Главная » Просмотр файлов » И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре

И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 4

Файл №1113352 И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре) 4 страницаИ.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352) страница 42019-04-25СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Базис всякого такого подпространства состоит из одного вектора е,, $ П линейное )лФФиннОе) и-меРЯОе ПРОстРлнстВО хз Таким образом, одномерное подпространство состоит из векторов вида аег, где а †произвольн число. Прибавим к каждому из векторов ае, один и тот же сектор х,. Мы получим совокупность векторов вида х =- = — х, +ае,, где а пробегает все числа, а е, и х, †фиксированные векторы. Эту совокупность векторов естественно, по аналогии с трехмерным пространством, назвать прямой з линейном пространстве гт). Аналогично, секторы вида ае, +ре„ где е, и е, †фиксированные линейно независимые векторы, а а и ()— произвольные числа, образуют двулгерное подпространство.

Совокупность векторов х= — «,+ е,+])е„ где х,— фиксированный вектор, мы назовем плоскостью (двумерной). Управ)пения. !. Показать, что в пространстве, где векто- раМИ яВЛяЮтея СиетЕМЫ и дЕЙСГВИтЕЛЬИЫХ ЧИСЕЛ (йт, Ст, ..., $а), совокупность векторов, удовлетворяющих соотношению оДг+озйз+... +од„=в (ам ~Ч, ..., о„— фиксированные числа, не все равные нулю), образует подпространство размериопи и†!. 2. Показать, по если дна подпростраиства нг и йз пространства ]г имеют общим лишь нулевой вектор, то сумма их размер- настей не превосходит размерности й. 3. Показать, что размерность подпространства, порожденного векторами е, А е, ..., равна максимальному числу линейно независимых векторов среди них. 6. Разложение пространства лт в прямую сумму надпространств. Сумма и пересечение надпространств.

Пусть заданы два надпространства п-мерного пространства гс. ОбОЗНаЧИМ ИХ ггт И ]~т),. Определейие 8. Если калсдый векторхпространства К можно, и притом единственным образом, пред'- ставите как сумму двух векторов х=х, +х„ где х,б)с„а х,ЕЙм то говортп, что пространство )с разложено в прямую сумму надпространств Кт и Я,. Это обычно записывают так: й=);~г+йз. П-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО [ГЛ. [ Те о р е м а 3. Для того чтобы пространство Я раз- лагалось в пряму[о сумму надпространство К, и )г„до- статочно, чтобы: 1.

Подпространства Я, и А', имели люлько один оба[ай вектор х =- 0 (нулевой вектор). 2. Сумл[а размерностей этих поди ространств была ража размерности пространства Й. Доказательство. Выберем некоторый базис е„... ..., еь в подпространстве й, н базис („..., 1, в под- пространстве Я,. Поскольку сумма размерностей К, и Я, есть п, то Общее число этих векторов 1[+1=а. Покажем, что векторы Е„...,ЕА, [Н ...,[Г линейно независимы, т. е. образуют базис пространства Р. Действительно, пусть Хе, +... +).„еь+р[,+...

+рд[=0; отсюда ),е~+ ° ° ° + гьеь = — [[,~,— ° ° ° — рД. Левая часть этого равенства есть вектор из К„а правая из Я, Так как, по условию, единственный общий век- тор К, и К, есть нулевой вектор, то Х,е,+... +Хлев — — О, (10) р,1, 1-... + в[1[ = О. Но каждый из наборов е„..., е и 1,, ..., ~, состоит из линейно независимых векторов, так как это базисы в Я, и Я,. Поэтому нз первого равенства (10) следует, что А, =... =ХА=О, а из второго следует, что р1 —... — р,=-О. Следовательно, система е„..., еА, ~О ..., 1, состоит из и линейно независимых векторов, т. е.

э[о есть базис в пространстве )т'. Мы доказали, что при выполнении условий теоремы существует базис, первые и векторов которого образуют базис в Ям а последние 1 †баз в Я,. $ !) ЛИНЕЙНОЕ (АФФИННОЕ) Л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО хз Произвольный вектор х из Я можно разложить пс векторам этого базиса х = а,е, +... + аАЕА+ ~3,~, +... + РА.

При этом х, =а,е,+... +оьеАЕ Й, и х,=И,+ ° ° ° +РАЕй ° Таким образом, х=х,+х„ где х, Ей, и х,ЕК„. Покажем, что это разложение единственно. Предположим, что существуют два разложения: х — х,+х„где х,Еп'„х,Е~7„ х=х',+х,', где х', Е й„х,'Е й,. Вычитая второе равенство из первого, получаем: О=х,— х',+х,— х'„ откуда х — х', =х,' — х,. Так как вектор„стоящий в левой части равенства, принадлежит Я„а вектор, стоящий в правой части, принадлежит Я„то каждый из этих векторов равен нулю, т. е.

х', =х„ х', =х,. Единственность разложения доказана. Допустим, что нам задано два произвольных подпространства Я, и Й, линейного пространства К. Легко проверить, что совокупность векторов, принадлежащих обоим этим подпространствам, также есть подпространство Я, пространства Й. Зто подпространство называется пересечением ь,', и тт', н обозначается й,=й,пй, Например, если К, и К,— два двумерных подпространства трехмерного пространства (две плоскости, ггз а-манное простнднст зо проходящие через начало координат), то Р! В Р, есть одномерное подпространство (прямая, по которой пересекакттся эти плоскости).

