И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре, страница 3

$ !! ЯинейнОе (лФФинное> и-меРнОе ПРОстРлнство !7 Теорема 1 означает, что при заданном б зисе е„е„..., е„ каждый вектор имеет координата и притом однозначно определенные. Если вектор х имеет в базисе е„е„..., е„координаты 5„!-, ..., $„, а вектор у — координаты т)„ц„..., Ч„, т. е. если х=-$,е,+ 1,е, +... +$„е„, у=.т!1е,+Ч,е,+... +Ч"„е„, то х+ у == ($, + ен) е, + $, + т1„) е, +... + ($„+ т)„) е„, т. е. еектоР х+У имеет кооРдинаты $,+й„1,+Им ...

$„+ т! Вектор Хх имеет координаты Ц,„).Р„..., ),~„. Таким образом, при сложении векторов х и у их координаты складываются. При умножении вектора х на число Х его координалил умножаются на зто число. Ясно также, что нулевой вектор, и только он, имеет все координаты равными нулю. Примеры. 1. Для случая трехмерного пространства наше определение координат вектора совпадает с имеющимся в аналитической геометрии определением координат вектора в некоторой (вообще говоря, не прямоугольной) системе координат. 2.

Пусть й †пространст, векторами которого являются системы х= ($„ 5„ ..., $„) из л чисел. Возьмем базис (см. упражнение на стр, 12) е,=(1, 1, 1; ..., 1), е,=(0, 1, 1„..., 1), е„=(0, О, О, ..., 1). Найдем координаты т1„7!,..... 71„вектора х = Я„$„..., $„) в этом базисе. По определению х=т!,е, +т!,е,+... +т!„е„, т. е. В„1.„..., В„)=п,(1, 1, ..., 1)+П,(О, 1...,, 1)+ +т) (О 0 ° ° ° 1)=(т) ° Ч +т) ° ° ° т! +7! + ° ° ° +~ ). Р8 ~ГЛ.

1 и-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Таким образом, числа т)„ т)„ ..., Т(„ находятся из следующей системы уравнений: т(1 = $ ч +ч.=$„ т) +т(а+ "+Ч.=$., откуда ),=~„ч,=~,— ~„..., п.=~.— ~„,. Рассмотрим теперь в )с базис, в котором связь между координатами вектора х = ($„Рч, ..., $„) и числами Е„$,... „$„, определяющими этот вектор, наиболее проста. Пусть е,=(1, О, ..., 0), е,=(0, 1, ..., 0), е„=(0, О, ..., 1). Тогда х=а1. Бз..- й.)= =$, (1, О, ..., 0)+$, (О, 1, ..., 0)+ ... +$. (О, О, ..., 1)= =-$1Е1+С,Е,+... +СлЕ». Таким образом, в пространстве )с, где каждый вектор определяется как система л чисел (сз„с„..., $„), вти числа можно трактовать как координаты вектора х= Ды $„..., $„) в базисе е, =(1, О, ..., 0), е,= (О, 1, ..., 0), ...„е,=-(0, О, ..., 1).

У и р а ж из и и е. Доказать, что а любоы базисе е=(о„,а, ...,а,„), аз=(ао, о„, ..., аа„), е„=(аа,, оыь ..., а„,) кооРдииаты т(ы Ч„..., Ч„асктоРа х=($ь $з, ..., $„) сУть лииейиые коибииации чисел $„$1, ..., $„. 3. Я вЂ” пространство, векторами которого являются многочлены степени (и — 1. Простейшим базисом является совокупность векторов е,=1, е,=-1, ..., е„=1"-1.

Координатами многочлена Р (г) =. ааг"-'+ асг"-з+... + а„, в этом базисе являются, как легко видеть, его коэффициенты а„а„..., а З ц линаинон ~лэонннов и-мнтгоа пгострлнство !9 Выберем теперь другой базис: е',=1, е',=1 — а, еэ=(1 — а)', ..., е„'=(1 — а)"-'. Каждый многочлеп Р(г) может быть по формуле Тейлора представлен в виде: Р(у) Р( )+Р ( )(( )+ +Р (в)(1 )» д Таким образом, в этом базисе Р (1) имеет координаты Р (а), Р' (а), 4. Изоморфизм и-мерных пространств. В разобранных выше примерах некоторые пространства с точки зрения рассматриваемых здесь свойств ие отличаются друг от друга.

Таковы, например, обычное трехмерное пространство Я примера 1 и пространство й', в котором векторы определяются как тройки действительных чисел. В самом деле, выбрав в Рт определенную систему координат, мы можем каждому вектору из Й поставить в соответствие совокупность трех его координат, т.

е. вектор пространства (с'. При сложении векторов координаты их складываются, а при умножении на число все координаты вектора умножаются на это число. Поэтому геометрические факты, вьпекаюшие из определения линейного пространства, которые имеют место в Й, мы можем параллельно изложить как в Й, так и в пространстве Й' троек чисел. Поскольку единственными операциями, которые введены в линейных пространствах, являются операции сложения векторов и умножения вектора на число, то естественно ввести следуюшее Определение 6.

Линейные пространства )с и Р' наливаются изоморфными, если жажду векторалш х б )с и векторалги х'Е Р.' ложно установить взаимно однозначное соответствие *) х+ х' так, что если вектору х ») Соответствие, установленное между элементамн двух множеств Н и и', называегси взаимно однозначным, если: 1' каждому элементу из Я соответствуег один и только один элемент из й', 2' каждыа элемент из й' соответствует при этом одному и только одному элементу нз ».

