И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре, страница 2

Линейное пространство )т' наживается п-мерным, если в нем существует и линейно независимых векторов и нет большею числа линейно независи,иых векторов. Если в пространстве Й можно найти любое число линейно независимых векторов, то )е называется бесконечно- Л1ЕРНЫЛС Бесконечноыерные пространства составляют предмет специального изучения. Мы будем в этой книге заниматься в основном пространствами конечного числа измерений. Найдем в каждом из рассмотренных выше примеров 1 — 5 размерность соответствующего пространства. 1.

Как мы уже указали, в пространстве )т примера 1 имеется три линейно независимых гектора, а всякие четыре вектора линейно зависимы. Поэтому гт трехмерно. 12 и-меРнОе пространство (гл. с 2. )с — пространство, векторами которого являются системы и действительных чисел. В этом пространстве можно указать л линейно независимых векторов, например х,=(1, О, ..., 0), х, =(О, 1, ..., 0), х„=(0, О, ..., 1) (мы предоставляем читателю доказать, что эти векторы действительно линейно независимы).

У н р аж не н не. Наказать, что векторы х ==(1)ы. Чсь ° ° ' Ч1 ) ха=(0 Ч ь ° . Ч,) ха=-.(О, О, ..., Ч„), =-(О, О, ..., Ч ) н нростраостае )1 также лннейно неааннснны (Ч>ОЧ,а ... Ча„Ф Е). 3. Я вЂ” пространство непрерывных функций. Пусть й) — произвольное целое число. Тогда функции ~,(О= — 1, )„(О=(, ..., ) (1)=-(те-' Образуют совокупность й) линейно независимых векторов (доказательство предоставляем читателю). Мы видим, что в этом пространстве имеется произвольное число линейно независимых функций, т. е. Й бесконечномерно. 4.

)с — пространство многочленов степени ( и — 1. В нем и многочленов 1, (, ..., (»-' линейно независимы. 5. В пространстве квадратных матриц йа;»(1 порядка л все матрицы, у которых на одном каком-либо месте стоит единица, а на остальных местах нули, линейно независимы. В примерах 1, 2, 4 и 5 мы нашли систему таких линейно независимых векторов ~ы ..., 1„„что каждый вектор и есть их линейная комбинация. Чтобы установить, что размерность каждого из этих пространств равна числу ВЕКТОРОВ )ы ..., )„, НаМ ОСтастСЯ ДОКаватЬ, Чтс В ЭТИХ пространствах нельзя найти другой системы линейно независимых векторов пы ..., и, в количестве, превосходящем л.

Этот факт можно вывести из следующей полез- $1) ЛИНЕЙНОЕ 1АФФИННОС1 Я.МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО !3 ной леммы, которой мы неоднократно будем пользоваться и в дальнейшем Лемма. Пусть в линейном пространстве задана система из векторов 11э г 1». Пусть, далее, каждый из векторов й 'К1 есть линейная комбинация векторов ~о ..., !». Тоеда, если векторы и„..., й1 линейно независимы, то 1(й. Другими словами, среди линейных комбинаций я векторов )„..., )» Не может быть больше чем й линейно независимых.

Доказательство леммы проведем по индукции. При я=! она очевидна. Предположим, что лемма верна для й — 1 векторов 1„..., )» о и докажем при этом, что она верна для )) векторов. Итак, пусть среди линейных комбинаций векторов 1 ° "- 1» есть линейно независимые векторы зо ..., зг: й=а~А+" +а1»1» з.= А+ ° ° ° + ив' (б! 1 + ° ° +~,1». Нам надо показать, что 1 =)). Если вес коэффициенты при Г» равны нулю, лемма доказана, так как в этом случае, по предположению индукции, имеет место равенство 1(й — 1, а значит, и подавно, 1<й. Пусть хотя бы один из коэффициентов прн )», например аь„, не равен нулю.

Чтобы провести индукцию. Мы построим 1 — 1 новых линейно независимых векторов, которые будут линейными комбинациями векторов 1о ..., 1» 1. Для этого из последнего равенства выразим 1»: аь» ~»= — й1 — '1,— - — ~,ьи а1» ' а1» ' а1,» Это выражение для )» подставим теперь в каждое из первых ! — 1 равенств 5 и соберем подобные члены. 1'1ы 1гл.

1 П-МВРНОВ ПРОСТРАНСТВО получим равенства следу1ощего вида: И1 — "— "У1=Р1А+" +11,2-А-12 2222 02 а В1 Р2111+ ' ' 1 Р2,2 112 1 а1-1, 2 й21-1 ' й1 = 11 — 1, 1211+ ° ° + 01-1, 2-32-1. асз Эти равенства означают, что каждый из 1 — 1 Векторов а„, а,1А Ю~ = й Яо .. ° Л21-~ = й~-~ „й1 а11 аа есть линейная комбинация векторов 1„..., 1А 1.

Если мы докажем, что они линейно независимы, то, по предположению индукции, отсюда будет следовать, что 1 — 1(й — 1, т. е. 1(й. Таким образом, нам осталось показать, что векторы и'„..., и; 1 линейно независимы. Но это почти очевидно. действительно, предположим, что Л„..., Л,,— такие числа, что Л,д1+... + Л,,д,', = О, т. е. что л, ~д,— '— ""д)+... +л,, ~д,,— '-"й) =о. Раскрывая скобки, получаем: Л1й1+ Л й2+ - ° - + Л1- 01-1 а, 1А1 — ~л,— +...+л,,— )д,=о. ' аи ' а12 Так как векторы и„...„д1 линейно независимы, то все коэффициенты в последнем равенстве равны нулю. В частности, Л1=Л2=...

=Л,,=-О, а это означает, что векторы д'„..., и,, линейно независимы. Лемма полностью доказана. Из доказанной леммы вытекает следующий, часто оказывающийся полезным результат: если в пространстве Я существуют й линейно независимых векторов 1„..., 1А а 1! ЛИНЕПНОЕ 1ЛФФИННОЕ! Н.МЕРНОЕ ПРОСТРЛНСТВО !5 таких, что каждый вектор из )с есть их линейная комбинация, то пространство Й я-мерно. Доказательство этого факта ввиду его простоты мы оставляем читателю. В каждом из примеров 2, 4 и б такая сис1ема была выбрана. Таким образом показано, что в примерах 2 и 4 размерность пространства равна и, а в примере б размерность пространства равна и'. У и р а ж не н и е. Показать, что если векторы (ы ..., /», вхо.

вящие в условие леммы, линейно зависимы, то ! < А (а не только 1~ А). 3. Базис и координаты в п-мерном пространстве. Оп р еде ле н не 4. Совокупность и линейно независимых векторов е„е„..., е„п-л1ерного пространства ес назь1вается базитм в )т. Например, в пространстве )с, рассмотренном в примере 1 (трех»серном пространстве), базис образуют любые трн вектора, не лежащие в одной плоскости.

По определению и-мерного пространства в нем существует и линейно независимых векторов, т. е. существует базис. Покахсел1, что произвольну1о систел1у из А линейно независимых вектоРов ~ы ..., !'», где А < и, можно дополнить до базиса в и-мернол1 пространстве тс. Пусть е„..., еи — какой-либо базис в )с. Если бы кансдый из векторов е„..., еа был линейной комбинацией векторов !ь то, согласно лемме, мы имели бы, что и</г, в то время как, по предположению, я<и. Значит, среди векторов е„..., е„есть хотя бы один, например е , не являющийся линейной комбинацией век- Р' торов ~„..., ! . Добавив вектор е к ~ы ..., !», Мы получим систему из й+ ! векторов, которые по-прежнему линейно независимы (почему)). Если я+ ! < и, то среди векторов е,, ..., е„снова есть вектор е, не явля1ощийся линейной комбинацией векторов ~„..., !», ер.

Добавим н этот вектор к системе. Этот процесс можно продолжить до тех пор, пока мы дойдем до и линейно независимых векторов, т. е. до базиса. Этот базис содеРжит )ы ..., !», и тем самым наше утверждение доказано. и-меРнОе пРООТРлнстВО [гл Теорема 1. Каждый вектор х из и-л~ерноео пространства )т можно представить, и притолс единственным образом, как линейную комбинацию векторов базиса.

Доказательство. Г!усть векторы е„е„..., е„ образуют базис в )т'. Присоединим к ним произвольный вектор х из (т. Векторов х, е„е„..., е„уже и+ !. Поэтому по определению и-мерного пространства они должны быть линейно зависимы, т. е. аах+а,ет+а,е,+...

+а„е„= — О, (7) где не все а, равны нулю. Число аа заведомо отлично от нуля, так как иначе из формулы (7) следовала бы линейная зависимость векторов е,, е„..., е„. Выразим из (7) вектор х: ит иь ин х= — — е, — — е,—... — --е„. иа яе иа Р(ы доказали, что каждый вектор хЕ И а) есть линейная комбинация векторов е„е„..., е„. Докажем теперь единственность полученного разложения. Предположим, что существуют два разложения: х = $,е, + $,еа + ... + $„е„ х = 5;е, + с„,',е, +... + $'„е„. Вычитая, получим: 0=(5,— З;)е,+($а — с',)е,+... +(сп — З,',) е„. Так как е„е„..., е линейно независимы, то это возможно лишь, если ~,— Ы=~, Ы=...=.Ьн ~.„=О, т. е ь ь ° ьа — тп ° ° ° ь — ь ° Единственность разложения доказана. Определение 5. Если е„е„..., е„есть базис в и-мерном пространстве и х=$тет+5е,+... +$„е„, (8) то числа гч, 5„..., с называются ююрдинатами векаюра х в базисе е„е„..., е„. а) Запись хай означает, что х принадлежит й.