».), у=(Ч. Ч., " Ч.). Скалярное произгедение Векторов х и у определим с»ори улой (х, У)=-»,Ч,+»,Ч,+... +»„Ч„. Легко проверить, что аксиомы 1' — 3' действительно выполнены. Аксиома 4' также справедлива, так как (х, х) = ~ Ц ~ )О и (х, х) =- ~чЦ = О только при», = », = ... ... =-$ =--О. « 3. Рассмотрим пример более общий, чем пример 2. Вектор по-прежнему определим как совокупность и действительных чисел. Слон!ение векторов и умножение их на числа определим так же, как в примере 2. [Гл.

т Л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Зададимся некоторой матрицей [[а[А)[. Скалярное произведение векторов х и у определим формулой (х, у) =а>Д«Ч, +атДтт[т+... +а>Д>т[„+ +а„$«т[т+а,Д«т[,+... +О„Д,т)„+ +аиД т)т+а„Д„т[,+... +О„Д„т[„. (1) Посмотрим, какие условия нужно налсокить на матрицу [[а[А[[, чтобы выражение, определяемое формулой (!), действительно удовлетворяло всем аксиомам скалярного произведения. Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что аксиомы 2' н 3' выполнены для всякой матрицы [[а[А[[. Для того чтобы была выполнена аксиома 1', т.

е. чпюы выражение (х, у) было симметричным относительно х и у, необходимо и достаточно, чтобы (2) ам — — атт, т. е. чтобы матрица [[а;А[) была симметричной. Аксиома 4' требует, чтобы выражение и (х, х) = ~ а[ДДА (3) было нсотрицательно для любых $„5„..., «,„и обращалось в нуль, лишь если ст =с, =... =«„= О. Однородный многочлен («квадратичная формаа), определяемый формулой (3), называется т[ололгишельно Определенным, если он принимает лишь неотрицательные значения и обращается в нуль, лишь когда все 5, равны нулю.

Аксиома 4' требует, следовательно, чтобы квадратичная форма (3) была положительно определенной. Итак, всякая матрица [[а[А[[ задает скалярное произведение, определяемое формулой (1), если только эта матрица симметрична (условие (2)] и соответствующая ей квадратичная форма — положительно определенная. Если в качестве матрицы [[ат [[ взять единичную матрицу, т. е. положить аа —— 1 и а[,=О([ьа й), то скалярное произведение (х, у) примет внд и (х, у) = ~~Р ~[ЧО $2] ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО и мы получим евклидово пространство, определенное в примере 2.

Ю 1~ Уп ражи ен ие. Покааать, что матрица ~ ) непригодна для ~1 О) построения скалирного произведения (соответствующая ей квадратичная форма не ивляется положительно определенной), а матрица () 1 !Х ) опреляляет скалярное произведение, удовлетворяющее аксио- 1 2) мам !' — 4'. В дальнейшем (2 6) будут указаны простые условия, дающие возможность проеерить, будет ли данная квадратичная фора]а положительно определенной. 4. Векторами пространства ]т' мы будем называть непрерывные функции, заданные на интервале (а, Ц; скалярное произведение таких функций определим как интеграл их произведения ь ~1(1)К(1)йй я Можно проверить, что при таком определении скалярного произведения аксиомы ! — 4' выполнены. 5.

Будем считать векторами многочлены от 1 степени не выше п — !. Скалярное произведение двух многочленов определим как и в предыдущем примере: (Р, а=~Р(1)()(1)й]. Аксиомы !' — 4' проверяются как и в примере 4. 2. Длина вектора. Угол между векторами. Определим с помощью введенного понятия скалярного произведения длину вектора и угол между векторами.

Определен не 2. Длиной вектора х в евклидоволт пространстве называетсл число )А (х, х). (4) Длину вектора х будем обозначать через ~ х~. Естественно пожелать, чтобы угол между векторами, длина вектора и скалярное произведение были связаны обычным соотношением: скалярное произведение векторои и-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО [Гл. [ равно произведению их длин на косинус угла между ними. Так как в этой фразе смысл всех слов, кроме слов «угол между веиторамив, нам уже известен, то этим предписывается следующее Определение 3.

Углом мелсду векторами х и у мы назовем число гр = агссоз — "' (х, у) [х[[р[' т. е. положим соз ~р = — ', О «[р (и. (х, э) [к[[э/' (б) Векторы х и у называются ортогонольными, если угол между ними равен — ', т, е. если (х, у) =-О. С помощью введенных понятий можно перенести на евклидовы пространства ряд теорем элементарной геометрии *). Рассмотрим один пример.

Если х и у — ортогональные векторы, то х+у естественно считать диагональю прямоугольника со сторонами х и у. Докажем, что ~ х+ у [х = ~ х [е+ ~ у [', т. е. квадрата длины диагонали прямоугольника равен сумме квадратов длин двух его непараллельных сторон (теорема Пифагора). До и аз а тел ьств о. По определению квадрата длины вектора [х+у[х=(х+у, х+у).

В силу дистрибутивности скалярного произведения (аксиама 3') (х+у, х+у)=(х, х)+(х, у)+(у, х)+(у, у). В силу ортогональности векторов х и у (х, у) =(у, х) =О. «) Можно было бы, конечно, определить евклидово пространство иначе, чем в п. [, введя ексиемнтически понятия длины вектора и угла между векторами (в не скалярное вроивведение). Однако соответствуюп[вя системе нксиом была бы более сложной. Ф э1 ЕВКЛНДОВО ПРОСТРАНСТВО Следовательно, )х+у!'=(х, х)+(у, у) — !х!'+!у!з, что и требовалось доказать. Эту теорему можно обобщить: если векгпоры х, у, г, ... попарно ортого альпы, то !х —,' у+г+...!'=!х!х+(у!'+!г!з+... 3. Неравенство Коши — Буняковского. В предьгдущем пункте у нас остался пробе,я.