и-меРное ОРОстРАнство соответствует веюпор х', а векгпору у соответствует вектор у', то 1' вектору х+у соответствует вектор х'+ у', 2' вектору Хх соответствует вектор Хх'. Из определения изоморфизма следует, что если х„у, ...— векторы из Я, а х', у', ...— соответствующие им векторы из Рс', то равенство Х,х+ру+... =-О равносильно равенству Ах'+ру'+...

= О. Следовательно, линейно независимым векторам из Й соответствуют линейно независимые векторы из )л", и обратно. Возникает вопрос, какие пространства изоморфны между собой н какие нет. Два пространства различной размерности заведомо не изоморфнм друг другу. В самом деле, пусть )т и )с' изоморфны. Из сделанного выше замечания следует, что максимальное число линейно независимых векторов в Й и В' одно и то же, т. е.

размерности пространств Я и й' равны. Следовательно, пространства различной размерности не могут быть между собой изоморфны. Теорема 2. Все пространства, имеющие одну и ту хсе размерноств и, изоморфнм друг другу. Доказательство. Пусть )с и тл" — два и-мернык пространства. Выберем в )т базис е„е„..., е„и в )с' какой-либо базис е'„е'„..., е„'. Поставим в соответствие вектору (9) х=$,е,+с,е,+...

+$„е„ вектор х'=$,е',+5,е',+... +Щ, т. е. линейную комбинацию векторов е; с теми же коэффициентами, что и в (9). Это соответствие взаимно однозначно. В самом деле, каждый вектор х может быть однозначно представлен в виде (9). Поэтому числа $Р а значит, и вектор х', определяются по вектору х однозначно. Ввиду равноправности, в нашем построении, пространств К и К', каждому х' отвечает элемент из Й и притом только один. Из установленного закона соответствия сразу следует, что если х<-лх' и у+-+у', то х+ус-лх'+у' и Ах+.+'Ах. Изоморфизм пространств Я и й', таким образом, доказан.

% Ц ЛИНЕЙНОЕ (АФФИННОЕ! П-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 2! Итак, единственной существенной характеристикой конечномерного линейного пространства является его размерность. В у 3 мы еще вернемся к понятию изоморфизма по другому поводу. 5. Подпространства линейного пространства. Оп р еде лен не 7. Подпространствол! К' пространства Я называется совокупность элементов из )г' таких, что они сами образуют линейное пространство относительно уже введенных в К операций сложения и ул!нажения на числа. Иначе говоря, совокупность и" элементов х, у, ...

из )г образует линейное надпространство пространства Я, если из хЕ)с', убей' следует х+уЕ й', Ахба'. Примеры. 1. Нулевое подпространство, т. е. подпространство, состоящее нз единственного элемента — нуля. 2. Все пространство й. Нулевое надпространство и нсе пространство называются обычно несобственными подпространствами. Приведем несколько более содержательных примеров подпространств.

3. Й вЂ” трехмерное пространство. Рассмотрим какую- либо плоскость в )г, проходящую через начало координат. Совокупность й' всех векторов, лежащих в этой плоскости, есть подпространство. 4. В пространстве, векторами которого являются системы и чисел х= ($„ $„ ..., $„), совокупность всех тех векторов х= ($„ е„ ..., $„), для которых $, = — О, образует подпространство. Более общо: совокупность векторов х = = ($„$„..., $„), удовлетворяющих условию аД,+аД,+...

+а„$„=0, где а„а„..., а„— какне-то фиксированные числа, образует подпространство. 5. В пространстве всех непрерывных функний совокупность многочленов степени ( и является подпространством. Очевидно, чтово всяком подпространстве 7с' какого-либо пространства )г содержится нулевой элемент пространства )(.

Поскольку любое подпространство само по себе является линейным пространством, то все такие понятия, как П-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО ггл. г базис, число измерений пространства и т. д., которые мы ввели выше, применимы и к подпространствам. Так как в подпространстве не может быть больше линейно независимых векторов, чем во всем пространстве, то размерность любого надпространства не превосходит размерности всего пространстви, У п р аж не и и и.

!. Доказать, что если подпростраистао Й' пространства Й имеет ту же размерность, что и все пргютранство Й, то оно совпадает с Й. 2. Доказать, что если Й, и йз — подпространства пространства й, и если йг г- Йа и размерности Й, и Йз совпадают, то Йг — — Й, В каждом пространстве Я можно строить подпространства следующим общим приемом: возьмем в )чг произвольное (конечное или бесконечное) множество векторов е, г, й, ...; тогда совокупность гс' всех линейных комбинаций выбранных векторов е, г, й, ...

есть надпространство пространства Й. Действительно, складывая между собой и умножая на числа линейные комбинации векторов е, ~, й, ..., мы снова получим линейные комбинапии векторов е, !, сг, ..., т. е. элементы из Й'. Полученное таким образом подпространство Я' называется подпространствам, порожденным векторами е, г*, й,... Оно является наименьшим линейным подпространством, содержащим данные векторы е, г, й. ггюдпроенгранство тт', порожденное линейно независггмыми векпюрами е„е„..., е„, являсансл й-мерныдг и векторы е„ем ..., еь образуют в нем базис. Действительно, в Й' имеется система й линейно независимых векторов, именно, сами векторы е„е„..., е . С другой стороны, если х„, хч...., х,— произвольные линейно независимые векторьг из гт', то так как они являются линейными комбинациями векторов е„..., е„, то, согласно лемме п.

2, !(й. Следовательно, К' /г-мерно и набор векторов е„..., е„есть один из возможных базисов в тт". У и р а ж не н и е. Показать, что в и-мерном пространстве существуют тодпростраиства всех меныпих разностса. Если исключить из рассмотрения не представляющее интереса нулевое подпространство, то самыми простыми являются одномерные подпространства.