По двум подпространстнам тт! и )ге можно построить еще одно подпространство, которое называется их суммой. Оно определяется следующим образом. Векторами этого подпространства являются всевозможные суммы видз (11) Х г - д! + Х.„ где х, Е И„к, Е П,.

Легко проверить, что элементы вида (11) образуют подпространство. Это подпрострааство )г называется суммой подпространств Я, и К, и обозначается И=Я!+Им Заметам, что, в отличие от прямой суммы двух подпространств, запись элемента из )г в виде (11) может быть иео.нззначной. У и р а ж н е н и е. Показать, что сумма двух различных двумерных подпространств трехмерного пространства Й есть все ато про.

странство. Имеет место следующая теорема: Теорема 4. Пусть заданы два надпространства Я! и )га пространспма 1с. Тогда сумма размерностей Я, и )т, равна размерности ид суммы плюс размерность не;:есеченив. Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем в пересечении )т, = = Й,П)с, базис (12) Дополним этот базис с одной стороны до базиса в Р;! см ..., еа. ),..... ~, (13» и с другой стороны до базиса в )г,: е„..., ето у„..., д„.

(14) Покажем, что векторы -. ъц. ".й. (15) сбразуют базис в сумме К=ага+Я,. $ О линейнОе 1АФФинное) а-меРнОе НРОстРАнство Сначала покажем, что эти векторы линейно независимы. Действительно, пусть Л~,+ ... +Л,~1+р,е,+... ... +рьез+т1п,+... +т„Р.„=О. Тогда Л11, +... + Л1111+ р е, +... + рьех = — т~й1 — ° ° ° — т~к ~. Левая часть этого равенства есть вектор нз )тн правая— из 11,. Таким образом, эта правая часть есть одновременно вектор нз К, и из )(„т.

е. принадлежит й, и, значит, выражается как лийейная комбинация базиса е„..., ез подпространства Й;. — ч,п,—... — ч„д„=с,е, +... +сье„. В силу линейной независимости векторов (14) это возможно только, когда все коэффициенты — нули. В частности, ч,=... =ч„=О, т. е. л,1, +... + л (1+ р,е, +... + р„еа — — О. Из линейной независимости векторов (13) получаем, что и все коэффициенты Л„..., Л„р„..., р„равны нулю. Таким образом, линейная независимость системы (15) доказана. Покажем теперь, что всякий вектор хЕ )г выражается как линейная комбинация векторов этой системы.

По определению 1г вектор х можно представить в виде: х=х,+х„ где х,~ )го х,~)1',. Так как х, ~ Я;, то его можно представить как линейную комбинацию векторов (13). Аналогично х,ЕР, и х, можно представить как линейную комбинацию векторов (14). Складывая, получим, что вектор х представим как линейная комбинация системы (15). Итак, мы получили, что векторы ~н ....11.ен ...,ех,а;, ....д„, с одной стороны, линейно независимы и, с другой стороны, всякий вектор из К есть их линейная комбинация. [Гл. г И-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО В силу замечания на стр. 14 отсюда следует, что эти векторы образуют базис в тс. Итак, мы имеем й векторов (12), образующих базис в тс„й+1 векторов (13), образующих базис в гс„й+и векторов (14), образующих базис в й„и й+1+и векторов (15), образующих базис в гт=-тт,+эта Утверждение теоремы обращается, таким образом, в тождество (й+ 1) + (й + и) = (й + 1+ и) + й.

Теорема доказана. У п р аж не н ив. Проверить теорему для случая, когда Йэ и йэ †двумерн подпрострапства трехмерного пространства. Из доказанной теоремы следует, например, что двум 15-мерным подпространствам «тесно» в 28-мерном пространстве — они пересекаются по крайней мере по двумерному подпространству (плоскости). Действительно, сумма их размерностей равна 30, а размерность суммы не может, конечно, превосходить размерности всего пространства, т. е. 28.

У ар а ж и ел и я. 1. Каково наименьшее число измерений пространства, в котором две плоскости могут пересечься в точке? 2. Показать, что если й,()й есть нулевое подпространство, то Й=й,+Йа есть прямая сумма Й, и Й, т. с. Й=й,+Й . Из результата этого упражнения видно, что теорема 3 этого пункта есть частный случай теоремы 4. У' п р а ж н е н и е. Показать, что если имеется разложение Й в прямую сумму й=й,+Йэ, то пересечение Й, и Йэ равно нулю и, следовательно, сумма размерностей этих подпрсстранств равна л. 7. Преобразование координат при изменении базиса. Пусть е„е,, ..., са и е'„е'„..., е'„— два базиса и-мерного пространства. Пусть, далее, каждый вектор е,' выражается через векторы первого базиса формулами е', =атэс,+а„е,+ ... +а„эсю е',=а„а,+а„е,+ ... +а„,е„, (16) е„'=а,„е,+а е„+...

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
1,99 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6372
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее